为什么只有一种科学真实

自然数最不可思议之处是，它既可以用皮亚诺公理来表达，也可以用戴德金公理来定义，故自然数的公理亦被称为皮亚诺-戴德金结构。在经验上讲，受控实验或受控观察普遍可重复，不同于受控实验或受控观察无限扩张。前者是关于科学经验的真实性，后者则涉及科学经验如何扩张。如果将这两件事都表达为符号系统，其结构完全相同。这一点令人深思。

科学经验的真实性和科学扩张的符号表达相同，蕴含着什么样的认识论意义呢？根据自然数是受控实验普遍可重复的符号结构，我们可以说自然数作为符号系统本身就是真的。这样，从符号系统本身来讲，自然数的戴德金结构必定也是真的。也就是说，当每一个自然数对应着一个（组）受控实验，且前一个（组）受控实验一定可以产生下一个（组）新的受控实验时，我们可以断言：自然数也定义了所有受控实验。显而易见，这一结论在经验世界不一定成立，但自然数为真意味着受控实验的符号表达是可以无限扩张的。也就是说，对于有限个受控实验和受控观察，我们总是可以在符号上给出一个和它们不同的受控实验和受控观察，其为受控实验和受控观察在符号上的扩张。这无疑表明用符号表迖所有受控实验和受控观察是一定可以做到的。简而言之，自然数定义了所有作为整体的受控实验和受控观察的符号表达。

在所有受控实验和受控观察中，有的是可以重复的，有的是普遍可重复的，即是真实的。我们立即得出一个结论：个人真实和科学真实是所有受控实验和受控观察集合的子集合。在所有普遍可重复的受控实验和受控观察中，有的可以通过组织和迭代不断扩张，有的不可以通过组织和迭代不断扩张，它证明科学真实经验可以分为两种不同类型。第一种类型人人皆知，那就是我们在物理世界的科学经验。第二种类型则要等现代科学发展到一定程度才呈现，它是主体进入虚拟世界的科学经验。[43]自然数的皮亚诺-戴德金结构表明，上述各种经验即受控实验和受控观察之间的关系都可以用自然数集合、其元素及子集合加以表达并进行研究。

自现代科学形成以来，科学家有两个基本信念，一是大自然之书是用数学写成的，数学研究有助于发现新的受控实验和受控观察。二是科学技术发展是无限的，不会在某一天终结。为什么如此？一直没有人能回答。今天我们终于知道答案了，这正是因为科学经验的真实性的符号表达和科学经验扩张的符号表达相同。自然数既是普遍可重复的受控实验和受控观察的符号结构，又是受控实验和受控观察不断扩张的符号表达，这样一来，存在着无限个自然数不仅代表了科学经验可以无限制扩张，[44]还意味着作为整体的受控实验和受控观察的不断扩张可以用符号来研究。换言之，科学真实的发展既然是依靠普遍可重复的受控实验和受控观察的不断扩张达到的，那么它在付诸实现前，其结构可以在心灵中用符号预演，这正是数学对科学经验扩张的意义。

今天只要我们去分析任何一个普遍可重复的受控实验和受控观察，就会发现它们往往是由另一些普遍可重复的受控实验和受控观察组成的。另一些普遍可重复的受控实验和受控观察还可以进一步化约，最后它们可归为人对自己和可利用事物的空间位置的选择，用力改变事物到自己想要达到的形态等。更重要的是，所有这些“选择”和“改变”本身也是普遍可重复的受控实验和受控观察，只是其可控制变量是人生来具有的罢了，我们称其为人所拥有的基本受控实验和受控观察。

简而言之，对每一个已知的普遍可重复的受控实验和受控观察，都可以得到一条基本受控实验和受控观察通过组织和迭代形成的扩张链，这些扩张链也可以按次序互相联系起来，形成一条扩张总链。这条扩张总链构成了今日所有的普遍可重复的受控实验和受控观察。它就是人类掌握的科学技术，其有一个源头，那就是人所拥有的基本受控实验和受控观察。所谓现代科学，就是从这一源头不断扩张以至延伸到无穷的链条罢了。

