2.7 赌徒的分钱问题

在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的概率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

难度：★★

解决本题的关键是要找一种合理地分配100法郎的依据。如何分配这笔钱才是最合理的呢？我们可以用概率的思想来解决这个问题。因为这场赌博已经进行到第四局而被提前终止，所以如果基于已有的赌博结果计算出接下来甲获胜的概率以及乙获胜的概率，就可以按照这个获胜的概率来分配100法郎。例如接下来甲获胜的概率为70%，乙获胜的概率为30%，那么甲分得70法郎，乙分得30法郎才是最合理的。

下面就来看一下基于已有的赌博结果，接下来甲和乙获胜的概率分别是多少。已知比赛采取五局三胜制，同时甲、乙两人已经比赛了三局，甲胜了两局，乙胜了一局，如果继续比赛，甲获胜的概率有多大呢？

我们可以这样思考：如果第四局比赛甲获胜，那么甲就赢得了三局的比赛，所以甲最终获胜。但是这并不是全部的可能，如果第四局的比赛是乙获胜，则第四局后甲乙各赢两局，所以还要第五局比赛定胜负。因此在计算甲的获胜概率时必须要考虑这两种情况，这其实就是一个全概率问题。

假设事件A表示甲最终获胜，事件B表示甲赢得了第四局赌博，那么根据全概率公式可知。

因为每一局赌博中甲、乙两人获胜的概率都是相等的，所以甲赢得第四局赌博的概率P（B）=50%。同时如果第四局赌博甲获胜，那么甲将100%地赢得最终的比赛，即P（A B）=100%，所以这部分概率为50%×100%。

当然甲仍有50%的概率输掉第四局，即P（）=50%，一旦甲输掉了第四局赌博就要进行第五局赌博，在第五局中甲还有50%的概率获胜，因此甲在输掉第四局的条件下最终获胜的概率为B）=50%，所以这部分概率为50%×50%。

综上所述，甲继续比赛的获胜率为50%×100%+50%×50%=75%。

用同样的方法可以计算乙获胜概率。如果在第四局中乙获胜，则此时甲乙两方比平，仍要进行第五局的赌博，所以有 50%的获胜率，因此这部分概率为50%×50%；如果在第四局中乙失败，则甲获胜，所以乙获胜的概率为0。综上所述，乙继续比赛的获胜率为50%×50%+50%×0=25%。

因此最合理的分配方法是赌徒甲获得100×75%=75法郎，赌徒乙获得100×25%=25法郎。