微观粒子能被视为一个质点吗
——δ波包与高斯波包的演化^[1]

在上一节中，我们回顾了作为量子力学基本定律的薛定谔方程，并用偏微分方程的相关技巧给出了势场为零时方程的通解。但目前的讨论仅限于形式上、数学上的分析，为了更直观地理解公式背后的物理含义，接下来我们尝试讨论几个简单的例子，以期一窥量子世界的物理规律。

一、存在“点粒子”吗

经典的牛顿力学是关于“质点”的理论。牛顿力学在习惯上会将物理对象——无论它是小车、滑块，还是一小段琴弦——抽象为一个带质量的点，然后求解其运动轨迹。由于牛顿力学的巨大成功，这种不具备空间延展性的“点粒子”的概念早已深入人心。当研究进入微观世界时，由于对象尺寸更小，直觉上以“点粒子”去建模各种粒子似乎更为合理。然而自然规律当真如此吗？

我们知道，量子力学的特征是“波粒二象性”，一个粒子应当用一个波函数来描述。在数学上，一个没有空间延展性的波可以用狄拉克函数（δ函数）表达，它满足

δ（x）=0，　x≠0

且

∫_ℝδ（x）dx=1

它又被称为δ波包。注意，δ函数的一大特征是仅在一点（x=0）处有值，所以直观上可以视为一个初始时刻被约束到原点的“点粒子”。

如果初始时刻我们放下这样一个“点粒子”，按照上一节的讨论，首先需要求得它的傅里叶变换系数。利用

不难看出

根据最一般解的形式，可以得到在任意时刻、任意空间的点上，粒子波函数的振幅是

对此上一节结尾，不难看出，这里求解的就是Φ（t，x）。通过对比，我们可以更好地理解为什么说“传播子描述一点处波包的演化结果”。积分中的指数是一个关于k的二次多项式，所以一般可以对它进行配平方，转化成高斯积分来计算

平移一下积分变量，得到

此时积分部分具有与高斯积分几乎一致的形式。

高斯积分常见于对热传导或扩散等过程的求解中，积分结果为

值得注意的是，在证明式（3）的过程中，我们已经要求常数a是实数。然而在式（2）中，对应的参数a是一个纯虚数，结论不能复用，只能重新加以证明。类比于实参数高斯积分的证明过程，首先同样记

注意，这里为了表述明确，已经显式地把复数单位写在指数上。对式（4）求平方，然后变换到极坐标下，可以得到

这里需要小心的是，第二个等号中涉及两个积分的交换次序。由于原积分公式（4）是收敛的而非绝对收敛的，为了保证推导的合理性，需要引进被称为“正规化”的特殊处理。

所谓正规化，是引入一个小量ϵ≪1，使得参数a可以改写为复数

a→a-iϵ

然后在计算末尾将小量置0，即可得到结果。在做正规化时，小量ϵ保证了积分的绝对收敛，也就保证了积分交换次序的合理性。交换积分次序后，整个式子是角度无关的，所以可以先把角度部分积分，得到

再进行一次换元t=ar²，可以得到

可以看到，如果不引入正规化，即保持ϵ=0，那么剩下的是不收敛的、对振荡函数的积分。事实上，早在《张朝阳的物理课》第二卷第三部分中，我们在讨论折射率的微观起源时已碰到过类似的问题。借助彼时已详细讨论过的图形法，将未经正规化的积分近似看成在圆上一小步一小步地前进的加和

其中每一项都对应复平面上一个模长为Δθ的向量。也就是说，这个积分等价于这样一个过程：一个人在不断向前迈步，而且每迈出一步都会转身同样的角度，结果这个人会在某个圆上不断绕圈走动（图1中红色箭头）。

但对于一个实际的物理过程，这种精准的“绕圈”是不真实的。想象一个人试图在沙漠中走出一个大圆，但他事实上很难控制每一次都能精准迈出同样的步伐。更多的时候，在迈出下一步时，步长总会不可避免地变短——这正是引入正规化参数ϵ的意义。结果就是，我们更倾向于在一边绕圈时，一边往内环收缩，直到走到圆心的位置（图1中黑色箭头及其轨迹），于是求积分的值就变成了求给定切矢的圆心位置。

接下来利用微元法的思想来求解这个几何问题，假设我们每一步偏转的角度∠AOB=Δθ非常小，以至于图中∠OAB和∠OBC近似于直角。此时，当n取0时，我们将沿着实轴正半轴方向迈出第一步，所以由垂直关系可知，圆心应当保持在虚轴的负半轴上。紧接着，每一次我们的步长恰好也为Δθ。在小角度近似下，应该有