据此我们可以想象：如果存在着和人不同的主体，他们有着和我们不同的基本受控实验和受控观察，其掌握的科学技术是否可以和我们掌握的不相交？显而易见，对一条从基本受控实验和受控观察通过组织和迭代形成的扩张链而言，当这条链的起始元素不同时，它们是不尽相同的。例如蝙蝠拥有的可观察变量和可控制变量与人类不同，它们可感知的经验世界（包括对客观实在的界定）和人类明显有别。如果科学仅仅是用符号对客观实在做表达，蝙蝠的客观世界及其符号表达肯定和人类不同。现在我要问：如果蝙蝠也有意识和自由意志，它们科学世界的基本原理和人类科学世界的基本原理是否相同？科学基本原理基于普遍可重复的受控实验和受控观察不断扩张的链，蝙蝠和人类的差别仅在于扩张链的起点，其相当多的部分是重合的。也就是说，扩张链作为整体是基本一样的，因为它们都可以通过组织和迭代无限制地扩张。之所以会如此，是因为蝙蝠和人类生活在同一时空之中。[45]

现在，我们可以知晓为什么逻辑经验论和分析哲学的科学观一定是错的，因为其把科学等同于用逻辑语言表达客观实在。如果客观实在对应着普遍可重复的受控观察，自然数仅仅刻画了主体获得客观实在信息的可靠性，那么我们面临的真实经验世界不可能随着主体的控制活动而扩张。这样的科学只能是某种扩大了的博物学，因为自然数集合不代表受控观察范围的扩大。在相应的科学理论研究中，自然数之间的关系是没有意义的，科学理论的符号推演只是三段论式的同义反复。只有利用自然数的戴德金结构，自然数之间的关系才对应着从一个（组）已知的受控实验如何得到另一个（组）受控实验，以及受控实验自我迭代及组织方式。也就是说，如果离开数学，我们无法理解什么是科学经验真实，以及科学真实为什么可以不断扩张。

上面我用数学代替了自然数。虽然自然数和受控实验普遍可重复及其无限扩张存在对应，但这并不等于我们已经把所有受控实验的结构符号化了。既然如此，又怎么能把数学研究看作受控实验及其无限扩张的符号预演呢？虽然自然数是数学的起点，但现代科学运用的数学远远超过了自然数。数学是什么？它作为主体的发明为什么一定是真的？这些问题困惑哲学家已有2 000年之久，至今没有答案。

下面我将证明：自然数对应受控实验普遍可重复，以及通过组织和自我迭代无限扩张，这只是受控实验一种最简单的符号描述。除自然数外，受控实验的各种细节都可以进一步符号化——无论是受控实验本身，还是其普遍可重复性，抑或是其通过组织和自我迭代的无限扩张，而且所有这些符号表达都可以是自洽的。该符号系统的整体就是神秘的数学大厦。

[1] 我认为，人与动物的区别是人能自由地创造并使用符号，这是20世纪语言学革命的隐含前提，但其并未得到哲学家清晰的表达和论述。一个例外是卡西尔及其《人论》，他给出了一个著名的定义：人是符号的动物，并认为，“符号化的思维和符号化的行为是人类生活中最富于代表性的特征，并且人类文化教育的全部发展都依赖于这些条件”。然而，卡西尔对符号本身的定义稍显含混，只提出符号是指称者，是人类意义世界的一部分。此外，他也没能注意到纯符号系统自身可以为真。（详见恩斯特·卡西尔：《人论》，在我看来，正是因为对符号本身缺乏一个清晰的、具有共识性的定义，语言学者持续在争论动物（特别是黑猩猩）是否具备学习和使用符号的能力，并通过实验得出了支持各自观点的结论。（Mark A. Krause and Michael J. Beran, “Words Matter: Reflections on Language Projects with Chimpanzees and their Implications”, American Journal of Primatology, Vol. 82, No. 10, 2020.）本书的目标之一就是揭示什么是符号，以及“自由地创造和使用符号”到底意味着什么。

[2] 详见金观涛：《消失的真实》，第249—267页。

[3] 例如，逻辑经验主义的代表人物之一罗素提出：“在历史上数学和逻辑是两门完全不同的学科：数学与科学有关，逻辑与希腊文有关。但是二者在近代都有很大的发展：逻辑更数学化，数学更逻辑化，结果在二者之间不能划出一条界线；事实上二者也确是一门学科……如果还有人不承认逻辑和数学等同，我们要向他们挑战……”（引自《罗素文集（第3卷）：数理哲学导论》，晏书成译，商务印书馆2012年版，第225页。）

[4] 我在《消失的真实》第二编指出，“数学被包含在逻辑之中”的观点可追溯至亚里士多德。尽管亚里士多德没有明确这样讲过，但早在古希腊已经出现数学的本源是被包含在形而上学（或形式逻辑）之中的看法。只有集合论严格地定义了符号系统的等同和包含关系后，是否可以从逻辑导出数学才转化为有意义的探讨。（参见金观涛：《消失的真实》，第183页。）

