3.5 基于投影和斜投影的波束形成算法
3.5.1 基于投影的波束形成算法
1. EBS波束形成算法
假设有l个期望信号，J个干扰，对有限次快拍下的协方差矩阵
进行特征分解：
式中，
是相应的M个特征值，其对应的特征向量为
，记
Us的列向量张成信号子空间，而Un的列向量张成噪声子空间。在SMI算法中，自适应权为
上式表明权向量由信号子空间分量和噪声子空间分量构成。在理想情况下，期望信号位于信号子空间，有
，因此，权向量
仅为信号子空间的分量，噪声子空间的分量为零。ESB算法就基于这种原理，摒弃权向量在噪声子空间中的分量而仅保留在信号子空间中的分量，成为基于特征结构的自适应波束形成算法或投影算法，即
当数据协方差矩阵
中含有较强的期望信号时，该算法较为有效。当期望信号功率较小时，直接摒弃权向量在噪声子空间中的分量将会有较大的误差。一种极端情况是，
中不含期望信号，即在理想情况下，
不成立。权向量在噪声子空间的分量不为零，此时
不是最优权了，它将导致输出SINR性能下降。另外，由于噪声子空间的扰动，使自适应方向图发生畸变。所以ESB算法不适用于小期望信号。
2. EBS改进算法（IESB）
（1）
进行特征分解后，特征值从大到小排列，计算第J+1和J+2两个特征值之比，当
大于某个门限值时，则构成
否则
（2）对
进行奇异值分解
（3）将SMI方法求得的权向量
向
的大特征值对应的左奇异向量列空间
投影，即
由于引入了期望信号导向向量，并且在期望信号功率与噪声功率相当或更弱时，去除了干扰较大的特征向量，该方法能在输入信号较大时保持基于特征结构的自适应波束形成算法性能，又能在期望信号较小（甚至为零）时具有较好的波束保形能力。但是，该方法计算量较大，需要进行一次特征分解和一次奇异值分解。
3.5.2 基于斜投影的波束形成算法
采样矩阵求逆（SMI）算法是最常用的自适应波束形成算法，该算法具有较快收敛速度。但是SMI在少快拍数、高信噪比和相干信源情况下会导致副瓣电平升高，主瓣偏移，波束畸变，输出信干噪比（SINR）下降。文献[20，21]提出了对角线加载的波束形成算法来抑制方向图畸变，分析了加载量对自适应阵列信干噪比的影响。对角线加载技术能减弱小特征值对应的噪声波束的影响，改善了方向图畸变。但是加载量的确定一直以来是一个比较困难的问题，至今仍没有很好地解决，从而限制了对角加载技术的实际应用。文献[25，26]中利用投影算子改善了波束形成的稳健性，但投影算法在相干信源情况下性能下降，而且投影算子需要知道期望信号和干扰信号的方向向量，这在实际系统中很难满足。斜投影算子是投影算子扩展，文献[27，28]中将斜投影成功应用于单输入多输出系统的盲辨识，文献[29]中将斜投影应用到DOA估计，文献[30]中将斜投影应用到卷积混合信号的盲分离。文中将研究基于斜投影的波束形成算法，对接收信号进行斜投影可有效消除干扰，进而提高波束形成的稳健性，而且该算法在少快拍数和相干信源情况下仍具有较好的波束形成性能。
1. 斜投影基础原理
矩阵
（F≤N），矩阵A的投影矩阵为
；
为矩阵A的正交投影矩阵。斜投影是正交投影扩展，斜投影算子
为沿着与子空间Rang(B)平行的方向，到子空间Rang(A)上的投影算子：
其中，EAB是方阵，且为非对称矩阵，它有以下特性：EABA=A；EABB=O。
定义A=[H,S]，则
矩阵A的投影矩阵PA
可见，矩阵A的投影矩阵PA可表示为两个斜投影矩阵之和。
2. 阵列信号的模型
假设有K个信源，信源i的信号为期望信号，考虑M元均匀线阵接收信号可表示为
其中，
是信源k的发射信号；
是信源k的波达方向；
是信源i的归一化方向向量；n(t)为均值为0，方差是
的白噪声；K为信源数。方向矩阵
；信源矩阵
；矩阵
包含K-1个信源方向向量，为干扰信源的方向矩阵；
包含K-1个信源信号，为干扰信源矩阵。
接收信号的协方差矩阵表示为
其中，
是期望信号的功率，
是干扰源信源协方差矩阵。
对接收信号的协方差矩阵进行特征分解，有
其中，US是信号子空间，UN是噪声子空间。
定义矩阵RA：
3. 基于斜投影的波束形成算法
对阵列接收信号进行斜投影
，则
其中，矩阵
是沿着与子空间
平行的方向，到子空间
上的投影算子。
斜投影后对信号进行空域匹配滤波，得到
斜投影矩阵
需要知道期望信号和所有干扰源方向向量，在实际的系统中很难满足。
引理3.5.1 斜投影矩阵
，也可写成
其中，
是伪逆矩阵，
斜投影的波束形成算法的具体步骤如下。
步骤1：计算接收信号的协方差矩阵，并进行特征值分解，根据式（3-53）计算出
，进而根据公式（3-56）计算出斜投影矩阵
步骤2：对阵列接收到的信号进行斜投影，如式（3-54）所示。
步骤3：对斜投影后的信号进行空域匹配滤波，如式（3-55）所示。这样就实现了斜投影的波束形成。
总之，基于斜投影的波束形成算法在不同SNR情况下皆具有较好的波束形成性能，且在少快拍数情况下仍具有较好的波束形成性能。而且，该算法只需要期望信号的方向和接收信号，是一种稳健且性能优越的波束形成算法。