2.4 海盗的抽签

8个海盗在一处破旧的城堡中发现一个价值连城的古董，他们都想据为己有，所以谁也不肯将这个古董让给别人。最后他们同意抽签来决定古董最终归谁，于是他们用大小相等的卡片做了8个签子，其中只有一个签子上写上“Yes”，其余的签子都写上“No”，然后将8个签子放到一个仅能伸进一只手的玻璃瓶中，大家轮流抽签，抽到“Yes”的海盗可以获得这个古董。但是当他们决定抽签时问题又来了，谁都觉得先抽签的人抽中的概率更大。于是8个海盗又争执不下。请问真的如海盗们认为的那样先抽签的人抽中“Yes”的概率更大吗？抽签的先后顺序会不会影响抽签结果呢？

难度：★★★

为了更加清晰地解释这个问题，我们给每个海盗规定一个抽签顺序，然后从第一个抽签的海盗开始，计算一下每一个海盗抽中“Yes”的概率是多少。

海盗甲第一个抽签，这时候处于图2-3所示的状态——8个签都还没有被抽取，其中有一个签上写有“Yes”，其余7个签写有“No”。海盗甲从8个签里面选择一个签，只有一种可能中签，因此中签的概率是1/8=0.125，而未中签的概率是7/8=0.875。

海盗乙第二个抽签，这时候还剩余7个签，分两种情况考虑概率。如果海盗甲已经抽中“Yes”，状态如图2-4所示，那么剩余的7个签无论海盗乙如何选择，都不可能抽中；如果海盗甲没有抽中“Yes”，状态如图2-5所示，那么剩余的7个签里面有一个是“Yes”，海盗乙需要在剩余7个签中抽取一个，所以抽中“Yes”的概率是1/7。将这两种情况的概率相加就是海盗乙中签的概率。

通过上述的概率计算可以发现，海盗甲和海盗乙的中签概率是相同的，也就是第一个抽签和第二个抽签的中签概率相同，这个难道是巧合么？为了证明这一点，再计算一下海盗丙的中签概率。

海盗丙第三个抽签，这时候还剩余6个签，同样用计算海盗乙的方法来计算海盗丙，还是分两种情况考虑概率。如果海盗甲或者海盗乙已经抽中，状态如图2-6所示，那么剩余的6个签无论海盗丙如何选择，都不可能抽中；如果海盗甲和海盗乙都没有抽中，状态如图2-7所示，那么剩余的6个签里面一定有一个“Yes”，海盗丙需要在剩余6个签中抽取一个，此时抽中的概率是1/6。将这两种情况的概率相加就是海盗丙中签的概率。

用同样的方法可以计算出其他6个海盗的中签概率，我们将全部8个海盗的中签概率用表2-4记录下来。

通过观察表2-4的结果不难发现，每个海盗的无论排在第几个抽签，中签概率是相同的。之所以人们在很多情况下愿意先抽，多半是因为一种心理作用。人们担心一旦前面的人抽中的话，自己就没有机会了，如果先抽则命运肯定会掌握在自己手中，但是被忽略的一点是，如果前面的人没有抽中，那么后面的人抽中的概率就会增加，综合两种情况，可以得出中签概率不受抽签先后顺序影响的结论。

知识延拓——条件概率与全概率公式

条件概率是指在一个事件已经发生的情况下另一个事件发生的概率。例如有两个事件A和B，在事件B已经发生的情况下事件A发生的概率就称为B条件下A发生的概率。条件概率用公式表示如下：

在条件概率公式里，表示条件概率，也就是事件B发生的情况下事件A发生的概率， P（AB）表示事件A和事件B同时发生的概率， P（B）表示事件B发生的概率。公式看起来似乎有些抽象，下面通过一个具体的例子来说明条件概率公式是如何运用的。

假设有3个骰子，已知在掷出的结果中3个骰子的点数各不同，那么3个骰子中含有6点的概率是多少？

在运用条件概率公式时首先要确定事件A和事件B，对于上述这个掷骰子的问题来说，事件A是“3个骰子中含有6点”，事件B是“3个骰子中点数各不相同”。我们要计算的就是这个条件概率。

明确了两个事件之后，首先要求解事件B发生的概率，也就是3个骰子点数各不相同的概率。这个问题相对比较简单，我们只需要知道所有点数组合的种类以及其中3个骰子点数各不相同的组合种类就能计算出事件B的概率。由于每个骰子有6种可能的点数，因此3个骰子所有的点数组合有6×6×6种；要保证3个骰子点数各不相同，第一个骰子有6种可选的点数，第二个骰子不能与第一个骰子点数相同，因此有5种可选的点数，而第三个骰子与前两个点数都不能相同，因此有4种可选的点数，综上所述，3个骰子点数各不相同的组合有6×5×4种，由此可以得到事件B发生的概率为

接下来就要求解事件A和事件B同时发生的概率，也就是掷出的3个骰子点数各不相同并且其中有一个骰子是6点的概率。根据古典概率模型，我们需要先知道所有点数组合的种类以及其中3个点数各不相同并且包含6点的组合种类，进而计算出事件A和事件B同时发生的概率。

已知其中有一个骰子的点数为6点，这个骰子可以是3个骰子中的任意一个，所以有3种选择；第二个骰子为了保证点数各不相同只有5种点数选择；第三个骰子只有4种点数选择。综上所述，3个骰子点数各不相同并且其中有一个6点的组合共有3×5×4种，由此可以得到事件A和事件B同时发生的概率为

最后通过条件概率公式就可以得到如果3个骰子的点数都不同，那么其中含有6点的概率为

全概率是将一个复杂的概率问题转化为不同条件下发生的一系列简单概率的求和问题，全概率公式如下：

在全概率公式中，B₁、B₂、…、B_n构成了一个完备的事件组，它们两两之间没有交集，并且合并起来成为全集，即P（B₁）+P（B₂）+…+P（B_n）=1。则表示在事件B_n发生的条件下，事件A发生的概率。

其实在计算“海盗抽签”这个问题时，应用的就是全概率公式。以计算海盗乙中签的概率为例。设A_甲表示“海盗甲中签”这个事件，A_乙表示“海盗乙中签”这个事件，因为海盗乙是第二个抽签者，所以当海盗乙抽签时只存在两种可能的情形——海盗甲已中签和海盗甲未中签，这里事件A_甲和事件（表示海盗甲未中签，读作A事件的“非”）构成了一个完备组，即P（A_甲）+P（）=1。因此这里可以使用全概率公式求解海盗乙中签的概率：

因为P（A_甲）=，=0，=，=，所以P（A_乙）=×0+×==0.125。