[5] 德国数学家高斯有一个广泛流传的说法：“数学是科学的皇冠，数论则是数学中的皇冠。”（引自Richard Courant and Herbert Robbins, What is Mathematics?An Elementary Approach to Ideas and Methods (Second Edition), Oxford University Press, 1996, p.21。）

[6] 自然数可以定义为“符号的序号等同于该序号表达的符号数目”，这里“数”来自经验，故自然数是数“数”过程的符号表达。事实上，自然数对应的英文翻译有两个，一个是natural number，另一个则是counting number。不同的数学入门书对自然数的定义也都是“人类为了计数而发明的符号”。（例如高尔斯主编：《普林斯顿数学指南（第1卷）》，齐民友译，科学出版社2014年版，第25页；Richard Courant and Herbert Robbins, What is Mathematics?, p.1。）

[7] 17世纪末，数和代数学已经被视作独立于几何学而存在，代表人物包括牛顿、莱布尼茨、欧拉等。然而，当时的数学家并未能效仿《几何原本》，发展出一个数和代数学的演绎推导结构。究其原因在于，几何学的概念、公理和原理在经验直观上远比算数和代数更容易理解，特别是几何作图有助于解释相关原理。相较之下，无理数、负数和复数的概念要抽象得多。（M.克莱因：《数学：确定性的丧失》，李宏魁译，湖南科学技术出版社2012年版，第161—163页。）一直要到19世纪集合论诞生之后，人们才逐渐意识到算术和代数学与几何学的根本差异在哪里。

[8] 这就是康托尔有关“基数”或者“势”的理论。他提出，在有限的情况下，如果不同的元素集可以建立起一一对应的关系，我们就说它们有一样的数量（基数或者势）。（参见卡尔·B. 博耶：《数学史（修订版）（下卷）》，尤塔·C.梅兹巴赫修订，秦传安译，中央编译出版社2012年版，第608页。）

[9] 弗雷格认为自然数不是一个概念，而是对象，具有某种独立性和实在性。但他对自然数作为对象的真实性缺乏清晰有力的论述，只是以数字4为例，含混地说道：“对于每个和4这个数打交道的人来说，4实际都是完全一样的；但是这与空间性没有任何关系。并非每个客观的对象都有一个空间位置。”（参见G. 弗雷格：《算数基础》，王路译，商务印书馆1998年版，第78页。）

[10] 在弗雷格的数学哲学体系中，对“类”这个概念的使用是定义自然数的关键步骤，但这个概念在《算数基础》中并没得到详尽的分析，弗雷格假定人们知道什么是一个类（概念的外延）。（详见达米特：《弗雷格——语言哲学》，黄敏译，商务印书馆2019年版，第40—46页。）

[11] G. 弗雷格：《算数基础》，第84—86页。

[12] G. 弗雷格：《算数基础》，第85页。

[13] G. 弗雷格：《算数基础》，第96页。弗雷格在定义1的时候指出：为了1的客观合理性，对1的定义不假定任何观察的事实。他还强调：即便所有理性的动物都进入冬眠，定义自然数的句子之真假也不会发生变化，而且完全不受影响。（G. 弗雷格：《算数基础》，第96—97页。）基于此，弗雷格否定了数学是一种心灵建构的说法。他区分了两类主体活动：主观感知和客观认知，前者对应我们的个人感受，后者则是对客观世界的认识过程。他还以色盲为例，指出：色盲对色彩的主观感受肯定与常人不同，但这并不妨碍他谈论“红的”和“绿的”，因为这些颜色词表达的通常不是人的主观感受，而是一种客观性质。色盲可以通过别人对颜色的区分，或者物理实验，认识到这种性质。（G. 弗雷格：《算数基础》，第43—44页。）在弗雷格看来，数也是如此。问题在于，主观感知和客观认识的界限在哪里？它们各自的真实性基础又是什么？对此，弗雷格并未给出清楚的解答。（对于弗雷格这一观点的商榷，可参见Michael Dummett, Frege: Philosophy of Mathematics, Harvard University Press, 1991, p.79。）

[14] 关于弗雷格对自然数的定义，以及罗素悖论，我在《消失的真实》第三编中提供了一个相对通俗的介绍。（详见金观涛：《消失的真实》，第253—254页，第259页。）

