1.3 π的前世今生

难度：★★

圆周率π是一个无理数，它表示圆的周长与直径的比值，这个看似平淡无奇的数字，人们对它的探索却延续了几千年。关于圆周率的计算，从古至今大体上经历了四个时期，分别是实验法时期、几何法时期、分析法时期以及计算机时代。本节我们就来回溯历史，了解一下圆周率π的前世今生。

最硬核的计算方法： 实验法

早期人们采用最硬核的方法——实验法来计算圆周率π，也就是用一个圆的周长除以该圆的直径，把这个比值当作π的值。如图1-17所示，在一块出土的古巴比伦石匾（大约产于公元前1900年—公元前1600年）上就清楚地记载了圆周率为25/8=3.125。同一时期的古埃及文物——莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical Papyrus）中也记载了圆周率等于16/9的二次方，约等于3.1605。

采用实验法计算圆周率固然简单直观，但是误差却很大，而且无法通过理论推导来控制误差的范围。为了得到更加精准的圆周率π值，人们继续不断地探索着……

最巧妙的计算方法： 几何法

时间进入公元前2世纪，古希腊的数学家阿基米德开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德计算圆周率的方法是采用直径为1的圆内接正多边形和外切正多边形的边长作为π的上下界来逼近圆周率。这种计算圆周率的方法统称为几何法。

不难想象，圆的内接正多边形和外切正多边形的边数越多，其周长就越接近于圆的周长。同时圆内接正多边形的周长一定小于圆的周长，而外切正多边形周长一定大于圆的周长，这样就限定了圆周长的上下界。又因为圆的直径为1，所以其周长就等于圆周率π。阿基米德就是通过这种方法计算圆周率的。

如图1-18所示，阿基米德从单位圆出发，逐步对圆内接正多边形和外切正多边形的边数加倍，直到加倍到内接正96边形和外切正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7，并将它们的平均值3.141851作为圆周率π的近似值。

同时期的中国在计算圆周长度时则多采用“周三径一”的法则，也就是粗略地认为圆的周长等于直径的三倍。中国古算经典《周髀算经》中就有“周三径一”的记载。但是中国人对这个结论并不满意，汉代的科学家张衡就提出，也就是π≈（约等于3.162）。张衡提出的圆周率已经比周三径一有了很大的进步，但是仍然存在较大的误差。直到400多年后魏晋时期的数学家刘徽提出割圆术的计算方法，圆周率的精度才有了质的飞跃。刘徽割圆术的方法与阿基米德计算圆周率的方法有些类似，不同之处在于割圆术采用圆内接正多边形的面积去逼近圆周率。关于刘徽的割圆术，本书第四章中会有详细的介绍。

圆周率的计算精度达到了一个史无前例的新高度是我国南北朝时期的数学家祖冲之计算出的结果。祖冲之通过“缀术”计算出精确到小数点后7位的圆周率结果，并得到不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，也就是将圆周率π的范围精确到了3.1415926～3.1415927之间。与此同时，祖冲之还给出了π的两个近似分数值——密率和约率（见图1-19）。祖冲之计算出的圆周率在当时世界范围内是最精确的，以至于在祖冲之之后的800年里都没有人能计算出更为精准的圆周率来。为了纪念祖冲之对圆周率做出的贡献，国际数学界曾提议将圆周率改名为“祖率”。

早在1500年前祖冲之就能计算出如此高精度的圆周率，足见我国古代数学水平已经发展到了一个很高的程度，同时这也是中国古圣先贤对世界科学发展做出的重大贡献。

最科学的计算方法： 分析法

随着数学的不断发展，人们计算圆周率的方法也越来越先进，从最初的实验法到几何法又逐步发展到了分析法。法国数学家韦达开创了用无穷级数去计算π值的崭新方向。在随后的岁月里，无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现。使用分析法计算π值的优势在于不再需要求取多边形的周长或面积时所需的复杂运算，同时计算出来的π值精度也更高。

利用分析法计算π值的巅峰当推英国的弗格森和美国的伦奇于1948年共同研究并得到的精确到小数点后808位的圆周率。弗格森和伦奇的研究成果创造了人工计算圆周率的世界纪录。

最先进的计算方法： 使用计算机求取圆周率

时间进入近现代，伴随着计算机的发明，人们的算力得到了飞跃式的提高。π值的计算也有了突飞猛进的发展。1949年，美国制造出世界上第一台电子计算机ENIAC（Electronic Numerical Integrator and Computer）。翌年，数学家里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这台计算机花费了70个小时计算出精确到小数点后2037位的π值。仅仅五年后，海军兵器研究计算机（IBM Naval Ordnance Re-search Calculator，IBM NORC）只用了13分钟就计算出精确到小数点后3089位的π值。

随着计算机技术的不断革新，计算机性能的迅猛提高，π值的计算精度也是一日千里。2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中改造后的计算机在耗时1年后将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录！

纵观圆周率π的前生今世，π值精度的不断提高伴随的是数学以及科学技术的不断发展。然而时至今日，π中仍有很多奥秘尚未被人们解开。好在人们对π的探索从未停止，π 中蕴含的“达·芬奇密码”终将会被人们破解。