几何分析的新面貌

如上所述，我的合作者与我在20世纪70年代所采取的研究方法并非完全新颖，但我们着重之处却大不相同。对莫瑞这样的数学家，偏微分方程本身就是值得深刻研究的优美课题，而不是达成其他目的的手段。虽然他对几何学也有兴趣，但主要是把几何问题当成有趣的微分方程来源，对于物理科学的众多领域也是保持这样的看法。所以虽然我们同样赞叹这些方程式的惊人力量，但目的却几乎相反：我想做的不是从几何实例中撷取出非线性方程式，而是用非线性方程式来解决先前无从着手的几何问题。

在20世纪70年代之前，大多数几何学家都尽量不碰非线性方程，但我们这一辈的则愿意迎接挑战。我们矢志学习如何驾驭这些方程式，然后有系统地纳为己用。虽有自夸之嫌，但我可以说，这个研究策略所得到的丰硕成果远超出我当初的想象。多年下来，我们已经运用几何分析解开了许多其他方法难以解答的著名难题。伦敦帝国学院的数学家多纳森（Simon Donaldson）指出：“几何与偏微分方程理论的混合，为过去二十多年绝大部分的微分几何研究设定了基调。”[2]

图3.3 几何分析里一种称为曲线缩短流（Curve shortening flow）的技巧，可以提供数学方法，把不自交的封闭曲线变形成圆，并且在过程中不会产生缠绕或打结等情形

但是，我们能用几何分析来做什么？先从我能想到最简单的例子说起吧。假设你画了一个圆圈，然后拿它和一个周长较小的任意闭圈或封闭曲线相比较（什么样的闭圈都行，例如一条随便丢到书桌上的橡皮圈）。这两条曲线看来不同，而且显然形状相异。但是我们知道，这条橡皮圈可以轻易地拉成一个圆，甚至是完全相同的圆。

这么做的方法有很多种，问题在于哪一种方法最好；是否有种方法会永远有效，而且曲线在变形的过程中，不会打结或缠成一团；是否能找出一种有系统的方法，把不规则曲线变形成圆，而不必一次次地尝试错误。几何分析可以利用任意一条曲线（如本例中的橡皮圈）本身的几何性质，给出把曲线变形成圆的方法。这个过程不该是任意的，曲线的几何性质应该能决定一种精确的方式，而且最好是“典型”（canonical）的方式，来变形成圆。[对数学家而言，“唯一”（unique）一词有时语气太强，就会改用“典型”这个词。例如从北极到南极，有很多大圆都可以连接两个极点，这些路径每一条都是最短路径，并没有唯一的最短路径，这时就称其为“典型的路径”。]

我们也可以在更高维度的情况问同样的问题。这次比较的不是圆和橡皮圈了，而是例如球面（或一个灌满空气的篮球）和一个空气不足、凹凸不平的篮球。问题仍然是，如何把一个泄了气的篮球变成一个完美的球面。当然你可以用打气筒办到，但如果用数学该怎么做呢？在几何分析中，等于打气筒的东西就是微分方程式，这是一种借由微小、连续的变化来改变形体的驱动机制。一旦你决定了起点（泄气篮球的几何），而且找出适当的微分方程，就解决了这个问题。

困难之处，当然在于找到正确的微分方程，甚至是判定是否有可以达成此任务的方程式。幸运的是，莫瑞和许多数学家已经发展出分析这些方程式的工具，这些工具可以告诉我们某个问题是否有解，而且如果有解时，解是不是唯一的。

上述问题都可归类到一个称为“几何流”（geometric flow）的范畴。这类问题近来因为被用于解决百年难题“庞加莱猜想”（详见本章稍后）而引起众多关注。然而我要强调，几何分析的应用范围非常广泛，这类问题只是几何分析的其中一小部分。