势场中的粒子会消失或者突然跃迁吗
——含势能的薛定谔方程、测量公设与定态^[1]

自由运动的粒子一般以波包的形式存在，一边传播，一边弥散。“弥散”意味着在空间内的某一点上发现粒子的概率是随着时间变低的。由于空间无限广延，是不是所有粒子都会渐渐“消失不见”？对于一个自由粒子，薛定谔方程肯定了这一结果。幸运的是，在自然界中，万事万物更多时候是在相互作用。粒子感受到的保守力作用，最终会以势场的形式表达在薛定谔方程中。在《张朝阳的物理课》第一卷第五部分中，我们已经讨论了无限深方势阱、氢原子库仑势，以及谐振子势中的粒子如何形成分立能级。在本节中，我们计划进一步讨论势场中的粒子如何随时间演化，又在实验上如何被观测到。

一、势场中微观粒子波函数的一般形式

从数学的角度分析了许多具体案例后，让我们首先回顾一下其中具体的物理意义。在量子力学的理论框架下，一个粒子或者一个物理系统用取复值的波函数ψ（t，x）来刻画。但值得注意的是，波函数本身仅仅是一个数学工具，与具体的物理观测不相关。有物理意义的是它的模方

P=|ψ|²=ψ^*ψ

玻恩提出，波函数的模方表征某点处发现粒子的概率密度（Probability density）。如果这一函数在整个空间上是可积的，那么自然地会要求，在整个空间上找到这个微观粒子的概率是

该等式又被称为归一化条件。同时，量子力学中的物理量可用作用于波函数的算符来表达，一个例子是动量算符定义为对空间的求导

另一个例子是自由粒子的哈密顿算符（Hamiltonian）

这里“自由”指该哈密顿算符仅有动能部分，没有势能的参与——换句话说，它所描述的物理体系不受外力的作用。

反之，如果引入势场V（x），那么相应的哈密顿算符应该写为

再次利用分离变量法，我们需要求解本征方程

这里引入下标n∈N来区分不同的本征值和对应的本征函数。当讨论粒子的受力运动时，我们会更倾向于关注粒子的束缚态。顾名思义，束缚态指粒子的运动区域——由概率密度表征——集中在一个有限大的区域中。远离该区域后，粒子概率密度一般会出现指数衰减。束缚态边界条件使得体系的能量只能取到若干分立值，在《张朝阳的物理课》第一卷第五部分中，我们所讨论的无限深方势阱、氢原子库仑势和谐振子势就是很好的例子。

一旦知道了哈密顿算符的所有本征值和本征波函数，根据偏微分方程的线性性，它的一般解将是不同模式的线性叠加。这里还可以将求得的结果和自由粒子的一般解进行比较

不难看到两者有类似的数学形式。差别在于，对于自由粒子，因为不存在边界条件的束缚，哈密顿算符的本征值（能量）可以有连续的取值，以实数k标记。同时，做线性叠加时，由于取值是连续的，需要相应地把求和改写为积分。当没有势场存在时，函数e^ikx恰好既是动量算符的本征函数，也是哈密顿算符的本征函数。但是这个结论对在势场中运动的粒子不再成立。可以这样来理解：以氢原子为例，这时电子在库仑势场中运动，它的基态波函数像云一样弥散在空间上。但是在半径不同的地方，库仑势能的取值不同，当电子出现在不同点时，对应的动能也会有所差别。所以，对处在基态的电子来说，动量的取值不再是确定的，而是相当随机的，更谈不上是动量算符的本征态。

二、正交归一条件与测量公设

可以看到，在求解含时薛定谔方程时，第一步仍是求解哈密顿算符的本征方程。对于本征方程，为了使用方便，一般还要求各本征函数之间是正交归一的。对势场中的分立束缚态，正交归一指要求以n、m标记的本征函数之间满足

“归一”和前面提到的“归一化”是一个意思，而“正交”是指粒子处于不同本征态时不会互相干涉。如果谈论的是自由粒子，那么由于一般其波函数模方对全空间积分不收敛，式（2）所提的正交归一方案不再适用。取而代之的是，一般要求

又被称为δ-正交归一化条件，这可以被视为式（2）的扩展。

有了正交归一化条件后，即可讨论如何用求解偏微分方程的“第二板斧”——初始条件，来确定式（1）中的展开系数c_n。给定初始时刻的波函数ψ（t=0，x），不难看到

即初始时刻的波函数总可以写为本征函数的线性叠加形式。利用式（2）中的正交归一条件，将上式两边乘以某本征态的复共轭ψ_m（x），然后对全空间积分，即有

同样也可以将这一结果与自由粒子相比较

ϕ（k）的模方被解释为粒子动量的概率分布，类似地，系数c_n的模方也有概率的意义。

为了更好地诠释这一点，首先来看归一化条件，代入波函数的一般表达式，有

其中，求和系数和时间的相位部分与积分变量x无关，所以可以被提到前面，整理得到

注意积分部分与正交归一条件一致，所以

于是利用哈密顿算符的本征函数，可以将归一化条件重写为

由此不难看出，系数的模方类似于一个离散概率。

进一步，可以再看与物理量观测相关的一个计算过程，我们知道对微观粒子的观测结果是“随机”的，如果能够对一个粒子做多次重复观测，那么就可以讨论可观测量的期望值（Expectation value of observable）。以能量为例，如果粒子的波函数是ψ（t，x），则能量的期望值定义为

