我与密克斯的最小曲面研究
最小曲面不见得都像肥皂膜那么简单。数学家所考虑的最小曲面有时复杂得多，充满称为奇点的复杂扭曲或折叠，然而其中有许多仍然可以在自然界中看到。循着道格拉斯和拉多的成果，数十年后，斯坦福大学的奥瑟曼（Robert Osserman）证明了普拉托这类实验中的最小曲面，只可能出现一类特别简单的奇点，形状像是圆盘或平面相交时形成的直线。[附带一提，奥瑟曼是《宇宙的诗篇》（Poetry of the Universe）这本几何学科普佳作的作者。]然后到20世纪70年代，密克斯（William Meeks，现为麻萨诸塞大学教授，我们结识于柏克莱）和我又把奥瑟曼的成果往前推进一步。
图3.7 数学家密克斯（照片提供：Joaquín Pérez）
我们研究一类称为“嵌入圆盘”（embedded disk）的最小曲面，这种曲面不管怎么延伸，都不会弯折而和本身相交。我们特别感兴趣的是“凸形体”（Convex body），连接这类物体中任两点的线段或测地线，永远会落在物体上或物体内。所以，球与立方体都是凸的，似鞍面不是凸的，任何中空、塌陷或斩月形的物体都不是凸的，因为在这些形体上，总会有一些连接两点的线段会落在物体之外。结果我们证明了，如果一封闭曲线落在凸形体的边界上，则以此曲线为边界的最小曲面必定是嵌入的：它不会有任何奥瑟曼所提到的那种折叠或交错的奇点。我们证明在凸形体的情况，一切都很美好而光滑。
就这样，我们解决了几何学里一个论辩了数十年的重大问题。但故事还不仅止于此，为了证明这个版本的普拉托问题，密克斯和我引用了“邓恩引理”（Dehn's lemma, “引理”是为了证明另一个更广义的命题，而预先证明的辅助定理）。1910年时，人家认为德国数学家邓恩（Max Dehn）证明了这条引理，十多年后才发现他的证明有误。邓恩断言，在三维空间中，一个圆盘如果具有奇点，亦即它以折叠或交错的方式与自己相交，那么它可被一个以相同圆周为边界，但没有奇点的圆盘来取代。这个命题如果成立就会有极大功用，因为这表示几何学家和拓扑学家可以把发生自交的曲面置换成不自交的情形，足以大幅简化他们的工作。
邓恩引理最终在1956年被希腊数学家帕帕奇里亚科普洛斯（Christos Papakyriakopoulos）证出。米尔诺还特别写了一首打油诗来铭记这项成就：
狡黠不忠的邓恩引理
让许多厉害家伙神昏力疲
直到克里斯托斯·帕帕
奇里亚
科普洛斯潇洒利落证明了它
密克斯和我运用帕帕奇里亚科普洛斯的拓扑取向方法，来解决由普拉托所引发的几何问题。接着我们又反过来，运用几何方法来证明邓恩引理及相关的“圈定理”（loop theorem）的更强版本，这是当时拓扑学家证明不了的结果。我们首先论证，在这个空间里可以找到一个嵌入、因而不会自交的最小面积圆盘。但在此一特定的所谓“等变”（equivariant）情形中，要考虑的不只是单个圆盘，而是它所有对称作用下的伙伴，这就像照着多重弯曲的哈哈镜，看到的并不是一个，而是许许多多个镜像一样。我们考虑的情形，涉及有限但数目可任意多的镜像。结果我们证明了，最小曲面圆盘既不会自交，也不会与那些对称作用下的任何圆盘相交。大致上可以这样描述：这些对称作用下的镜像圆盘都是彼此“平行”的。唯一的例外是：一旦圆盘有相交，则必定是完全重合等同的。
图3.8 邓恩引理的一个几何版本由密克斯和丘成桐证明。邓恩引理所提供的数学技巧可将原本会自交的曲面，简化成不自交、无折叠或奇点的曲面。邓恩引理一般是以拓扑的方式来表述，但密克斯和丘成桐采用的几何方法，提供了更精确的解
上述的问题，虽然单就问题本身来考虑就已经很重要，但最后发现，其重要性竟还是超出我们的预期，因为它联系上拓扑学里一个著名问题——史密斯猜想。早在20世纪30年代，美国拓扑学家史密斯（Paul Smith）思考“将普通三维空间绕着一根直线旋转”的问题。史密斯知道，如果旋转轴是完美的直线，这样的旋转轻易就可做到。但他猜想万一旋转轴打结，便不可能找到这样的旋转。
你或许会纳闷，怎么有人会去思考这么奇怪的想法，但这正是拓扑学家或几何学家会关心的事。得州大学奥斯汀分校的戈登（Cameron Gordon）指出：“一切直觉都告诉你史密斯猜想显然是对的，因为空间怎么可能绕着一条打结的线旋转呢？”有趣的是，密克斯和我对邓恩引理和闭圈定理的研究，恰好是解开史密斯猜想的最后两片拼图之一。史密斯猜想的证明，是借由结合我们两人的研究，以及瑟斯顿和巴斯（Hyman Bass）的成果而完成的，戈登则负责把这些分散的研究成果整合成一个完善的证明，确认史密斯当初的断言正确无误，三维空间的确无法绕着一条打结的线旋转。然而，尽管听起来很荒谬，但是如果在更高维的空间，史密断的断言就失败了，在四维以上的空间里，绕着打结的线旋转确实可能存在！[5]
这个证明是几何学家和拓扑学家合作解决问题的绝佳例子，如果双方之间没有交流，想必要花上更漫长的时间才能得到证明。这也是我第一次注意到最小曲面论证可以应用于拓扑学的问题。而且它也显示：用几何学来解决拓扑和物理问题的想法是可行的。
迄今为止，我们已经谈了不少拓扑学，对物理则着墨不多。接下来我们就来谈谈，几何分析是否也能对物理有所贡献。