和孙理察证明正质量猜想

1973年，在斯坦福大学举办的国际几何学会议上，一个来自相对论的问题吸引了我的注意。虽然过了好些年我才着手解答，但这个问题正可以说明把几何分析用于物理上会有多大的威力。在会议上，芝加哥大学的物理学家格罗赫（Robert Geroch）谈到一个悬疑已久的谜，称为“正质量猜想”或“正能量猜想”。这个猜想是说：在任何孤立的引力系统里，总质量或能量必定是正的。（在此，质量和能量这两个术语是互通的，因为正如爱因斯坦著名的方程式E=mc2所示，这两个概念是等价的。）因为宇宙可以被视为孤立系统，所以正质量猜想也适用于整个宇宙。由于这个问题关乎时空的稳定性，以及相对论本身的一致性，所以多年以来，每当举办广义相对论的大型学术会议时，都会有专门的议程讨论这个重要问题。简言之，除非时空的总质最为正值，否则时空不可能是稳定的。

图3.9 斯坦福大学数学家孙理察

在斯坦福的会议上，格罗赫发出战帖，邀请几何学家来攻克这个物理学家在当时仍无法解决的问题。格罗赫之所以向几何学家寻求奥援，不但是因为几何学和引力在理论基础上有着紧密的关联，而且也因为质量密度为正，相当于空间中每一点的总曲率平均必定是正值。因此物理上的正质量猜想，可以转化成一个几何问题。

格罗赫很渴望得到某种解答。他最近回忆说：“我们很难相信这个猜想是错的，但要证明它成立也同样困难。”他还说，像这样的事情，我们不能依赖直觉，“因为直觉未必会正确地引导我们”。[6]

他提出的挑战，就此一直印刻在我脑海里。数年之后，当我和以前的研究生、现任斯坦福大学教授的孙理察（Richard Schoen）合作研究另一个问题时，突然心血来潮，想到我们刚发展出来的几何分析技巧，或许可以用到正质量猜想上。我们所做的第一件事，是依照处理大型问题时的惯用策略，把问题切割成数个较小的问题，以便各个击破。因为正质量猜想对几何学家来说并不容易理解，更别说要去证明了，所以在对付整个猜想之前，我们先试着证明几个特例。更何况，从纯几何的观点来看，我们并不相信这个猜想可以成立，因为它所断言的结论似乎太强了。

并不是只有我们如此想。纽约大学暨法国高等科学研究院（IHÉS）的著名几何学家格罗莫夫（Misha Gromov）告诉我们，根据他的几何直觉，正质量猜想的一般情形明显是错的；其他许多几何学家也同意这个说法。但另一方面，大多数物理学家却都认为它是对的，年复一年，他们在学术会议上总是这么说。单单这一点就足以激励我们去仔细探究，看看它能否成立。

我们采取的证明策略，和最小曲面有关。这还是第一次有人采用这个策略来解决正质量猜想，或许是因为最小曲面和这个问题没有明显的关联。然而，孙理察和我觉得这条路径或可有所收获。解题就像做工程一样，需要恰当的工具（然而，当证明完成后，我们往往能发现不只一种方法可以得到解答）。倘若局部物质密度真的如广义相对论所假设的是正的，那么整体空间的几何性质必定要与此一致。我们认为最小曲面或许提供了最佳方式，去判定局部物质密度如何影响到整体几何性质。

证明的论点并不容易说清楚，主要是因为用于描述物理与几何关系的爱因斯坦场方程是复杂的，非线性的，而且并不直观。基本上，我们一开始先假设其中某一特定空间的总质量“不是”正的，接着我们论证，在这样的空间中可以构造出一个“面积极小化”（area-minimizing）的曲面，由于它所在的空间类似我们的宇宙，观测到的物质密度是正的，因此这个最小曲面的曲率平均是正的。但运用拓扑的论证，我们却能证明这个曲面的曲率平均是“零”。从这个矛盾的结果可以知道，原来的前提是错误的。也就是说，如果广义相对论的假设是正确的话，那么正物质密度就蕴含了正总质量。

上述说法乍看之下像是循环论证，但其实不然。在某一特定空间（例如我们的宇宙）里，即使总质量不是正的，它的物质密度仍然可能是正的。这是因为总质量的来源有两方面：物质和引力。即使来自于物质的贡献是正的（一如我们论证开始的假设），还是可能因为来自引力的贡献是负的，而使得总质量是负的。