[15] 罗素在1902年将自己发现的悖论写信告知弗雷格（Russell, “Letter to Frege”,in Jean van Heijenoort, ed, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879—1931, Harvard University Press, 1967），弗雷格意识到自己短时间内无法解决罗素悖论，只能在自己即将出版的《算术的基本规律（第2卷）》中坦言自己的这一窘境：“即便是现在，我也没能弄清楚……如何将数理解为一个逻辑对象并加以研究”，并附上了罗素悖论的全部论证过程。（Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic, Volumes I & II, translated and edited with an introduction by Philip A. Ebert and Marcus Rossberg, Oxford University Press, 2013, pp.253-265.）在集合论的悖论被发现之后，以及在弗雷格自己的《算数的基本规律》的形式系统中，“类”这个概念就不再被视作简单明确的，而此时逻辑主义也就失去了大部分吸引力。最终，弗雷格在中断数学哲学研究长达20年之后，彻底拒绝了关于类的理论，认为这个概念是语言造成的幻觉。这也使他最后放弃了逻辑主义。（达米特：《弗雷格》，第40—46页。）

[16] 详见胡作玄：《第三次数学危机》，四川人民出版社1985年版，第85—92页。关于集合论悖论，一个典型例子是康托尔有关超限序数的讨论。序数最常见的定义就是把每个序数等同于先于它的所有序数构成的集合。我们把从0（所有序数中最小的）到10这些序数组成集合{0，1，2，……，10}，该集合就是序数11。这就带来一个问题，如果我们要定义一个“所有序数的集合”，这个序数一定大于集合内的每个序数，但同时它又必定属于这个“所有序数的集合”。这就引发了悖论。康托尔提出的超限序数帮助解决了这个悖论。所谓超限数指的是大于所有有限数（自然数）的数，最小的超限序数是ω，“所有的有限序数组成的集合”就得到了自洽定义。但对所有超限序数组成的集合而言，并没有类似ω的对应物。这样一来，在定义“所有超限数组成的集合”的时候，就又会出现悖论。（参见Joseph Warren Dauben, Georg Cantor:His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, 1979,p.242; Georg Cantor, “Letter to Dedekind”, in Jean van Heijenoort, ed, From Frege to Godel, pp.113-117。

[17] 弗雷格在自己生活的时代，一直寂寂无闻，他的工作只有罗素、维特根斯坦和胡塞尔有比较准确的了解。罗素的《数学的原则》专门有一个附录讨论弗雷格，他和怀海特合著的《数学原理》在序言中特别强调“在关于逻辑分析的所有问题上，我们都主要受惠于弗雷格”。维特根斯坦的《逻辑哲学论》也在正文中反复援引“弗雷格的伟大著作”。胡塞尔的《逻辑研究》也引用了弗雷格的研究。（参见达米特：《弗雷格》，第46—47页。）

[18] 详见图尔特·夏皮罗：《数学哲学：对数学的思考》，郝兆宽、杨睿之译，复旦大学出版社2009年版，第111—120页。

[19] 在1959年完成的《我的哲学的发展》一书中，罗素就曾抱怨说：“大家只从哲学的观点来看《数学原理》，怀特海和我对此都表失望。对于关于矛盾的讨论和是否普通数学是从纯乎逻辑的前提正确地演绎出来的问题，大家很有兴趣，但是对于这部书里所发现的数学技巧，大家是不感兴趣的……甚至有些人，他们所研究的问题和我们的问题完全一样，认为不值得查一查《数学原理》关于这些问题是怎么说的。”（《罗素文集（第12卷）：我的哲学的发展》，温锡增译，商务印书馆2012年版，第85页。）英国数学家戈弗雷·哈代还转述过罗素的一个噩梦，在梦中，罗素来到2100年的剑桥大学图书馆，他看到一位图书管理员带着一个大桶在书架间来回走动，逐一拿下书架上的每本书翻阅，然后要么把书放回书架，要么把它扔进桶里。最后，他来到罗素三卷本的《数学原理》（这是世界上仅存的一套纸质版）前面；拿下书翻了几页之后，管理员似乎因为书中各种奇怪的符号而感到困惑，之后他合上书，在手上反复掂量、犹豫……（Godfrey Harold Hardy, A Mathematician’ s Apology, Cambridge University Press, 2012, p.83.）

[20] 关于这本书的相关信息，可访问Hometopy Type Theory, https://homotopytype theory.org/。

[21] 哥德尔定理的提出对罗素和怀特海的《数学原理》形成致命一击。在1930年和1931年的两篇文章中，哥德尔先后证明《数学原理》中存在形式上无法判定真假的命题。（详见Kurt Gödel, “Some Metamathematical Results on Completeness and Consistency”; Kurt Gödel, “On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”, in Jean van Heijenoort, ed, From Frege to Godel。）

