运动的波包如何演化（上）
——运动的波包及其两类速度的定义^[1]

一般来说，在薛定谔方程主导的量子力学框架下，任何真实存在的物理对象都应当以一个线度有限、速度也有限的波包来刻画。对一个静止的自由粒子是如此，对一个正在匀速运动的自由粒子也应是如此。但当我们提到“匀速运动的粒子”时，首先要注意到的一个问题是：怎么描述一个波包的运动？这正是本节希望厘清的内容。

一、描述匀速向前传播的粒子

在《张朝阳的物理课》前两卷中，我们曾仔细研究过机械波和电磁波的传播过程。根据以往的经验，如果在初始时刻，我们所测得的是一个高斯波包：

f（t=0，x）=e^-ax2

那么可以猜测随时间演化的波包会变形为

然而这样一个直截了当的猜想是否正确呢？答案是否定的。如果将这个波包分别对时间求一阶偏导数和对空间求二阶偏导数

将它们代回自由粒子薛定谔方程，容易验证方程两边并不相等。也就是说，我们所猜测的波包并非薛定谔方程的一个解，自然它无法描述一个微观粒子的演化过程。这其中更深刻的物理原因是，琴弦振动和真空电磁波等波动的波形不会随着时间改变，只会向前传播。然而，在第一节的讨论中，我们知道相比于波动方程，薛定谔方程更像扩散方程，满足薛定谔方程的物质波会随着时间逐渐弥散变形。单纯引入替换x→x-vt或许可以描述波传播的过程，但并不能体现出波函数弥散这一行为。

为了描述一个向前传播的波包，让我们再次回顾自由粒子薛定谔方程一般解的形式

注意，在这里我们试图探讨最一般的表达形式，ϕ（k）是k空间上的任意分布，而不局限于高斯分布。如果记

那么波函数又可以写为

事实上，除量子力学的物质波外，经典力学中的声波、光波也具有同样的数学形式。不同的是，在经典力学中，声波和光波u（t，x）满足波动方程

其中，v刻画了波的传播速度。将单色平面波解

u（t，x）=e^{i（kx-ωt）}

代入方程，可以得到

ω ²=v²k²

即

ω=±vk

可以看到，在这里时间频率ω和空间频率k之间满足线性关系。

同样，我们用传播子或者格林函数法，可以求得波动方程的解可以归为两类：前向传播解与后向传播解，分别对应时间频率ω的正负号

由傅里叶变换的定义不难看出，一个初始时刻波形为f（x）的波包，在单向传播中，波函数

u（t，x）=f（x±vt）

即前述经典波在传播中波形不变的数学表达式。所以在经典力学中，在t＞0时刻的波函数可以直接通过取替换

x→x±vt

来得到。更通俗地讲，它意味着经典光波和声波在传播过程中，其波形不会发生改变——它们只是在做简单的平移。这也是我们能够清晰地听见一段距离外的人的声音而不会失真、能够看到一段距离外的物体而不会模糊的原因。相反，在没有干扰时，如果人在不同位置能够听到不同的声音、看到扭曲的图像，那么这一结果就与我们的日常经验矛盾了。

在上面的推导中，关键的一步是利用了ω与k之间的线性关系，从而可以将积分中指数项中的k提到括号外

e^{i（kx-ωt）}=e^{ik（x±vt）}

此后括号内的项和积分的计算再无关系。物理量ω与k之间的关系如此重要，使得研究波动性质的学者给它起了个特别的称呼——色散关系（Dispersion relation）。在量子力学中，薛定谔方程给出的色散关系是一个二次关系

这也就解释了为何简单的替换在量子力学中不再是合理的。幸运的是，在上一节课中我们认识到，在随时间演化的过程中，微观粒子在k空间上的分布保持不变。利用这一点，再回顾k空间的分布描述的是粒子动量（对应着速度）取某值对应的概率密度，提示我们可以考虑在k空间中的平移波函数——而不是x空间中，即初始时刻改变粒子波函数为

ϕ（k）→ϕ（k-k₀）

以高斯波包为例，即初始时刻波函数

其中N是归一化因子，此时粒子在动量空间的分布不再是相对于y轴对称的，而是偏向k₀一侧。根据量子力学中与实验测量相关的基本原理，与经典力学量相对应的是多次测量结果的平均值。不难验证，此时，即给定波函数描述的恰是一个有初速度的粒子。回到坐标空间中，动量空间中的高斯分布（1）对应的波函数为

它描述的是一个一边向前传播，一边扩散的微观粒子。

二、刻画波包的运动：群速度与相速度

让我们再一次回到最一般的情况

ψ（t，x）=∫dkϕ（k）e^{i（kx-ωt）}

这里的“一般”既指动量空间分布ϕ（k）可以是任意的，也指当前我们讨论的既可能是量子力学中的物质波，也可能是经典力学关心的光波或者声波。事实上，对波或者波包，无论它是经典的还是量子的，我们都采用同一套数学语言来描述。区别只在它们满足不同理论确立的方程或者色散关系ω（k），以及函数的值域。