让我们换一种说法：从总质量不为正的前提出发，我们证明可以找到一个面积极小化的“肥皂膜”，然而同时我们又证明在类似我们的宇宙里，这种肥皂膜不可能存在，因为它的曲率性质互相抵触。于是从非正总质量的前提，导出了重大的矛盾，因此前提必然不正确，总质量（或总能量）必定是正的。就这样，我们在1979年提出了证明，如物理学家格罗赫所期望的解决了这个问题。

孙理察和我把研究过程拆成两部分，前述发现其实只是我们研究的第一阶段。因为格罗赫所提出的问题其实是特例，是物理学家称为“时间对称”（time-symmetric）的情况。孙理察和我先处理这个特例，而前述导出矛盾的论证也是基于这个假设。若要证明更普遍的情形，需要解的是格罗赫的学生张奉舒（Pong Soo Jang，音译）所提出的一个方程式。张相信这个方程没有整体解，因此并未尝试去解它。严格来说，确实如此没错，但是我们觉得只要再加上一个前提，容许方程解在黑洞边缘可以暴增到无穷大，就可以将它解开。结果加上这个简化问题的前提后，我们就能把一般的情况，化约到先前已经证出的特例。

研究这个问题时，我们得到物理社群的重要指导和鼓励。虽然我们的证明是建立在纯粹的数学上，使用的是绝大多数物理学家宁可避而不用的非线性论证，但是物理学家的直觉给了我们希望，知道这猜想或许是对的，或至少值得花费时间和精力去求证真伪。然后，依赖几何直觉，孙理察和我才能完成物理学家先前未能达成的目标。

可是，几何学家主导这个领域的局面并没有维持多久。两年之后，普林斯顿高等研究院的物理学家威滕（Edward Witten）用完全不同的方法证明了正质量猜想。他使用的不是非线性方程，而是线性方程。对于物理学家来说，线性方程的论证当然比较好理解。

然而两种证明都确认了时空的稳定性，这至少能让大家安心不少。威滕解释说：“如果正质量定理不成立，这对理论物理学会有极严重的意义，因为它意味着在广义相对论里，传统时空并不稳定。”[7]一般人或许不会为此而寝食难安，但正质量猜想的影响广及整个宇宙，而不仅仅是理论物理学家的研究兴趣而已。我会这么说是因为任何系统的能量总是倾向于降低到能容许的最小能量等级。如果能量是正的，那么至少有0作为底层的楼板，不管怎样都不会低于0。但是一旦整体能量可以是负值，那就不知道底限何在了。真空作为广义相对论的基态，其能阶可能会降得愈来愈低；时空本身也会一直削弱，直到整个宇宙都消失不见了。幸好这并非实况，宇宙依然存在，时空也安全得救了——至少目前是如此。（至于宇宙可能覆灭的故事，稍后再叙。）

尽管具有如此重大的含义，但或许还是有人会认为，得到两个正质量猜想的证明其实无关紧要。毕竟，许多物理学家早已不假思索地把正质量猜想当成事实了，这个证明真的会造成改变吗？对我而言，确实知道某事为真和假定某事为真，两者有着重要的区别。在某种程度上，这正是科学和信仰的差别。在本例中，我们得等到有了证明之后，才能确信猜想是对的。正如威滕在他提出证明的1981年论文中所说：“总能量永远为正，绝不是一个显而易见的事实。”[8]

除了哲学性质的议题，正质量猜想的证明还给我们提供思考“质量”这个概念的一些线索。在广义相对论里，质量其实是一个精微而且非常难以捉摸的概念，原因部分在于广义相对论本身的非线性本质，使得引力也是非线性的，而非线性表示引力可以和自己相互作用，并在过程中产生质量——那种在处理时特别容易造成混淆的质量。

在广义相对论里，质量只能从整体来定义，换句话说，我们只能考虑整个系统的质量，就好像把它封闭在一个箱子里，然后从非常、非常遥远的距离——其实是无穷远——来测量。至于“局部”质量（例如某一物体的质量），则迄今仍没有明确的定义，尽管外行人反而可能以为这是比较简单的课题。（同样的，质量密度在广义相对论中也是难以定义的概念。）质量从何而来、如何定义，这类问题吸引我已有数十年之久，只要有空闲，我就会和其他数学家，例如哥伦比亚大学的刘秋菊和王慕道（他们都是我之前的研究生）一起研究。我现在觉得，我们终于快要得到局部质量的定义了，结合来自多位物理学家和几何学家的想法，问题已经在掌握之中。但是如果不先建立总质量为正的基本事实，我们甚至无法开始思考这个问题。