2.2　函数的四则运算的求导法则

上一节通过分析两个实例引出了导数的定义，并用定义求出了几个基本初等函数的导数.但每个函数都用定义来求导，显然过于烦琐，不可行.接下来介绍函数的四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，便可以比较容易地求出一般的初等函数的导数.

由导数的定义及极限的四则运算法则，容易推出以下定理：

定理　设函数f（x），g（x）在点x处可导，则函数f（x）±g（x），f（x）·g（x），（作除法时，g（x）≠0）在点x处也可导，并且：

（1）[f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）；

特别地，[kf（x）]′=kf′（x）（k是常数）；

上面的定理又称为函数的四则运算的求导法则，法则（1）和（2）都可以推广为有限个函数的情形.

【例1】　求下列函数的导数：

解　（1）y′=（x4）′+（4x）′-（3）′=4x3+4xln 4；

【例2】　求下列函数的导数：

（1）y=tan x；　　（2）y=sec x.

同理可得（cot x）′=-csc2x.

同理可得（csc x）′=-csc x·cot x.

【例3】　求下列函数在指定点的导数：

（1）设函数f（x）=sec x+2xtan x，求；

（2）设函数，求f′（1）.

解　（1）f′（x）=（sec x）′+2（x·tan x）′=sec xtan x+2[x′tan x+x（tan x）′]

=sec xtan x+2[tan x+x（sec2x）]，

【例4】　以初速v0=98m/s竖直上抛的物体，其上升的高度s与时间t的函数关系是，求

（1）该物体上升的速度v（t）；

（2）该物体达到最高点的时间.

解　（1）该物体上升的速度v（t）=s′（t）=v0-gt.

（2）因为该物体达到最高点时的速度为零，此时有v0-gt=0，即，所以该物体达到最高点的时间是10s.

【例5】　设某企业生产x件产品的总收入（单位：元）为R（x）=80x-0.05x2，总成本为C（x）=400+0.5x2，求

（1）产量为50件时的边际成本、边际收益、边际利润，并说明其经济意义；

（2）边际利润为零时的产量.

解　（1）边际成本函数C′（x）=x，产量为50件时的边际成本为C′（50）=50元，表明在产量为50件的基础上，再多（或少）生产一件产品将增加（或减少）成本50元；边际收益函数R′（x）=80-0.1x，销量为50件时的边际收益R′（50）=80-0.1×50=75元，表明在销量为50件的基础上，再多（或少）销售一件产品所增加（或减少）的收入75元；利润函数L（x）=R（x）-C（x）=80x-0.55x2-400，边际利润函数L′（x）=R′（x）-C′（x）=80-1.1x，产量为50件的边际利润为L′（50）=80-1.1×50=25元，表明在产量为50件并销售完的基础上，再多（或少）生产一件产品的成本比再多（或少）销售一件产品所增加（或减少）的收入少25元，所以销售者应该继续增加生产来增加利润.

（2）由L′（x）=80-1.1x=0知道边际利润为零时的产量约为73件，此时利润最大.最大利润为2509元.