2.2 数值计算方法

2.2.1 几何特征

鉴于PCCP管道的结构与受力特性，人们试图将其简化为平面应变问题进行结构分析，从而建立起数值计算的平面模型^{［15，55-57］}。该类模型抓住横截面上的受力特征，能够模拟管道结构受载乃至破坏的全过程；平面模型也可被用于分析局部材料或结构的受力响应。孙绍平^［58］计算了在砂浆材料收缩、预应力钢丝松弛效应引起其直径变化和管体内外温度梯度差三种因素作用下，砂浆保护层的径向拉应力的变化。Zarghamee^［55］研究了在砂浆材料收缩、径向拉伸和预应力钢丝松弛等因素影响下，砂浆保护层的应力状态和剥蚀问题。

平面模型假定PCCP管道所承受的荷载与受力响应沿管道轴向不发生变化，但在其运行过程中，很多情况均不能满足该假设条件，诸如其所承受荷载沿其轴向发生变化；其因局部砂浆保护层开裂剥蚀而引起应力重分布；其因局部预应力钢丝断裂而引起预应力场的丧失与重分布乃至管道破坏等，对于这些情况，平面模型将不能适用，必须建立PCCP管道数值计算的三维模型加以分析。张社荣^［59］虽沿PCCP管道轴向取一定长度管段作为研究对象来模拟管道受载响应的全过程，但仍未反映管道响应沿其轴向的变化。吴坤占采用沿轴向逐步降温的方式来等效施加预应力。Zarghamee建立了PCCP管道的三维模型，模拟了整个加载过程，研究了因钢丝断裂而引起预应力丧失后的管道结构性能，并分析了由于钢筒扩张造成外部混凝土管芯开裂后的强度问题。

2.2.2 材料本构

采用线弹性的材料本构模型来分析PCCP管道能够反映其在正常情况下的受力响应问题，其分析结果可以与极限状态法的计算结果相互验证，对设计具有一定的指导作用。非线性的材料本构模型能够描述钢筒或钢丝屈服、砂浆保护层或混凝土损伤开裂等非线性行为，用于分析管道在破坏情况下的受力响应问题，为管道的结构安全评价提供重要依据。

混凝土材料的真实性质和强度是十分复杂的，与诸多因素有关。混凝土材料在不同环境下，经受不同荷载作用时，其承载能力值显示出极大变化。正因为如此，为了实际应用，在混凝土材料强度特征的数学模型中极度理想化是必要的。显然，没有一个数学模型已经被认为是完整地描述了在所有条件下真实反映混凝土材料的强度特征，即使可能构成这样的模型，把它用于实际问题的应力分析也将是过分复杂的。因此，必须采用较简单的模型或准则来表示所处理的问题中那些最基本的特征。

迄今为止，国内外研究者提出的混凝土破坏准则不下数十个。它们的来源分为三类：借用古典强度理论的观点和计算式；以混凝土多轴强度试验资料为基础的经验回归式；以包络曲面的几何形状特征为依据的纯数学推导式，参数值由若干特征强度值标定。最常用的破坏准则是在应力空间中由1～5个独立控制的材料常数确定的。早期提出的是适用于手工计算的单参数和二参数的简单破坏模型。随着计算机技术的发展以及有较多试验资料可用时，这些较简单的模型已通过增添附加参数而得以改进并推广，并且已建立了各种三参数、四参数和五参数模型^［60-63］。

（1）单参数模型。在拉伸和较小压应力下混凝土的损坏是脆性断裂的劈裂型，这种脆断可用Rankine的最大拉应力准则来描述。这一准则假定，只要当此点上的最大拉应力达到简单拉伸试验得出的材料抗拉强度时，混凝土就发生脆断，不论通过材料内一点在其他平面上产生的正应力或剪应力如何。

在高静水压力下，混凝土可能像延性材料那样在破坏面或屈服面上屈服和流动，此种情况可采用剪应力准则，如Tresca和Von Mises准则，来预测延性破坏。这两种与压力无关的准则最常用于金属材料。按照Tresca准则，材料的延性破坏（或屈服）发生在一点的最大剪应力达到临界值时；但Von Mises准则却假设破坏（屈服）发生在八面体剪应力τ_oct达到其临界值时。

（2）双参数模型。在中间压应力范围内，混凝土的破坏准则对静水应力状态是敏感的。简单的单参数模型不能描述在这一中间程度压应力下断裂-延性状态破坏，因此必须使用与压力有关的破坏模型。最简单和最常用的模型是Mohr-Coulomb和Drucker-Prager破坏准则。这些是子午线与静水应力分量线性相关的双参数模型。

