1.1 从结绳记事说起——数的发展史

难度：★★

我们每天都会接触到各种数字，无论是买东西时的支付转账，还是日历卡片上的年月日期，抑或是开车时里程表上显示的时速等等，数字布满了我们生活中的每个角落。但你是否想过，我们今天再熟悉不过的数字是怎样发展而来的？数字作为数学的基础，它的发展史实际上就是一部数学的发展史，所以学习数学应该从认识数字开始。本节就带大家来了解一下数的由来，一同回顾数的发展史。

从结绳记事到阿拉伯数字

在远古时期，人类也跟其他动物一样没有数的概念。但是与其他动物最大的区别在于人可以直立行走并且可以使用双手进行生产劳动。在生产劳动过程中，人们不免需要记录一些信息，例如，今天捕获了多少只动物，今天摘到多少个果子等等。因此数的概念在人们的生产实践中逐渐产生。

人们记录数目的方法种类繁多，大都是根据自己生活环境的不同就地取材。有的使用石子计数，有的使用贝壳计数，有的则在树皮或石头上刻线计数。但是最为出名的一种计数方法就是“结绳记事”。

所谓结绳记事就是人们采用在绳子上打结的方法记录事情，如图1-1所示。绳子有粗有细，上面的绳结有大有小，分别表示不同的事情。在没有文字的时代，结绳记事既是记录事情的有效工具，同时也是记录数目的重要手段。相传古代波斯王打仗时就常用绳子打结来计算天数。我国古代也有结绳记事的记载，《易经》中就有“结绳而治”的记载。伟大的思想家马克思在他的《摩尔根＜古代社会＞一书摘要》中也有原始的印第安人使用结绳记事的描述。时至今日，一些没有文字的民族仍然采用结绳来传播信息。

随着人们生产力水平的提高，计数量也越来越大。上述这些原始的计数方法已不能满足人类的需求，数字由此应运而生。

罗马数字是其中比较有代表性的一类。罗马数字的符号共有7个，分别是：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。这7个符号不论在位置上怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照一定的规律组合起来就能表示任何数字。一些老式的钟表仍然使用罗马数字标注时间，如图1-2所示。

但是罗马数字的计数规则比较复杂，既不利于阅读也不利于计算。相比之下，古代中国的算筹要显得更为先进和科学。所谓算筹就是一种竹制或骨质的小棍，按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来计数和运算。

随着算筹的普及，这种算筹的摆法就成为一种计数符号，也用来表示数字。使用算筹进行计算的方法称为筹算。在珠算发明之前，筹算是我国古代最为流行和常用的一种算数方法。筹算的发明为中国数学的发展做出了不可磨灭的贡献。

值得一提的是，从图1-3中可以看到，算筹的数码中没有10的数码。这说明筹算是严格遵循十进制的。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就表示几百，放在千位上就表示几千。这样的计数法在当时世界范围内是非常先进的，因为其他国家真正使用十进制计数已到了公元6世纪末，而我国早在春秋战国时期（公元前770年-公元前221年）就开始使用算筹计算了，足见中国古圣先贤的智慧！

我们熟知的阿拉伯数字是在公元3世纪由印度科学家首先发明的，据说最初的阿拉伯数字只能计数到3，后经古鳊人在此基础上加以改进，才发明了表达数字的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个符号，以此作为计数的基础。

阿拉伯数字真正从印度传到阿拉伯半岛是在阿拉伯人建立了阿拉伯帝国继而征服了北印度旁遮普地区之后的事了。相传印度北部的一些数学家被阿拉伯人掳到巴格达，并强迫他们给当地人传授印度的数学。阿拉伯人惊奇地发现印度的数字和计算方法既简便又快捷，这对善于经商的阿拉伯人来说无疑是个天大的礼物。所以阿拉伯人接受了印度的数字，并将其推广到全世界。这就是为什么虽然我们现在使用的数字符号起源于印度，但是一直被称作阿拉伯数字的原因。

其实早期的阿拉伯数字并不是我们现在使用的样子，现代全球通用的阿拉伯数字的结构是欧洲人改进后的写法。我国曾在20世纪50年代和20世纪60年代先后出土了元代人铸造的阿拉伯幻方和明代人书写的阿拉伯数字，可以看到早期的阿拉伯数字跟我们现代使用的阿拉伯数字差异还是很大的，如图1-4和图1-5所示。

从自然数到有理数

无论哪个国家、哪个地区、哪个民族，数字的发展都是从1，2，3…这样的自然数开始的，因为抽象的自然数直接对应着具体的事物，如图1-6所示。

所以自然数是最直接、最客观的数量表达。但是人们在生产生活中逐渐发现，单纯的自然数是无法完全满足需求的。例如，如果在分配猎物时5个人分4只猎物，每个人应该得多少呢？10千克粮食4个人分，一个人又能分得多少？这些数量都不是能够用自然数表示的，于是分数的概念便逐渐产生。值得一提的是，中国很早就对分数有了十分深刻的研究，这要比欧洲早上1400多年！

