3.2 描述液体运动的两种方法
在研究液体运动时，常采用两种方法：一为拉格朗日（Lagrange）法，二为欧拉（Euler）法。
3.2.1 拉格朗日法
拉格朗日法是以个别液体质点为研究对象，描述出每个质点的运动状况，综合所有质点的运动就可获得整个液体的运动规律。这种方法又称为质点系法。
为描述每个液体质点的运动，首先必须区分各个质点。在拉格朗日方法中，规定某一起始时刻t=t0时，每个液体质点都有一个初始坐标（a、b、c），不同的初始坐标（a，b，c）代表不同的质点，所以a、b、c称为拉格朗日参数。在任意时刻t，任意质点的空间位置坐标x、y、z可由拉格朗日参数a、b、c和时间t给定，即
在式（3.2.1）中，令a、b、c为常数，t为变数，则可以得到某个指定的液体质点在不同时刻的位置，即质点的迹线；如果令t为常数，a、b、c为变数，就可以得到某一固定时刻不同质点的空间分布情况。
将式（3.2.1）对时间t取偏导数，可以得到某一液体质点在任一时刻的速度：
将式（3.2.2）再对时间t取偏导数，就可以得到某一液体质点在任一时刻的加速度：
液体质点运动的迹线微分方程可由式（3.2.2）得到：
拉格朗日法与经典力学中研究质点和质点系运动的方法是相同的。但是，若将此法应用到水力学中，则需要对许许多多的液体质点写出式（3.2.1），这是非常困难的。而工程上往往只需弄清楚流动空间中各运动要素之间的关系，不需要知道每个液体质点的运动情况。因此更多情况下是采用下面介绍的欧拉法。
3.2.2 欧拉法
与拉格朗日法不同，欧拉法的着眼点不是单个的液体质点，而是液体运动所通过的空间点。水力学中将运动液体质点所充满的空间称为流场。那么欧拉法就是考察流场中不同空间点上液体质点的运动规律，进而获得整个流场的运动规律。这里包含了两个内容：一是分析流场中某个固定空间点处液体质点的运动要素随时间的变化规律；二是分析流场中由于空间点发生变化所引起的液体质点运动要素的变化。可见欧拉法不是考虑单个液体质点的运动情况，而是着眼于整个流场，因此欧拉法又称为流场法。
用欧拉法研究液体运动时，流场中各运动要素是位置坐标（x，y，z）和时间t的函数，流场中任一点的速度分量可以表示为
式中（x，y，z）是流场中空间点的坐标，称为欧拉参数。如果令式（3.2.5）中x、y、z为常数，则可以得到某一空间点处不同液体质点在不同时刻通过该点的流速变化规律；若令t为常数时，则可以得到同一时刻不同空间点处的流速分布。
流场中任一点处的加速度分量为
ux的全微分为
方程两端同除以dt，得
而
，所以
将速度用向量表示为
u=uxi+uyj+uzk
而微分算子
u与▽作点乘积，得
于是加速度的向量表达式为
式 （3.2.8）中的
项是时间加速度，（u·）u是位移加速度。
这样，在欧拉法中，流场中任意一点的全加速度是由时间加速度和位移加速度两项组成。
图3.2.1
在欧拉法中，运动的几何特征是流线。设在如图3.2.1所示的流场中点P处的速度向量为
u=uxi+uyj+uzk
通过点P流线的微元弧向量为
ds=dxi+dyj+dzk
由于速度u的方向与微元弧向量ds相切，即方向相同，因此，它们的方向系数应该成比例，故得流线的微分方程为
注意：迹线微分方程式（3.2.4）中的t是自变量，而在流线微分方程式（3.2.9）中的t是参变量，即在积分的过程中是作为常数看待的。
【例3.2.1】 已知平面不可压缩流体的速度分量为
试求：（1）t=0时过（0，0）点的迹线方程；（2）t=1时过（0，0）点的流线方程。
解：（1）迹线方程。
迹线的微分方程为
，即
由式 （3.2.11）得
积分得
已知t=0时，y=0，得c1=0，所以
由式（3.2.10）得
dx=uxdt=(1-y)dt
将式 （3.2.12）代入得
已知t=0时，x=0，得c2=0，则
式（3.2.12）、式（3.2.13）为迹线的参数方程。若消去时间t，则由式（3.2.12）得t=
，代入式 （3.2.13）得
化简后得
2y3-12y2+18y-9x2=0
（2）流线方程。
流线的微分方程为
，即
或者
tdx=(1-y)dy
将t作为参数积分得
已知t=1时，x=y=0得c=0，所以
式（3.2.14）即为所求流线方程，由于流线的坐标与时间t有关，因此是非恒定流。