在Mohr-Coulomb准则中，假设破坏发生在混凝土材料中一点处任一平面上的剪应力达到与同一平面中正应力σ线性相关的值时，数学表达如下：

式中：c和φ分别为黏聚力和内摩擦角。

这一准则表示一个在（σ₁，σ₂，σ₃）应力空间中的不规则六角锥形。由于Mohr-Coulomb破坏面在六边形上有几个拐角给数值解带来了许多困难，因此Drucker-Prager通过对Von Mises准则简单修正，提出了一个对Mohr-Coulomb 面光滑近似的正圆锥面作为其破坏面。

（3）多参数模型。多参数模型中包括Bresler和Pister提出的σ_oct 与τ_oct 抛物线相关且具有圆形偏截面的三参数破坏准则、Willam和Warnke建立在拉伸和低压力区内混凝土的三参数破坏准则、Argyris等提出的三参数模型、Ottosen提出的四参数模型、Reimann提出的四参数模型、Hsieh 等提出的四参数模型以及Willam-Warnke的五参数模型等。其中Willam-Warnke五参数模型具有椭圆形偏截面和抛物线子午线，对于所有应力组合符合关于圆滑、外凸和对称特征要求且与试验资料能很好地对应，所以应用比较广泛。但其外凸子午线的要求导致对高静水压应力破坏的预示，这是与试验迹象相矛盾的，在使用过程中应特别注意。

混凝土模型包含以下基本材料属性：

（1）当主拉应力达到拉断应力时，材料拉坏。

（2）在较高的应力下会被压溃，压溃后进入应变软化直至极限应变。

混凝土模型在描述材料性质方面要有以下3个基本特点，即：①增加压缩应力，能够反应材料软化特性的非线性应力-应变关系；②可用来定义拉坏及压溃的破坏包络线；③可模拟材料开裂和压碎后的力学特性。在求解过程中，材料可以承受循环荷载条件，即数值求解时，允许卸载和重新加载。

应力-应变关系

（1）单轴条件。通常多轴的应力应变关系都是基于单轴应力-应变关系。典型的单轴应力、应变关系如图2.1所示。

这个应力-应变关系包含三个应变阶段：也就是，其中是相应于能够达到的最小 （压溃）应力的应变，是极限压应变。

假如，材料受拉，直到拉断应力，应力应变关系为线性。采用初始弹性模量，即。

图2.1 混凝土的单轴应力-应变关系

当材料受压时，采用如下单轴应力应变关系：

因此

其中

材料参数由单轴实验获得。

另外，式（2.11）定义的应力-应变关系为骨架线加载的应力-应变关系。对于卸载或加载情况，使用初始弹性模量；对于超出的应变状态，并假设应力是线性降到0，使用的杨氏模量如下：

（2）多轴条件。在多轴条件下，首先需要定义一个度量加卸载的非线性指标，采用的加卸载函数^tf定义为

式中：α为系数，通常为负值；σ_m为静水压力，σ_m=^tσ_ij/3。

如果^tf≥f_max，则材料为骨架线加载；否则，材料处于卸载或再加载阶段。这里f_max为加载函数历史上曾经达到的最大值。

为了得到加载条件下的应力-应变关系，首先要计算主应力^tσ_pi （^tσ_p1 ≥^tσ_p2 ≥^tσ_p3）以及主应力方向的应变^te_pi，然后根据等效单轴应力应变关系得到切线模量^tE_pi。不过，这时可用来代替。当材料受拉或受到较小的压应力 （^tσ_p3≥k，k=0.4～0.7）时，认为材料仍然是各向同性的，使用等价弹性模量^tE：

此时，泊松比为常数。

如果材料处于高压缩阶段，即，则采用由主应力方向定义的正交各向异性模型，相应的应力应变矩阵为

式中：ν为切线泊松比。当i≠j时，。

2.2.3 强度准则

强度准则是指不同应力组合下的混凝土破坏的包络曲面的数学表达式，建立混凝土强度准则模型的意图是尽可能地表达不同受力状态下混凝土的强度破坏条件。

混凝土材料已有百年历史，随着研究的不断深入，出现多种混凝土强度准则（破坏准则）表达式，Kupfer试验作为经典的二维受力试验，基于其结果的强度准则表达式得到广泛应用。Kupfer强度准则是基于3种不同的混凝土等级的二维拉-拉、拉-压、压-压试验结果，提出了曲线与折线相结合的强度准则表达式，即