不过数的发展也并非一帆风顺，“0”的出现就饱经曲折。相传“0”这个数字起源于古印度，后经阿拉伯人传到欧洲，在阿拉伯数字传入欧洲之前，欧洲人使用罗马数字计数，而罗马数字中并没有“0”。当“0”传到欧洲时，罗马教皇认为“0”是异端邪说，并下令禁止使用。但是历史的进程是不可能被阻挡的，现在“0”早已成为含义最为丰富的数字符号。

“0”可以表示没有，也可以表示有，例如，气温是0℃，并不是说没有气温而只是对温度的一种度量。

“0”是正负数之间唯一的中性数，也就是说，“0”既不是正数也不是负数。

任何数（0除外）的0次幂都等于1。

0！=1（零的阶乘等于1）。

……

负数的出现更是一波三折。直到16、17世纪，欧洲大多数数学家都不承认负数是数。帕斯卡认为从0减去4是“纯粹的胡说”。甚至大数学家莱布尼茨也认为负数不应定义为一类数。直到18世纪，欧洲的数学家才逐渐接受负数。随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立起来。

至此，自然数、分数、0、负数都已诞生，这便构成了完备的有理数集合。图1-7总结了有理数的构成。

需要指出的是，有理数这个词在英文中叫作Rational Number，其实Rational这个词的词根为“ratio”，它既有“有理、合理”的意思，同时也有“比例、比率”的意思。有学者认为将Rational Number翻译成“可比数”更为贴切，因为数学中有理数的定义就是“可以表示为两个整数之比的数”。

如果在一个平面上画一条以0为原点，并向左右无限延伸的数轴，原点左边是负数，原点右边是正数，那么有理数便可以全部分散在这条数轴上，如图1-8所示。

至此一切似乎都是那么完美无瑕，人们也似乎看到了数的尽头，但是新的问题又随之产生：是否可以认为这条数轴上的每一个点都对应一个有理数呢？或者说是否可以认为所有的数都是有理数呢？2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派的确是这样认为的。毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学术派别，其主要研究方向包括数学、科学和哲学。他们认为“有理数”是万物的本源，支配着整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界之所以美好和谐的源泉。“所有的数都是有理数”这个观点几乎是当时毕达哥拉斯学派成员及其追随者的共识。但是真理往往掌握在少数人手里，毕达哥拉斯学派的“离经叛道者”希伯索斯彻底推翻了这一切，于是无理数诞生了！这就是下一节要讨论的内容了。

数的进一步发展

人类探索的脚步是永不停歇的，数字的发展也远未到达终点。在无理数被发现后的2000多年里，人们对有理数和无理数（统称为实数）的研究已经非常深刻。所以有些人乐观地认为数学的发展已经到达了极致，数字也再无其他新的形式了。但是人们在解方程时发现有些方程在实数范围内是无解的，例如下面这个方程：

x ² -x+2=0

根据一元二次方程的求根公式，可以如下求解该方程：

a=1,b=-1,c=2

因为根号下是一个负数，所以该方程在实数范围内是无解的。这便给数学的发展带来了一些障碍。为了解决这个问题，数学家们定义了符号i，并规定i²=-1，于是虚数诞生了。后人将实数和虚数结合起来，写成a+bi的形式，这就是复数。其中a叫作复数的实部， bi叫作复数的虚部。

复数的发展也是一个漫长的过程。最初许多数学家对复数和虚数感到困惑，认为虚数是“想象的、虚无缥缈的、没有意义的数”。数学家莱布尼茨曾描述虚数为“神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，存在和虚妄两界中的两栖物”，可见当时人们对复数和虚数是多么不理解。随着数学的不断发展，复数也越来越被人们所接受。法国数学家棣莫弗、达朗贝尔以及瑞士数学家欧拉都对复数的研究和发展做出过重要的贡献。现在复数已成为数学领域中一门重要的分支，它在系统分析、信号分析、量子力学、流体力学、热力学等诸多学科领域都具有极其重要的作用。

复数也并不是数字发展的终点。在1843年，英国数学家哈密顿又提出了“四元数”的概念，四元数在数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。以四元数为基础，人们还进行了“多元数”的研究。多元数已超出了复数的范畴，因此人们称其为超复数。

数的发展伴随着数学的发展不断向深度和广度延伸，我们有理由相信，随着科学技术的不断进步，人们探索自然的能力不断提高，数的概念还会不断发展，人们在数的王国中会越走越远。