戴德金公理：受控实验的组织、迭代和扩张

现在，我们来研究可自我迭代的受控实验。对于这一类受控实验，当Y并入C后能形成一个新的受控实验时，新的受控实验又产生了新的可控制变量。因为新形成的可控制变量总是可以加入C，并可能形成新的受控实验，当由可观察变量到主体掌握的可控制变量的反馈始终存在（见图1—3）时，我们看到受控实验的不断扩张。那么，如何用符号来研究受控实验的扩张呢？

图1—3 受控实验的自洽扩张

当我们用一个符号代表某一次受控实验，该符号的后继符号代表做下一次相同的受控实验时，该受控实验普遍可重复规定了相应符号集的结构，具有这一结构的集合就是自然数。现在我们改变符号指涉的对象，用一个符号对应某一种受控实验或受控观察，用该符号的后继符号代表和已做过的受控实验或受控观察不同的另一个受控实验或受控观察。在做出这样的改变后，同样要求该集合满足数学归纳法，我们再一次得到了所有自然数的集合。也就是说，自然数对应着所有受控实验和受控观察，而受控实验通过组织和自我迭代不断扩张的符号表达，只是自然数的子集合。将这一数学结果投射到认识论上，我们立即发现，自然数为真，不仅意味着可以定义所有受控实验和受控观察，还可以用此来研究由某些受控实验通过组织和自我迭代产生的受控实验集合与所有受控实验（包括受控观察）的关系。

《消失的真实》第三编讨论自然数时，除了皮亚诺公理，还列举了对自然数的另一种定义，它是由数学家戴德金提出的，即自然数还是满足如下4个公理的集合。

1．C是一集合，c为C中一元素，f是C到自身的映射。

2．c不在f的值域内。

3．f为一单映射。

4．若A为C的子集并满足如下条件——若a属于A，则f（a）亦属于A，且a不在f的值域内，则A=C。[41]

其中条件4和皮亚诺公理条件5相同，即数学归纳法成立。前三个条件是什么意思？戴德金公理中前三个条件叙述了该集合元素产生的过程：将一个已知的元素c代入映射f得到元素f（c），c不在f的值域内，即f（c）不同于c。再将f（c）代入映射f，得到的结果亦不在其值域内，这意味着它与f（c）和c都不同，如此等等。由此可得出两个结论：第一，如果把由f产生的所有元素作为C集，f就是C到自身的单映射；第二，f在规定C集的各个元素时，由它产生的新元素必须和已得到的元素不同。这样，戴德金公理中前三个条件是指，由某一个元素产生一个和它不同的元素，再由这两个元素产生一个和它们都不同的第三个元素，如此等等，最后形成集合C。

如果满足戴德金公理前三个条件的集合中每一个元素都对应着受控实验或受控观察，f就是根据已知的受控实验和受控观察，产生一个和它们不同的受控实验和受控观察。也就是说，f定义了受控实验和受控观察的扩张。接着，我们要求该集合满足条件4。这样我们可以断言：上述由f形成的受控实验和受控观察扩张链涵盖了所有受控实验和受控观察。为什么？因为戴德金公理条件4即数学归纳法成立。也就是说，f产生的所有元素定义了所有的受控实验和受控观察。

现在，可以进一步用符号表达已知的受控实验和受控观察经组织和迭代不断扩张了。令C₁ 为满足戴德金公理集合C的子集合，c为C₁ 中的元素，F是C₁ 到自身的映射；当c不在F的值域内，F为多对一或单映射时，C₁ 表达了受控实验和受控观察经组织和迭代不断扩张形成之集合。这里，F代表了组织和迭代方式，它产生了一个由某些受控实验和受控观察一意规定但又和它们不同的受控实验或受控观察。[42]

当C₁集合有无限多个元素时，意味着受控实验通过组织和迭代无限制地扩张，即由某一组受控实验一定可以产生规模更大、程度更复杂的新受控实验和受控观察。显而易见，C₁是C的子集合，而C是自然数，当C₁ 有无穷多个元素时，它为自然数中一个递归可枚举的子集合。这样一来，揭示某一个特定受控实验或受控观察与由已知受控实验和受控观察经组织和迭代形成之扩张链的关系，就是去分析自然数集合中一个递归可枚举集能否包含某一特定的自然数。在本书第四编第二章，我们将用它来揭示哥德尔不完全定理的认识论意义。