非线性微分方程

“微分方程”（differential equation）要研究的，是在极微小尺度下发生或变化的几乎一切事物，包括物理定律在内。微分方程中某些最有用也最困难的部分，称为“偏微分方程”（partial differential equation），它们所描述的是涉及多个变数的变化。借由偏微分方程，我们不但可以探究某一事物如何随着单一变数（例如时间）而变化，而且还可以探究它如何随其他变数而变化，比方说，如何在空间中沿着x, y, z轴移动。这些方程式提供了一窥未来，以及观察系统如何演变的手段。没有微分方程，物理学将会失去预测的能力。

图3.2 考虑一个沿着某路径移动的物体。其速度反映的是物体随时间的位移变化，这可以借由对位移曲线求导数而得。导数显示的是在某一时间点上的曲线斜率，同时也表示了速度。加速度反映的是物体的速度变化，这可以借由对速度曲线求导数而得。速度曲线在某一时间点上的斜率，即是其加速度值

同样的，几何学也需要微分方程，我们用它来计算物体的曲率及其变化，这让几何学在物理学中扮演了重要角色。举一个简单的例子，一颗球在滚动时是否会加速（速度是否会随时间而改变），完全是由滚动轨迹的曲率所决定的。这是曲率何以和物理学密切相关的原因之一，也是几何学这门曲率就是一切的“空间科学”为何对于物理的众多领域都是至关重要的原因。

物理学的基本定律有个特性，它们是“局部的”（local），意思是它们可以描述特定（亦即局部）区域的行为，但不能描述同一瞬间所有地方的行为。对于试图描述所有时空的曲率的广义相对论，这一点尤其成立。毕竟，描述曲率的微分方程，是对个别的点求导数。这就对物理学家造成了难题。加州大学洛杉矶分校的数学家罗勃·格林恩（Robert Greene）说：“你会想从曲率这样的局部讯息描绘出整体结构，问题在于该怎么做。”[1]

让我们先从地球的曲率思考起。虽然我们无法一次测量整个地球，但格林恩建议下列的情景：假想有只狗用铁链拴在庭院的短木桩上。如果留给狗儿一点活动空间，它就能知道它所在的那一小块地方的曲率。在此，我们假设那块地的曲率是正的。假如全世界的每一块地都有狗拴在木桩上，而且每根木桩附近的地都有正曲率，那么根据这些局部曲率的测量值，就拓扑而言，就可推论出地球必定是球形的。

当然，比起依靠小狗的感觉，我们还有更严格的方式来计算一小块地的曲率。例如，假设链长为r，如果地面是完全平坦的，当狗儿拉直了铁链沿木桩绕一圈，它画出的是周长为2πr的圆。如果是在球形曲面（正曲率）上，因为任何方向都是“向下弯”的，所以周长会比2πr小。而如果木桩是在鞍面（负曲率）的鞍点上，某些方向的斜坡是向上，某些方向是向下，因此周长会比2πr大。所以，借由测量每只狗绕圈时其中最大圈的周长，我们即可得到每一块地的曲率。

微分几何学家所做的，大致上也就是这些。我们在个别点上测量其局部曲率，试图借此来理解整个空间。“曲率支配拓扑”是几何学家拥戴的基本信条，而达成此目的的工具则是微分方程。

我们接下来就会提到的几何分析，是比较晚近才出现的，它将“曲率支配拓扑”这个信条更加发扬光大。虽说如此，把微分方程纳入几何学研究的一般想法，事实上却已有数世纪的历史，几乎可以追溯到微积分刚发明之时。18世纪的瑞士大数学家欧拉，是这个领域最早的开拓者之一。在他的众多成就之中，有一项就是利用偏微分方程有系统地研究三维空间中的曲面。二百多年之后，我们在许多方面仍然遵循着欧拉的脚步。事实上，欧拉是最早开始研究非线性方程的数学家之一，这些方程式正是今日几何分析的核心。

非线性方程以难解出名，部分原因在于这些方程所描述的状况更为复杂。首先，非线性系统天生就比线性系统难以预测，因为初始状态下的微小改变，造成的结果可能差异极大，天气就是最好的例子。关于这点，最有名的说法大概是混沌理论里所谓的蝴蝶效应：某个地方的一只蝴蝶拍翅所产生的气流，可能造成地球上遥远的另一处发生龙卷风。

相较之下，线性系统里没有太多意外，因而容易理解得多。我们把y=2x这样的代数方程式称为线性的，因为当画在坐标平面时，方程式图形是一条直线。选定任何x值都自动对应一个y值。把x值加倍，对应的y值也加倍，反之亦然。当发生变化时，变化永远是等比例的；一个参数上的小改变，绝不会在另一参数上造成出乎意料的巨变。如果大自然的运作遵循线性系统，我们的世界就会很容易理解，但也会变得很无趣。可是大自然并非如此，所以我们离不开非线性方程。

非线性方程虽然难解，但是有一些方法可以让它变得稍微容易处理。首先，当面对非线性问题时，我们尽可能援用线性理论。例如，要分析一条弯弯曲曲（非线性）的曲线，我们可以在曲线上任一点，对曲线（或定义它的函数）求导数以得到其切线，这基本上就是曲线在该指定点的“线性逼近”。

用线性数学来逼近非线性世界是常用的策略，然而宇宙毕竟是非线性的，这一事实当然不会有所改变。要追寻宇宙的真理，我们需要能把几何和非线性微分方程结合起来的技巧。这就是几何分析所做的，而它也对弦论和最近的数学发展极有裨益。

我不希望给大家一种几何分析是在20世纪70年代初期，也就是我投入时才崛起的印象。在数学里，没有人可以宣称他是从无到有，全凭个人创造的。就某种观点来看，几何分析的源流可以上溯到19世纪，来自法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）的研究，而庞加莱的成就又是建立在黎曼及前人的研究成果上。

随后，许多数学界前辈又进一步地做出各种重大贡献，所以当我起步时，其实非线性分析的领域已经算是成熟了。二维非线性偏微分方程的理论（主要是椭圆型方程，将在第5章讨论）早先已由莫瑞、波戈列洛夫（Aleksei Pogorelov）等人奠立。在20世纪50年代，狄乔吉（Ennio De Giorgi）和纳什（John Nash）对处理更高维度（甚至“任何”维度）的非线性偏微分方程，开拓了解决之道。其后，莫瑞和尼伦柏格（Louis Nirenberg）等人更进一步推动了高维理论方面的进展。所以当我进入这个领域时，正是运用这些技巧处理几何问题的最佳时刻。