因为哈密顿算符是线性的，可以让它依次作用到求和中的各项本征函数，再利用本征方程可以得到

接下来的计算过程与之前计算归一化时是一致的，只不过在第二个求和号中多了一项。整理后，它的结果是

这个式子可以这样表述：能量的期望值等于粒子可能取到的不同能级，以对应系数模方为权重作加权平均。与概率论中的期望值定义相比较，不难再次确认|c_n|²的概率意义。

进一步，结合式（3）与式（4），可以很自然地引出这样一个解释：如果一个波函数可以按观测量（比如能量）本征函数分解

那么当我们进行观测时，仪器给出对应观测值（比如某个能级E_k）的概率应该恰好为展开系数的模方

P（E=E_k）=|c_k|²

在量子力学中，这一结论是作为基本假设被提出的，也是玻恩的概率诠释的另一种表达方式，其正确性已经由众多实验结果验证。

三、定态波函数——以无限深方势阱为例

特别地，如果在初始时刻，粒子就处于某一个特定本征态上

也就是在解的式（1）中，系数取为

随着时间的流逝，任意时刻的波函数

和初始时刻波函数只有一个相位的差别。对应的概率密度

与时间无关。也就是说，如果粒子在初始时刻处于某个本征态上，那么此后它将一直保持在这个态上，而且与实际观测相联系的概率密度也不随时间改变。它是量子力学中能量守恒的直接推论，如果初始时刻粒子具有确定的能量，那么这个能量的取值不应该随着时间的流逝而改变。

进一步不难证明，如果系统的波函数为式（5），那么多次观测任意力学量——以算符表示——所得结果的期望值

也不随时间变化。更精细地，如果已知O的本征值o_n对应的正交归一本征波函数为ϕ_n（x），那么按照概率诠释，单次测量结果得到o_n的概率是展开系数

的模方。不难看出，这也是个不依赖时间的量。出于这三个观察，哈密顿算符的本征态式（5）又被称为定态。在没有外来相互作用的干扰时，对实验观测而言，处于定态的粒子或者物理系统将一直保持不变。现在可以来回答前言中的问题了。万幸的是，通常，微观粒子并非是自由的，而是处于特定的势场中，比如电子会被质子俘获，两者形成氢原子。而当形成束缚态后，系统就可能最终稳定在某个定态上，在不受外力干扰时，物理性质不再改变。正如不受外界电磁场干扰时，基态的氢原子将一直保持在基态，而不会像自由粒子一样逐渐弥散。

四、一个实例：无限深方势阱

为了更好地理解本节的内容，我们可以举一个简单的例子——无限深方势阱。无限深方势阱是指粒子被局限在这样一个势场

中。形象地说，我们在x＜0和x＞a的区域分别放一堵坚实的高墙，坚实到粒子完全无法穿越或者渗透进去，即

ψ（x）=0　x＜0或x＞a

在两堵墙之间，粒子的运动服从自由粒子薛定谔方程，但是需要满足边界条件

ψ（0）=ψ（a）=0

为了得到一般解，首先我们要解相应哈密顿算符的本征方程：

在《张朝阳的物理课》第一卷第五部分中，我们已经详细地分析过粒子在这样一个势阱中的能级取值和对应的波函数的形式。同时，从微分方程的角度，不难发现这一问题和第二卷中讨论的热传导的狄利克雷（Dirichlet）边界问题在数学形式上是一致的。

首先我们可以从这一线性微分方程求出两个齐次解cosk_nx和sink_nx，其中常数。在x=0处的边界条件首先排除了余弦解，再利用x=a处的边界条件，要求，其中n∈N。于是可以得到

对应的能量本征值为

而前面的系数可以通过归一化条件求得

直接计算即可验证各本征态之间的正交性。

将解得的本征态加上时间相位后再线性叠加起来，可以得到粒子波函数最一般的形式是

如果知道了初始时刻

ψ（t=0，x）=f（x）

那么利用正交归一化条件可以求出分解系数

进而可以讨论这样一个粒子在无限深方势阱中如何随时间演化。

小结
Summary

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[1]整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第132期视频，由陈广尚执笔。