3.6　过载情况下的自适应波束形成算法

由于传统的波束形成算法要求信源数小于或等于阵元数，如果信源数大于阵元数（过载的情况下），一般算法性能就会下降。本节研究了一种可适用于过载情况的波束形成算法——近似最小方差波束形成算法[63]。

3.6.1　信号模型

当K个信号源入射到M元天线阵时，阵列信号的输出一般可以表示为如下的矩阵形式：

式中，，，，为M×K维矩阵，为阵列的导向向量，是第m个阵元对方向的入射信号的响应。波束形成器的输出为

式中，表示阵列信号的加权向量。

3.6.2　近似最小方差法波束形成算法

由于M元天线阵的自由度为M-1，在限定主瓣方向的增益为1后，只能形成M-2个零点。因此，当干扰源的数目小于或等于M-2时，上述的最小方差法波束形成器能够去除所有的干扰信号，得到可观的载干比；当入射的信号数大于M-2时，上述方法只能得到一个最小方差意义下的最优解。为了考察当入射信号无限增多时权系数的最优解，做如下假设：

（1）入射信号角度间相互独立且在[0，2π]区间内均匀分布。

（2）入射信号幅度间相互独立且与入射角度无关，入射信号的功率有限。

定义波束形成器的输出功率对信号总功率的归一化值为

式中，pi为第i个入射信号的功率；E{P}为为输入信号功率的平均值；f(θ)为方向图函数，可表示为

在上述假定条件下，依据Chebyshev大数定律，概率收敛于，其中，P表示干扰功率的随机变量，θ表示干扰源入射角度的随机变量，它服从[0～2π]的均匀分布，则

将式（3-60）代入式（3-61），得

式（3-63）是由阵列几何结构决定的M×M维矩阵。由于它和阵列响应协方差矩阵R有相似的形式，而与输入阵列的信号无关，故将其命名为阵列固有的协方差矩阵。

近似最小方差法的优化准则为

同样，由Lagrange乘子法求出w的优化解：

于是，近似最小方差法（AMV）波束形成算法可以表述为：先由阵列的几何结构求得，然后依据已知的信号来波方向θ和式（3-64）得到的权值优化解来形成波束。

由上述推导可以看出，当入射干扰数无限增多时，AMV波束形成器就是最小方差意义下的最优解。虽然在实际中不可能存在无穷多个干扰信号，但在CDMA体制下，同一小区容纳的用户数较多，且每个用户都可能产生多个多径信号，多址干扰源的个数将大于阵元个数，这时AMV方法近似于LCMV方法。

由于AMV方法与数据无关，只要知道信号的来波方向，就能从闭式求解出阵列权值，不需要估计阵列响应的协方差矩阵，因此AMV方法比LCMV方法的运算量小。

当在旁瓣方向上有相干信号入射时，LCMV方法以提高相干源入射方向的旁瓣电平来保证阵列的输出功率最小，这时被接收信号的一部分功率被其相干源抵消，因而不能保证载相干比最大。从式（3-59）可看出，AMV方法在空间频率域上定义阵列输出功率，这和旁瓣入射的相干源一样，被认为是干扰信号，因此AMV方法不存在相干源的信号相消问题。

在上述推导过程中，并未指定阵列的几何结构，因此AMV方法适用于任意形式阵列的情况。下面以均匀线阵为例，给出阵列固有的协方差矩阵的求解方法。

均匀线阵的导向向量为，式中，d为阵元间距、λ为载波波长。

根据式（3-63），均匀线阵的阵列协方差矩阵的第n行m列元素为

AMV方法对信噪比具有稳健性，其算法只与阵列天线结构有关，与入射信号数量等无关，这极大简化了算法的计算过程。