群速度与相速度的定义如图1所示。在展开讨论前，让我们再多引入一个合理的假设：波包的频谱或者波包在k空间的分布仅局限在某个值k₀附近，当k稍微偏离k₀时，ϕ（k）会迅速衰减为0。于是在计算积分时，偏离太远的区域不再对最后的积分结果有贡献。这样，任意一个光滑的色散关系ω（k）都可以用它在k=k₀附近的泰勒展开式来近似表达：

这里k₀是一个给定的常数，并且重新记k₁=Δk，。观察到，积分中的指数部分可以分解和重新组合为

其中，与k₀和ω₀相关的部分和积分再无关系，可以提到积分符号外。而剩下的与k₁相关的部分，可以整理为

积分部分是一个以x-ω′t为变量的函数，即

如果这里ψ描述一个经典波，它可以被这样解释：首先注意指数部分

是一个向前传播的正弦波，它的速度是

这个速度被称为相速度（Phase velocity），它描述的是波上某一点往前传播的速度。这个正弦波会有一个波幅上的修正f，而且这个修正并不是静止的，而是随时间传播的。既然是传播的，自然可以谈及振幅因子的传播速度。让我们以更具象的方式来说明这一速度的定义：首先，在初始时刻取波振幅大小为常数A的任意一点。在图像上，可以认为是做一条与x轴保持水平的横线，并取其与波函数的某一交点。或者更为具体地，可以想象这样一个过程：我们做一条长杆，在上面穿进一个小球，随着波——比如水面的波浪——向前传播，这个小球会被推动，沿着杆往前行进。振幅因子的传播速度被定义为波上以振幅大小标记的某一点随着时间偏移的速度，即交点在所做横线上偏移的速度，或者小球前进的速度。

如果记交点或者小球的轨迹为x（t），那么在任意时刻，按定义要求满足

f（x（t）-ω′t）=constant

由于轨迹已经确定函数f事实上只依赖时间，两边对时间t求全导数，应该有

但同时，考虑到f在形式上可以被视为关于时间和空间的多元函数，利用链式法则应该有

比较上面两式，可以得到点或者小球的前进速度

这个速度被称为群速度（Group velocity）。进一步，对形如f（x-ω′t）函数求偏导，满足关系

于是又能得到

v _g=ω′

如果ψ描述一个量子力学中的物质波，注意，它只有概率密度

是有物理意义的。这里g是一个关于x-ω′t的实函数，也是一个传播幅度。同样的逻辑，我们可以得到它的群速度是

薛定谔方程给出的色散关系为

考虑p=ħk，也就是非相对论力学的质能关系。利用这一关系，能够计算出群速度为

和粒子的经典运动速度恰好保持一致。而对应的相速度

也就是对一个非相对论的自由的微观粒子，它的相速度恰好为群速度的一半。

三、波包的速度可以超光速吗

在上一节对δ波包的讨论中提到，薛定谔方程是基于非相对论力学的理论，允许粒子“以无穷大的速度运动”。更直接地，薛定谔方程的非相对论性也体现在色散关系中。如果我们考虑一个以相对论性速度运动的微观粒子，应当转而取爱因斯坦给出的质能关系

（pc）²+（m₀c²）²=E²

为色散关系，以代替薛定谔方程给出的结果。这里，m₀为粒子的静止质量。如果在左边对p加上一个微扰，使其变为p+Δp，右边对E加上一个微扰，使其变为E+ΔE，近似到微扰线性项，可以得到

c ²2p·Δp=2E·ΔE

整理后即

当微扰非常小时，可以将其视为求微分，于是

注意，这里利用了德布罗意关系

E=ħω，p=ħk

根据上面引入的定义，结合式（2）和式（3），可以求得波包的群速度为

进一步，注意到相对论性粒子

p=mv，E=mc²

这里以m指代动质量，以区别静止质量，再以v指代粒子运动速度。代入群速度计算结果有

即物质波的群速度仍为粒子运动的速度，与薛定谔方程给出的结果一致。同时可知，群速度一定小于光速。

而另一方面，粒子的相速度为

它将比光速更大！这违反相对论吗？答案是否定的。注意，这里要区分两种速度的不同意义，相速度只是波函数上某点自身的前进速度，表征的是一个相位的偏移，不能传递任何真实的信息。而群速度则相反，它直接与波包和外部相互作用相关，传递物理的、真实的信息，它才对应着物理意义上的波包行进速度。如果对象是经典波，还可以借助上面提到的套杆小球模型来理解这一点。波动本身的某点，只在经过杆的瞬间和小球相互作用，向小球传递能量，并推动它前进。与小球分开后，即使速度再大，也不再与外界有所联系。通过计算可以发现，群速度将永远保持小于光速，可见波包的运动并不违反相对论光速最大原理。

小结
Summary

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[1]整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第131期视频，由陈广尚执笔。