[22] 任何一个数学证明都对应着一个哥德尔数，而数学推理除了运用符号等同和包含关系外，其整体必须满足递归可枚举结构。

[23] 金观涛：《消失的真实》，第240—243页，第309—311页。

[24] 皮亚诺在1889年提出了9条公理来定义自然数，但其中第二至第五条公理在当代并未囊括到一般所言的“皮亚诺公理”中。（详见Giuseppe Peano, “The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method”, in Jean van Heijenoort, ed,From Frege to Godel. p.83。）

[25] 需要说明的是，这里对皮亚诺公理的形式表达做了一些调整。在皮亚诺所处的时代，集合公理化运动还没完成，他不可能清楚地区分集合与“类”“性质”，后两者是经验对象才拥有的。例如，在原初的皮亚诺公理中，会先定义起始符号1（或者0）为常量符号或自然数。此外，皮亚诺还定义了一个符号K，其指的是类或“集族”。换句话说，皮亚诺认为集合是“类”的子概念。（详见Giuseppe Peano, “The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method”, p.94.）本书在讨论皮亚诺公理的时候，省略了上述有缺陷的内容，只涉及今日数学家重新加以表述的严格定义。

[26] Giuseppe Peano, “The Principles of Arithmetic, Presented by a New Method”,p.83.

[27] 严格证明参见附录一。

[28] 事实上，在皮亚诺1908年提出的公理版本中，皮亚诺就是以0为起始符号的。（参见Giuseppe Peano, Formulario Mathematico, editio V, Turin, Bocca frères, Ch.Clausen, p.27。）

[29] 休谟建立了两种知识类型或人类理性的研究对象。一是观念的关系，包括几何、代数、算术等科学，这类研究在直觉上或演绎（数学归纳法本质上是一种演绎方法）上具有确定性。它仅仅依靠思想的活动就能完成，并不依靠在宇宙中任何地方存在的东西。二是实际的事情，与之相关的一切推理都建立在因果关系上。这种关系的知识不是由先天推理获得，而是当我们发现任何一些特定对象互相恒常地会合在一起时，完全从我们的经验中来的。（参见大卫·休谟：《人类理智研究》，周晓亮译，沈阳出版社2001年版，第23—26页。）

[30] 金观涛：《消失的真实》，第11—12页。

[31] 实在论哲学在历史上有着复杂的渊源流变，这里无法深究。但一般而言，实在论者倾向于认为“存在”意味着独立于任意主体的信仰、语言行为、概念图式等。（Alexander Miller, “Realism” , Stanford Encyclopedia of Philosophy,December 13, 2019, https://plato.stanford.edu/entries/realism/.）进入20世纪之后，也有西方学者提出新的实在论（如霍尔特等：《新实在论》，伍仁益译，商务印书馆2013年版），其中德国哲学家马库斯·加布里尔近年来受到很多关注，他提出了所谓“意义域”的理论，主张关注对象的意义，即对象的属性或特质。不同对象有不同的意义，每个对象也都包含多种意义，而我们每个人日常认识的仅仅是对象的特定意义（或性质）。借此，他试图超越传统形而上学和后现代主义的二元对立。但问题在于，“意义域”理论预设人无法从整体上去把握世界的意义，在此基础上，加布里尔提出一个说法：世界并不存在，而认识过程被解释为每个个体对特定对象的特定意义的把握。（Markus Gabriel,Fields of Sense: A New Realist Ontology, Edinburgh University Press, 2015.）然而，新实在论始终无法清晰地定义什么是意义。

[32] 金观涛：《消失的真实》，第296—304页。

[33] 一个例子是各种视错觉的流行，如月亮幻觉，即月亮在地平线附近的时候，会显得比在天空中的时候更大；还有铁道错觉，对于在两条收缩线中的物体，我们会认为接近收缩点的物体更大，即使它们的大小是一样的。事实上，各种魔术之所以奏效，也是因为利用了人在接收外部信息过程中出现的各种错觉。（参见Stephen Macknik, Susana Martinez-Conde and Sandra Blakeslee, Slei ghts of Mind: What the Neuroscience of Magic Reveals about Our Everyday Deceptions, Picador, 2011。）

