最小曲面
俗话说：“一旦你手上拿着个大榔头，任何问题看起来都像根钉子。”关键在于，当掌握了某种研究利器之后，就要找出它最适合处理的问题。几何分析能帮助我们解决的重要问题之一，是牵涉到“最小曲面”（minimal surface）的问题。而如果它是钉子，那么几何分析大概就是最完美的榔头了。
我们每个人应该都玩过最小曲面。把吹泡泡玩具的塑胶环浸过肥皂泡液之后，所形成的肥皂膜会因为表面张力而变得非常平滑，此时对于这个塑胶环来说，肥皂膜所覆盖的面积是最小的。用更数学的说法，最小曲面是以某一给定封闭闭圈为边界，所能形成的面积最小的曲面。
“最小化”（minimization）作为几何和物理的基本概念已有数百年的历史。例如17世纪时，法国数学家费马（Pierre de Fermat）论证，光在通过不同介质时，必定会采取所耗能量最少（即“最小作用量”）的路径，这是最早几条以最小化来表述的重要物理学原理之一。
“自然界中经常可以看得到这个现象，在所有可能的情况中，真正发生的都是消耗最少能量的。”斯坦福大学的数学家赛门（Leon Simon）如此说。[3]最小面积的形体，对应最少能量状态；如果其他条件相同的话，这通常会是最可能的状态。拥有最小面积的曲面，其曲面张力为零，换句话说，它的均曲率（mean curvature）为零。这就是为什么液体表面与肥皂膜大多看起来是平滑紧绷的原因。
谈到最小曲面时，有个常造成混淆的因素，这个名词数百年来不曾更换过，然而在这期间，数学已经发展得愈来愈复杂而精细。于是，有一大类相关的曲面都被称为最小曲面，但它们的面积并不必然是真正最小的。这类曲面中，如果是同一边界所围成的各个曲面中面积最小的，我们或许可以称之为真最小曲面或“基态”（ground state）；但其中还包含为数更多的所谓稳定曲面（stationary surface），它们在小范围内（局部）面积是最小的，但整体（整体）来说面积并不是真正最小的。不论是数学家还是工程师，对于具有零曲面张力（零均曲率）的曲面，都有极大的研究兴趣。我们倾向于把最小曲面想成一个家族，成员彼此类似，然而尽管每个最小曲面都很吸引人，但只有一个是面积真正最小的。
相对于“在二维以上的空间求最小面积”的曲面问题，其简化的一维版本则是找出最短的路径。两点之间的最短路径，在平面上是直线，在球面上则是连接两点的大圆圆弧。最短路径有时称为“测地线”（geodesic），但是让情况更加混淆的是，测地线有时也包括未必是最短的，但对几何学家和物理学家仍有相当重要性的路径。如果你在球面的大圆上取两点，除非这两点是像南北极点那样隔着直径相对，否则连接两点的圆弧必定一长一短。这两条路径（圆弧）都是测地线，但只有短圆弧的长度是这两点间的最短距离。较长的另一条虽然也是最小化的路径，但它只是局部的最小化，也就是说，在这条线的局部上选取任何可能路径，只有它是最短的。但它并不是一切可能路径中最短的，因为短圆弧的路径更短。像椭面的情况就还要更复杂，因为在椭面上有许多测地线，并不是所有可能路径中最短的。
图3.4 A, B两点间的最短路径是“大圆”（在本例中刚好是赤道）上经过点P的圆弧，这条路径称为测地线。大圆上经过点Q的圆弧也是测地线，不过这条路线显然不是A, B两点间的最短路径（但在这段圆弧局部附近的各条路线中，它是最短的）
要找出最短距离，必须用到微分方程。这就像是要找出最小值必须先检视导数为零的点一样。最小面积的曲面满足某种特定的微分方程，这个方程表示该曲面的均曲率处处为零的事实。一旦找出这个特定的偏微分方程，你就获得许多着手解题的信息，因为长期以来，数学家已相当了解这些方程了。
图3.5 普拉托猜测，对于任何简单的封闭曲线，必定可找出以这个曲线为边界的最小曲面。本图中以粗黑曲线为界的最小曲面称为“恩纳朴曲面”，它是因德国数学家恩纳朴（Alfred Enneper）而得名的。（图片提供：John F. Oprea）
“但这并不像是去洗劫一个整顿完好的场所，直接把东西从架上拿下来就行了。它比较像是双向车道，因为很多关于偏微分方程的知识，是经由几何学发展得来的。”格林恩说道。[4]要明白通过几何分析和最小曲面的结合可以学到什么，且让我们再继续肥皂膜的话题。
18世纪的时候，比利时物理学家普拉托（Joseph Plateau）做了一系列这方面的经典实验，他把弯成各种形状的铁丝浸到肥皂液里，观察其结果。普拉托的结论是肥皂膜永远是最小曲面。他更进一步推测，对于任何给定的封闭曲线，永远都可产生一个以此为边界的最小曲面。有时候这种曲面只有一个，因此是唯一的。但有时面积最小化的曲面不只一个，而且不知道总共有多少个这样的最小曲面。
图3.6 虽然原始的普拉托问题是关于以简单封闭曲线为边界的曲面，你可以询问（有时并解答）类似但情况更复杂的问题：如果边界不是一个，而是数个封闭曲线（例如数个圆），是否也能找到以它们为边界的最小曲面？本图是一些普拉托问题更复杂版本的解。（图片提供：3D-XplorMath Consortium）
普拉托的这个猜想被称为“普拉托问题”，直到1930年才由杰西·道格拉斯（Jesse Douglas）和拉多（Tibor Rado）各自独立证明。道格拉斯还因此于1936年得到第一届的菲尔兹奖。