2.5 轰炸堡垒

两军开战，有三架轰炸机分别携带一枚炸弹对敌军堡垒进行轰炸，由于战斗机性能的差异，三架轰炸机命中敌军堡垒的概率分别为0.4、0.5和0.7。一旦堡垒被击中，堡垒被击中一、二、三次后被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8，那么在三架轰炸机一轮轰炸结束之后敌军堡垒被摧毁的概率是多少？

难度：★★★★

本题较上一题有些复杂，但仍然可以使用全概率公式进行求解。

假设事件A为堡垒被摧毁，事件B_n表示有且仅有n架轰炸机击中堡垒。根据全概率公式可以得到

其中×P（B₁）表示只有一架轰炸机命中堡垒并且将堡垒摧毁的概率；×P（B₂）表示其中两架轰炸机命中堡垒并且将堡垒摧毁的概率；×P（B₃）表示三架轰炸机全部命中堡垒并且将堡垒摧毁的概率。将这三个概率相加就得到三架轰炸机经过一轮轰炸后，堡垒被摧毁的概率。

题目中已知堡垒被击中一、二、三次后被摧毁的概率分别为0.2、0.6 和0.8，也就是=0.2，=0.6，=0.8。所以接下来只要计算出P（B₁）、 P（B₂）、 P（B₃），再套用上面的全概率公式就可以求出堡垒被摧毁的概率。

首先分析一下只有一架轰炸机命中堡垒的概率。只有一架轰炸机击中堡垒有三种情况，第一架轰炸机击中而第二架、第三架没有击中，其概率为0.4×0.5×0.3；或者第二架轰炸机击中而第一架、第三架没有击中，其概率为0.6×0.5×0.3；或者第三架轰炸机击中而第一架、第二架没有击中，其概率为0.6×0.5×0.7。综上所述，三架轰炸机只有一架轰炸机命中堡垒的概率为0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36。

再分析一下有两架轰炸机命中堡垒的概率。两架轰炸机命中堡垒仍然有三种情况，第一架、第二架轰炸机击中第三架没有击中，其概率为0.4×0.5×0.3；或者第一架、第三架轰炸机击中而第二架没有击中，其概率为0.4×0.5×0.7；或者第二架、第三架轰炸机击中而第一架没有击中，其概率为0.6×0.5×0.7。综上所述，三架轰炸机有两架轰炸机命中堡垒的概率为0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41。

三架轰炸机全部命中堡垒的概率为0.4×0.5×0.7=0.14。

最后运用全概率公式就可以得到三架轰炸机经过一轮轰炸后，敌军堡垒被摧毁的概率为

需要注意一点的是，上述公式中其实还缺少一项×P（B₀），也就是没有任何一架轰炸机击中堡垒时能摧毁堡垒的概率，其中P（B₀）=0.6×0.5×0.3=0.09，这样P（B₀）+P（B₁）+P（B₂）+P（B₃）=0.09+0.36+0.41+0.14=1，构成一个完备组，也就是说，在这轮轰炸中要么没有飞机击中堡垒；要么仅有一架飞机击中堡垒；要么有两架飞机击中堡垒；要么三架飞机都击中了堡垒，而没有其他的可能，如图2-8所示。

•图2-8 所有事件可能性相加为1构成完备组

但是因为必然为0，所以此项可忽略。最终经过三架轰炸机的一轮轰炸，敌军堡垒被摧毁的概率为0.43。