[34] 关于经验主义一般特征的总结，可参见Peter Markie and M. Folescu, “Ratio nalism vs. Empiricism”, Stanford Encyclopedia of Philosophy, September 2, 2021,https://plato.stanford.edu/entries/rationalism-empiricism/。

[35] 金观涛：《消失的真实》，第299—304页。

[36] 20世纪信息论的奠基人是克劳德·香农，他在1948年发表的代表性论文中指出，通信的核心是主体从一组可能的信息中选择一个信息，整个通信系统是为这一主体选择过程设计的。（详见Claude Elwood Shannon, “A Mathematical Theory of Communication”, The Bell System Technical Journal, Vol. 27, Issue 3, 1948。）

[37] 如前所述，把对象放到笼子里拿到观察者面前，亦属于这种选择。

[38] 关于信息的严格定义，我在“科学的经验：有默会知识吗”一节给出。

[39] 一个例子是X射线的发现，德国科学家伦琴是在研究阴极射线的过程中发现了X射线的。伦琴对阴极射线的实验设计，又受益于前人特别是德国科学家赫兹及其学生勒纳德的相关实验成果。事实上，赫兹与勒纳德在自己的阴极射线研究中已经探测到X射线，但并没能认识到两种射线的差异。一直到等到科学界弄清楚阴极射线的本质之后，才可能将阴极射线作为可控制变量，并通过X射线去研究新的受控实验。（参见Joseph F. Mulligan, “Heinrich Hertz and the Development of Physics”, Physics Today, Vol. 42, No. 3, 1989。）

[40] 例如，对光、原子结构、热力学的研究进展，无疑推动了20世纪天文学家对各类星体的研究。星际化学这一天文学分支学科的出现，就源自人类对原子、分子结构认识的加深。（Laurie M Brown、Abraham Pais、Brian Pippard编：《20世纪物理学（第3卷）》，刘寄星主译，科学出版社2015年版，第330—441页。）然而，天文学依旧属于受控观察，因为人类至今不具备控制研究对象的能力。

[41] 戴德金公理是在1888年问世的。然而，当时戴德金并未明确给出自然数的定义；他给出的是4条定义单无穷集合S的公理，但指出S集合的元素是自然数或序数。倘若用现代数学语言来表达1888年公理，则如果S是一个单无穷集合，则它一定有一个子集N、一个映射f，以及N中的一个元素1，使它们满足以下条件：第一，f（N）是N的子集；第二，1是N的元素，且对任何集合X，如果1是X的元素，且f（X）是X的子集，则N是X的子集；第三，1不是f（N）的元素；第四，f是一个单映射。（Richard Dedekind,Essays on the Theory of Numbers, authorized translation by Wooster Woodruff Beman, Dover Publications, Inc, 1963, pp.53-67.）本书所采用的是1888年公理的等价形式，其对应的是戴德金1890年写给汉堡的一位中学校长汉斯·克费施泰因的信中对1888年公理的重新叙述，但省略了1890年公理中有关后继元素的规定。（Richard Dedekind, “Letter to Keferstein”, in Jean van Heijenoort,ed, From Frege to Godel, p.99.）相较1888年公理，本书采用的是今日数学界从戴德金当年公理出发得到的自然数的定义。此外，在1888年公理的表达中，数学归纳法和自然数定义的关系是隐藏在整个公理结构中的。本书采用的公理表达，则在第四条公理中清晰呈现如何通过数学归纳法来定义自然数。

[42] 由一组已知受控实验通过组织和迭代规定的新受控实验分为两种，一种是和已知受控实验互相自洽的，图1—3为由已知受控实验自我迭代形成的新受控实验的典型例子。另一种是和已知受控实验矛盾的，所谓矛盾是指其可控制变量和已知受控实验有冲突。这两种情况都属于受控实验通过组织和迭代的扩张，之所以强调第二种情况，因为在量子力学中受控实验的组织和迭代大多如此，我们将在第三编第一章讨论。

[43] 《消失的真实》只分析了普遍可重复的受控实验和受控观察的第一种类型。关于第二种类型，我会在第三编第二章讨论。

[44] 关于普遍可重复的受控实验和受控观察可以通过组织和迭代无限扩张的前提，见“为什么我们生活在时空之中”“物理世界和虚拟世界”二节。

[45] 为什么生活在同一时空中，不同的扩张链必定相交？这是因为时空测量与普遍可重复的受控实验和受控观察并存且互相自洽，是受控实验和受控观察可通过组织和迭代不断扩张的前提，对此我在第三编第二章会具体讨论。