（1）二维受拉（0≤α₃=σ₂/σ₁≤1）：

（2）二维拉压（-∞≤α₂=σ₁/σ₃≤1）：

（3）二维受压（0≤α₁=σ₂/σ₃≤1）：

式中：f_t、f_c分别为混凝土轴心抗压、轴心抗拉强度；σ_i（i=1，2，3）为对应的主应力；α_i为主应力比例系数。

混凝土使用的拉伸、双轴和三轴破坏包络曲线如图2.2、图2.3所示。其中，ADINA的三轴压缩破坏包络面是通过定义24个离散的应力值输入的。从而定义ADINA的三轴压缩破坏包络面。其中，为多轴应力条件下开裂应力；为多轴应力条件下受压峰值应力。

图2.2 混凝土三维受拉破坏包络线

图2.3 混凝土二维破坏包络线

在确定了破坏包络面后，已知某时刻主应力状态，假设^tσ_p1 和^tσ_p2 保持不变，在破坏包络面上找到相应的交点，并设该点主压应力为，则，通常C₁=1.4和C₂=-0.4。用和代替、，进而确定多轴状态下的等效单轴应力应变关系。

当材料的主拉应力超过拉断应力时，材料被拉坏，直到垂于主拉应力的方向出现裂缝，进入应力软化阶段，此时的刚度矩阵为

式中：为主应力方向的单轴杨氏模量；；η_n和η_s分别为受拉软化和剪力传递系数。

对于应力计算，使用总应变来计算裂面法向和切向应力。相应的割线刚度矩阵为

其中，E_t、如图2.4～图2.6所示计算，在图中，ξ为受拉软化应力降低到0的变量。

图2.4 混凝土的应力-应变关系

另外，通常假设泊松比在整个分析过程中是常数，但是，也可以改变ν_c来模拟混凝土受压时的膨胀效果，ν_s通过式（2.21）确定：

图2.5 混凝土受拉软化曲线

图2.6 混凝土裂面割线剪模量

2.2.4 裂缝的数学模型

混凝土裂缝的数学模拟是一个十分困难的问题。目前裂缝的模型很多，常用的有3种^［64-66］：

（1）分布裂缝模型。这种数学模型的基本假设是认为出现裂缝以后，材料还是连续的，仍然可用处理连续体介质力学的方法来处理，即某一单元内的应力（实际上是某一代表点的应力）超过了开裂的应力，则认为整个单元（或这一应力点周围的一定区域）开裂，并且认为是在垂直于引起开裂的拉应力方向形成了无数平行的裂缝，而不是一条裂缝。由于不必增加节点和重新划分单元，很容易由计算自动进行处理，因而得到广泛的应用。

（2）离散裂缝模型。当应力值达到某一量值时，混凝土应力达到极限值，认为混凝土裂缝处的单元节点两侧分离，此时节点不再联结，以此来模拟裂缝的扩展过程，也就是说裂缝总是处于单元和单元之间的边界。这种方法在计算过程中要不断改变模型的几何布局，重新划分单元，计算方法复杂，计算时间较长。

（3）断裂力学模型。断裂力学是研究带裂缝材料的断裂韧度，以及带裂缝的构件在各种条件时裂缝的扩展、失稳和断裂的规律。许多学者试图用断裂力学的方法来处理，研究活动十分活跃，但主要工作都集中于单个裂缝的应力应变场的分布问题，对于多个裂缝及其各个裂缝之间的相互影响问题，研究工作目前尚不成熟。

2.2.5 收敛准则

在迭代法中，达到预期的精度后要终止迭代过程，而这个“预期的精度”也就是收敛准则。在收敛准则方面，可以用不平衡节点力也可以用节点位移增量。如果取不平衡节点力为判定迭代法收敛的标准，若满足下列条件，即认为收敛并终止迭代过程：

式中：‖ΔP‖为不平衡节点力的范数；‖P‖为已化为节点荷载的所施加荷载的范数；α为收敛允许值。

如果取节点位移增量作为判断收敛的标准，若满足下列条件，即认为收敛并终止迭代过程：

式中：‖δ_k‖为在某级荷载作用下经过k次迭代后总节点位移列阵的范数；‖Δδ_k‖为在同级荷载作用下，第k次迭代时附加位移增量列阵的范数；α为收敛允许值。

至于收敛允许值α的取值问题，应根据结构物的重要程度所要求的精度确定，当然也要考虑到计算机的运行条件。对于收敛允许值如果取得较严，则计算不容易收敛；如果收敛允许值取得较为宽松，则误差积累较大。对于钢筋混凝土结构，用节点力作为收敛准则判断时，可以采用二范数；用节点位移作为收敛准则判断时，可以采用无穷范数。对于钢筋混凝土结构的收敛允许值，考虑到混凝土材料比较复杂，计算简便稳定更加重要，精度不必过分苛求，α一般取2%～3%即可。