1.阴影的长度

在我很小的时候，有件事给我留下了难以磨灭的印象，以至于到了今天它依然在我脑海回旋。有一天我看到一个有些谢顶的护林员正在测一棵大松树的高度，但是他并没有爬树，更没有将树伐倒去测，而是站在树下用一个精巧的链尺进行测量。我还以为他要拿着链尺爬树，然而老护林员只拿了块方形的木板对着树梢比画了一下就说已经测完了，我还以为测量刚刚开始。

当时我尚未成年，我认为用不着爬树更不用砍倒大树来测量树的高度的方法简直不可思议。等学了几何学的一些基本知识后，我才发现老护林员的测高法简直再简单不过了，而且利用物体的投影测物体高度的方法数不胜数。

最早的简便实用的测高法是泰勒斯（古希腊哲学家）在公元前六世纪时测金字塔时选用的方法。他当时就利用了塔的投影。当时法老与祭司围在最高的金字塔下面，满腹狐疑地观察着要靠塔的阴影来测塔高的泰勒斯。据传说，泰勒斯测金字塔高度的日子很讲究，一般会选择在他的影子与身高基本一致的日子和时间段测塔身的高度，原来泰勒斯经过反复试验发现唯有那个时段金字塔的影子才与其高较为接近。由此看来，我们的影子并非一无是处。

大家可能会觉得好笑，因为这么简单的问题居然需要大哲学家泰勒斯出面，而这点儿小事如今甚至难不倒小孩子。但是，我们都是在应用他们的成果而已，泰勒斯所生活的时代欧几里得还没有出生。大家可能都记得欧几里得的几何学专著，在这之后2000多年的时间里，世界上的人就是依赖欧几里得的书了解几何学的。尽管现在每个中学生可能都对欧几里得书中的定理耳熟能详，不过在泰勒斯所生活的时期它们还没被人们所知悉。泰勒斯要利用金字塔的影长来测塔身的高度的确有些难度，起码得了解三角形的一些特征：

其一，等腰三角形的两个底角相等；反之，如果三角形的两个角一样大，那么它们所对的边也相等。

其二，任何三角形的内角之和均为180°。

正因为泰勒斯了解上面的这些知识，他才认定，在他的投影和身高相同的时候，太阳会呈45°角照射在大地上，所以就有下面的结论：金字塔的塔尖、塔底的中央与塔投影的端点会形成一个等腰三角形。

在天气晴朗的时候，我们可借助这个方法测独立生长的树木的高度，因为树木的投影不与周围的树木投影重叠。但是，在纬度较高的地方，基本不易碰上适合测物体高度的时间，因为这些地带的太阳一直徘徊于地平线周边。正因为如此，一年当中唯有夏天的正午，影子才和物体同高。这么看来，泰勒斯的方法也不是十全十美的。

不过在晴好的日子里，只需对该方法稍加改进就能借助一切物体的投影来进行测量，无须考虑它们投影的长度。这不仅需要测量物体的投影长，还得测自己影子或木杆投影的长度，依据它们相互间的比例关系推算出要测物体的高度：

图1　根据阴影长测量树的高度

AB：ab=BC：bc

可以看出，大树的影子是你影子（或长杆阴影）长度的多少倍，大树的高度就是你身高（或长杆高度）的多少倍。

该结论依照的是△ABC∽△abc（相似三角形的对应角相等）的几何原理。

也许有的朋友会不以为然，觉得这个方法太简单，根本没有必要去几何学里找理论依据：难道离开了几何学，人们就无法知道树高多少倍，树的投影就长多少倍的道理？然而，事实并非如此。你不妨把这个结论用于路灯映射上，试一试就能知道该结论不是万能的。在图2中可以发现，木柱AB长度是木桩ab长度的3倍，但木柱的投影却相当于木桩投影（BC：bc）的8倍。只有借助几何学才能解释为何这种方法在这种状况下有效，而换一种情形就不可用。

图2　泰勒斯测高法不适用的几种情况

【题目】我们一起来讨论一下二者的不同。关键之处在于，太阳光线洒向地面时它们之间非常近似平行状态，但是路灯抛洒出的光线并不平行。这一点很容易察觉，但是，我们为什么说太阳光是平行光呢？我们一直认为，阳光从出发的地方就有交点了。

【题解】我们之所以说太阳光线照射到地球时为平行线，是因为太阳光的光线互相之间的角度非常小，这一点借助一个简单的几何运算就能消除我们的疑虑。现在设定自太阳上的一个点往地面上投下了两束光，分别投向地面的两个位置。假设两个位置相距1000m，那么，如果我们将圆规的一只脚摆放到投出光线的那点，而用另外一只脚以太阳同地球之间的长度（15×107km）为半径作一个圆，两束光线半径间的圆弧就长1000m，圆的周长是2π×15×107=9.4×108km。推算下来，圆周上的任何1°圆弧的弧长均为，也就是2.6×106km；继续推导下去，1弧分就该为1度的，为4.3×104km了；而1弧秒就将是1弧分的，很显然为7.2×102km。我们设定弧长为1000m，按理，和它相对的角应该为。

这么小的角度，天文学上最精密的仪器都派不上用场。因此，在生活中我们可以认为太阳的光线是平行线[1]。

图3　半影的形成

如果我们不了解上面提到的几何学知识，就无法找到利用投影断定高度这一方法的理论依据。在你试着将借助投影长测物体高度的方法用于实际生活时，便可知这个方法还存在一些不足。因为投影尽头的界限十分模糊，投影的精确长度不易测到。阳光下，每个物体的投影尽头都存在一个颜色暗淡的半影，根本无法准确分辨，致使投影的界限很难划定。这是因为，太阳并不是一个很精确的点，而是一个由众多发光点组成的发光体。图3告诉了我们大树投影BC后存在的、慢慢暗淡模糊的半影CD的来源。半影的两个端点C、D之间和树梢A构成的∠CAD与我们日常看到太阳之时的夹角一样大，都是°。两个投影测量时存在修正值的情况，即使太阳的高度不低，都有可能是5%或更大。该修正值再加上如地面不够平坦等无法回避的原因构成的修正值，会使测出的结果更加远离精确值，比如在多山地带，这个方法就会失效。