解得圆半径R=1，所以不难推知圆心在复平面上的坐标为

代回上面的计算，可以证明

结果与实参数的高斯积分公式有一致的形式。

利用所证明的积分公式，从式（2）中可以求出任意时刻的波函数

对应地，可以求出经过时间t后，仪器在某点x上能找到这个粒子的概率

值得一提的是，这个概率只与时间成反比，与空间位置无关。即同一时刻，我们在整个空间上任意一点发现这个粒子的可能性是相等的。再细想，这一计算结果也预示着，量子世界中不存在稳定的自由“点粒子”。即使在某时刻我们的确制备了一个点粒子，但将其释放后，它将在下一瞬间均匀弥散到整个空间。

为了更好地理解δ波包的“刹那间弥散”的过程，我们可以将视角转向动量空间（k空间）。根据式（1），δ波包在动量空间中的波函数是

它表明，虽然“点粒子”没有空间上的延展性，但从动量空间的角度，它是由动量从负无穷到正无穷的所有可能的取值对应的波函数叠加而来的，且取到不同分量的贡献是均等的。这恰好是量子系统满足不确定性原理的一个实例，在初始时刻，我们精确知道了粒子处在某一点上，所以得不到关于动量的任何信息。无穷大动量意味着无穷大速度，即使经过任意小的时间，比如0.0000…1s，粒子都有可能跑到世界上的任意一个角落——哪怕是无穷远的天涯。所以，粒子开始演化之后，在任意地方找到粒子的概率都是相等的。由于薛定谔方程并没有引入任何关于相对论的假设，即使其计算结果违背了现在我们熟知的光速最大原理，在当前的理论框架中也仍是自洽的。

二、一个高斯波包的自由演化

“点粒子”模型在量子世界中行不通，表明任何微观粒子在空间上必有相应的展宽。为了更好地理解粒子的自由演化和不确定性原理在其中起到的作用，让我们转而再讨论一个相对真实但又不过于复杂的模型——高斯波包（Gaussian wave packet）。考虑初始时刻，系统的波函数取为

根据从δ波包中得到的经验，我们同时从动量空间和坐标空间分析它的物理性质。为了表述简洁，我们记，先求其傅里叶变换

取换元

再利用高斯积分的结果，即有

对两个结果取模方，求得坐标空间内的概率密度是

在动量空间中是

二者都服从高斯分布。

高斯分布意味着，虽然这个粒子的波函数还是所有可能的能量或动量本征函数叠加的结果，但是其中起主导作用的仅仅是围绕在原点附近的少许部分（如图2中虚线所围内部）。将其与之前分析的δ函数在图像上做对比，可以清晰地看出两者之间的区别。

主导部分占比可以用波包的宽度来描述，数学上，它用方均根来表征。给定一个物理量X，它的方均根是

其中〈·〉是取概率平均。这两个概率密度都是关于y轴对称分布的，所以

〈x〉=〈k〉=0

而对于一个形如的高斯分布，有

利用高斯积分公式，可以求得

将结果分别应用到动量空间和坐标空间的概率密度分布上，可以得到

将它们相乘，可以验证不确定性原理（Uncertainty principle）

恰好有等号成立。这是一个非常神奇且漂亮的结果——多次测量一个满足高斯分布的粒子的位置和动量，将得到自然允许我们达到的最精确的结果。

将高斯波包作为初始条件，代入上一节得到的自由粒子波函数的一般形式

首先记，可以将积分改写成

做变量替换，将积分写为一个高斯积分。此时，参数既有实部，也有虚部，而且实部a＞0，所以积分是收敛的，不需要额外引入正规化方法来处理。同样利用图形法，可以求得

于是，给定时刻的波函数可以被表达为

分离出指数部分的虚部和实部，得到

对应的概率密度为

按照同样的办法可以求出这个高斯分布的方均根

在坐标空间中可以看到，这个波包的展宽随着时间的推移在逐渐变大。换言之，一个高斯波包在演化中会逐渐往四周弥散，正如之前研究过的δ波包。不同的是，高斯波包宽度不会从0突变到无穷大，而是以有限速度在不断增长。

另外，可以发现在动量空间上的波包并不随时间推移而延展。随着时间的演化，

仅与初始波函数有一个相位上的区别，从概率密度的角度看没有任何变化。这是由于，自由粒子的各动量组分保持独立演化，正如上一节所述。于是，动量空间上的波包宽度保持为

再次将两个展宽相乘

随着时间的流逝，微观粒子的演化依然满足不确定性原理。但是值得注意的是，在开始演化后，这个量子系统的不确定性关系并不总是取等号，而是以一种双曲函数的趋势逐渐增加。

小结
Summary

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[1]整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第129、130期视频，由陈广尚执笔。