2.8 同年同月同日生

当你上学的时候是否有过这样的经历——班上的某两个同学是同年同月同日生，甚至你跟班上的某个同学也是同年同月同日生。遇到这种事情时，你是否会感慨“天下竟然还会有这样巧合的事情啊！”这件事真的这样不可思议吗？在我们周围遇到这样生日相同的朋友的概率究竟有多大呢？

难度：★★★

我们先假设班里只有两个人A和B，那么他们生日在同一天的概率很容易计算。因为无论A是哪天出生，B只能跟他同一天，也就是365天中只有1天可以选择，因此如果一个班只有两个人，那么他们生日同一天的概率为1/365=0.002740。

如果班里有三个人ABC，情况就要复杂一些了，可以分为AB同天、AC同天、BC同天以及ABC都同天这四种情形。这里AB同天隐含了信息C与AB不同天。由于前三种情况雷同，我们只看AB同天这一种。无论 A 哪天出生，B 在365天中只有1天可以选择，C跟AB不同天，那么C有364天可以选择，因此AB同天的概率为（1/365）×（364/365）=0.002732。同理BC同天和AC同天的概率也都为0.002732。而ABC同天的概率为（1/365）×（1/365）=0.000008。把所有的概率加起来就是三个人至少有两个人同一天生日的概率：0.008204。这个概率似乎还是很小，不到百分之一，但是已经是两个人情况的3倍了，因此我们似乎察觉到什么，至少可以预测到一个趋势。

沿着这条思路再往下看，如果有四个人ABCD，那么就可以分为AB同天、AC同天、AD同天、BC同天、BD同天、CD同天、ABC同天、ABD同天、ACD同天、BCD同天以及ABCD同天。情况似乎多了很多！试想如果按照这种方法计算到40个人（假设一个班级里有40个学生），那将是一件相当复杂的事情。其实我们可以换个思路解决这个问题。如图2-10所示，整个图（外圈加里圈）表示所有的可能，即概率1，其中外层的圆圈（不含内层圆圈）表示至少有两个人生日同天的可能，内层的圆圈表示所有人生日都不是同一天的可能。既然外层圆圈部分很难求，我们就要通过逆向思维，求内层圆圈的部分，然后用整体减去内层圆圈部分就可以得到外层圆圈部分。

•图2-10 生日巧合的图形示意

如图2-10所示，将至少两个人同一天生日的概率称为P₁，将所有人生日都不同天的概率称为P₂，可知P₁+P₂=1，因此P₁=1-P₂。这样我们就成功地将求P₁的问题转换成求P₂的问题。

为了简单起见，我们还是先以一个班中有两个人为例引入。现在先求AB生日不是同一天的概率，然后再求AB生日同天的概率。无论A哪天出生，B只要不和A同天即可，那么365天中B就有364天可以选择，因此AB不同天的概率为364/365=0.997260。AB同天概率为1-0.997260=0.002740。

那么一个班如果三个人呢，在换成求ABC三个人生日都不同天的概率后，与两个人的情况相比，也并没有复杂到哪里去。无论A哪天出生，B都有364天可以选择，C要保证与AB都不同天，所以C在365天中有363天可以选择，也就是A的生日和B的生日这两天都不能选择，因此ABC三个人不同一天出生的概率为（364/365）×（363/365）=0.991796。ABC 至少有两人同天的概率为 1-0.991796=0.008204。

如果班里人数更多呢，算法都是一样的，一点也不复杂。计算所有人生日不同天概率的时候，第一个人总是可以选择任意一天，第二个人可以选择365-1=364天，第三个人可以选择365-2=363天，第四个人可以选择365-3=362天，第十个人可以选择365-9=356天，第N个人可以选择365-N+1天。

根据上述概率计算公式，我们很容易得出表2-5的结论。

表2-5 至少两人同天生日的概率

根据计算结果可以看出，当一个班人数只有10人的时候，出现重复生日的概率刚刚超过10%，当一个班的人数达到23人的时候，出现重复生日的概率就已经超过50%，如果一个班的人数达到40人，出现重复生日的概率就接近90%。

这么一看，有两人生日同一天真的一点也不稀奇！