1.2 √2引发的血案——无理数的发现与第一次数学危机

难度：★★★

在1.1节中我们讲到毕达哥拉斯学派始终认为“一切事物都可归结为数或数的比例”“所有的数都是有理数”，这几乎成为当时数学界的一种共识。如果将这个结论用几何的语言来描述，可以描述为给定任意长度的两条线段A、B，都可以找到第三条线段C，并以C为单位线段可将线段A、B划分为整数段。在数学上把线段A、B称作可公度量，或可通约量。图1-9描述了可公度量的含义。

如图1-9所示，线段A、 B可被线段C划分为整数段，因此线段A、 B是可公度的量，线段C称为线段A、 B的公度。

为什么可以通过可公度量来描述有理数呢？这个并不难理解。假设线段A、B的长度l_a和l_b一定是有理数，则l_a/l_b通过约分一定能够得到一个既约分数（分子和分母的公约数为1），不妨设这个既约分数为a/b，其中a和b都是正整数。所以一定存在有理数C使得l_a=aC， l_b=bC，其中C就是这个公度。所以，如果所有的数都是有理数，则必然可以推导出“任意的两条线段都是可公度的”这一结论。

但是毕达哥拉斯学派的希伯索斯却发现了一个令人震惊的事实——正方形的对角线与该正方形的一条边是不可公度的。这是因为根据毕达哥拉斯定理（勾股定理），一个直角三角形的两直角边的平方和等于其斜边的平方，所以对于如图1-10所示的正方形，必然有

2y²=x²

如果线段x和y是可公度的，则x/y一定可约成一个既约分数，不妨设为a/b，其中a和b是互质的。所以有

所以a²是偶数， a也是偶数。不妨假设a=2k，于是可推导出

因此b²是偶数， b也是偶数。

“a和b都是偶数”的结论与“a和b是互质的”相矛盾，因为a和b至少还存在公约数2。导致这个矛盾的原因就是假设出了错误，所以线段x和y是不可公度的。如果正方形的一条边长为1，则该正方形的对角线长度一定不是一个有理数，它等于 2。

希伯索斯（见图1-11）发现的这一不可公度性与毕达哥拉斯学派的“万物皆为数”的理论产生了矛盾。这在当时令毕达哥拉斯学派的信徒十分惶恐，因为这一发现动摇了他们在学术界的统治地位。一些毕达哥拉斯学派的门徒为了惩治这个“离经叛道者”，将希伯索斯投入地中海，残忍地杀害了他。

然而真理并不会因为希伯索斯被投入大海而被淹没！希伯索斯的这一伟大发现第一次向人们揭示了有理数的缺陷，证明了数轴上不仅仅是稠密排布的有理数，而且还存在着不能用有理数表示的“孔隙”，而且这些“孔隙”多得不可胜数——这就是无理数。如图1-12所示为数轴上的无理数和。

无理数的发现彻底推翻了毕达哥拉斯学派长久以来信奉的“万物皆数”的信条，这一伟大的发现连同“芝诺悖论”一并被称为数学史上的第一次数学危机，它对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响。

其实不只有边长为1的正方形对角线的长度是无理数，无理数在我们的生活中随处可见。如图1-13所示，有一个正五边形，当它的边长为1时其对角线长度便是一个无理数，这个数是。

还有一个著名的无理数就是图1-14所示的圆周率π。值得一提的是，早在3000多年前人们就开始使用圆周率，我国南北朝时期的数学家祖冲之已将圆周率的值精确到了小数点后第7位，然而圆周率π是否是无理数却一直存在争议，直到200多年前，德国数学家兰伯特才证明了π是无理数。

知识延拓——数学史上的三次危机

科学的发展从来都不是一帆风顺的，它总是伴随着风浪和曲折。数学也不例外，在数学发展史上就有著名的三次数学危机，使得数学的发展一度陷入困境。然而事物总是有两个方面，也正是因为这三次数学危机才使得人们对数学有了更新角度的探索，从而促进了数学的飞跃式发展。

三次数学危机横跨了3000多年的时间，内容涉及无理数、微积分和集合论等数学概念。

第一次数学危机

第一次数学危机发生在公元前400年左右。引发第一次数学危机的一个重要事件就是前面讲到的希伯索斯从边长为1的正方形的对角线中发现了无理数的存在。这个伟大的发现彻底推翻了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的理论，也给希伯索斯带来了杀身之祸。另一个事件则是数学史上一个有趣的悖论——芝诺悖论。芝诺悖论中最为著名的一条悖论就是“阿基里斯追不上乌龟问题”，这个问题向人们揭示了一个深刻的道理，那就是无穷多个数之和不一定是无穷大，还可能会收敛于一个极限的数值。

第一次数学危机在希腊数学家欧多克索斯和阿尔基塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义后得到了部分的化解。直到2000多年以后，人们将数系从有理数系扩展到实数系，第一次数学危机才得到彻底的解决。

第二次数学危机

第二次数学危机发生在17、18世纪。它是围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论。众所周知，牛顿和莱布尼茨创立了微积分这门学科，他们的贡献在于把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法，并提供了明确的计算步骤。但是无论是牛顿还是莱布尼茨都没能很好地阐释什么是无穷小量以及有限量和无穷小量之间的关系等基础问题。随着微积分应用领域的不断扩大，这类基础问题也不断被人们质疑甚至批判。当时的法国数学家罗尔就曾说过：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”关于微积分的基础问题，数学界甚至哲学界进行了长达一个半世纪的争论，这就是第二次数学危机。

第二次数学危机的解决是在19世纪，从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到维尔斯特拉斯、狄德金和康托尔的工作结束，中间经历了半个多世纪，部分数学家如图1-15所示。

第二次数学危机的解决为数学分析奠定了一个更加严格的基础，也促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。

第三次数学危机

第三次数学危机产生于19世纪末和20世纪初。当时康托尔的集合论业已成为现代数学的基础，而正是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论，导致了人们对数学整个基本结构的有效性产生怀疑，从而引发了第三次数学危机。在这些关于集合论的悖论中，最为著名且通俗易懂的就是罗素悖论。

罗素悖论是19世纪英国数学家、哲学家、文学家罗素（见图1-16）于1919年提出的。它的内容是“理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，那么理发师是否给自己刮脸？”这显然是一条自相矛盾的原则，如果理发师不给自己刮脸，那么按原则他就应该给自己刮脸；如果理发师给自己刮脸，那么他就不符合他的原则了。

罗素悖论动摇了整个数学大厦的地基，以至于许多数学家对自己的工作产生了怀疑。例如，数学家弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的书信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”数学家戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一书的再版。

为了解除第三次数学危机，数学家们付出了不懈的努力。策梅罗、冯·诺依曼等人提出的公理化集合论体系很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷，成功地排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。