3.3 用控制体概念分析液体运动的基本方程
3.3.1 质点系和控制体
在3.2节中介绍了描述液体运动的两种方法。其中拉格朗日法是以个别的液体运动质点为对象，研究这些给定的液体质点在整个运动过程中的轨迹和运动要素随时间的变化规律。而欧拉法则是以流场中的空间点为对象，研究各时刻流场中诸空间点上不同液体质点的运动要素的分布和变化的规律。在应用这两种基本方法研究水流的运动时，研究的对象常须扩大。质点扩大为有限的液体团，空间点扩大为有限体积的空间。
应该指出，液流是物质的一种运动状态，除了有运动学方面的问题外，还有动力学方面的问题，也就是说必须考虑作用在液体上的各种力、液体与周围物体之间的相互作用以及液体运动所应遵循的某些普遍规律，例如质量守恒原理、牛顿第二运动定律、能量守恒原理等。根据液体受力及与其他物体相互作用的情况，应用这些普遍规律就能够建立起液体流动参数之间的关系式，这就是液体动力学的基本方程，然后求解这些基本方程就能够得出液体的参数及液体运动的具体行为。但是，在讲到液体受力和与其他物体的相互作用时就会涉及几何尺度问题，也就是说只有针对有一定几何尺度的液体团受力和运动时才有意义。而且液体运动所遵循的某些普遍规律的建立也要针对具有一定质量的液体团而言。液体团的几何尺度可大可小，小到质量为dm的任意小的液体质点，大到有限几何尺度的质点集合或称质点系。所以跟踪有一定几何尺度和具有相应质量的液体团，分析其受力情况，建立有关的方程式，研究其运动状况，这就是拉格朗日法的基本途径。但是，由于液体团在运动中不断地变形，跟踪液体团的行为非常困难，所以取有一定几何尺度的固定空间，该空间称为控制体。研究流经这一固定空间液体的受力情况和运动情况，建立有关液体运动的基本方程，从而研究液体流经这一固定空间的行为，这是欧拉法的基本途径。控制体的选取是人为的，根据研究问题的需要而选取形状和大小。
根据上述，有必要对质点系和控制体作进一步的描述，并且还要阐明如何将针对质点系所建立的有关液体运动的基本方程转变成针对控制体的方程。
包含着确定不变的连续的液体质点的液体团称为质点系，或称为系统，上述定义的质点系的边界有如下特点：
（1）质点系的边界随着液体一起运动，边界面的形状和大小可以随时间变化。
（2）质点系的边界处没有质量交换，即没有液体流进或流出边界。
（3）质点系的边界上受到外界作用的表面力。
（4）质点系的边界上可以有能量交换，即有能量（热或功）流入或流出边界。
被液体流过的，相对某个坐标系来说固定不变的任何几何形状的空间称为控制体。控制体的边界面称为控制面，它应是封闭的表面。占据控制体的各液体质点是随时间而改变的。
根据上述定义，控制面有以下特点：
（1）控制面相对于坐标系是固定不变的。
（2）控制面上可以有液体的质量交换，即有液体流进或流出控制面。
（3）控制面上受到控制体以外物体加在控制体内液体上的力。
（4）在控制面上可以有能量交换，即可以有热或功流入或流出控制面。
控制体可以取有限体积，如图3.3.1（a）所示管中ABCD体积，也可以取如图3.3.1（b）所示的微元六面体。ABCD是固定空间，如果取位于此空间的液体为质点系，则经过某时段后，此质点系将位于图中的abcd的位置。
图3.3.1
3.3.2 关于质点系运动的基本方程
在如图3.3.2所示的坐标系中，在t时刻有一质点系s0，在t+δt时刻该质点系运动到新的位置s。s0 就相当于图3.3.1中的ABCD，s相当于abcd。现在我们分别针对质点系和控制体建立质量守恒定律、动量定律及动量矩定律。
1.质量守恒定律
若将t+δt时的质点系s同t时的质点系s0相比较，它们的位置不同，形状也可能不同，但是由于质点系的边界是封闭的，没有液体流进或流出，所以s和s0 内的质量是相同的，即质点系内没有质量变化，或者说质点系中的质量对时间的导数等于零，即
图3.3.2
符号“sy”表示系统。而质点系中的质量为
式中：ρ为液体的密度；V为质点系的体积。
2.动量定律
作用在质点系上的所有外力的向量和，等于质点系所具有的动量对时间的导数，即
式中：Fsy为作用在质点系上外力的向量和，包括质量力和表面力。
质点系的动量可以表示为
3.动量矩定律
作用在质点系上的外力关于某轴力矩向量和，等于该质点系关于同一轴的动量矩对时间的导数，即
式中：Tqsy为作用在质点系上的外力关于某轴的力矩向量和，包括质量力力矩和表面力力矩。
质点系关于同一轴的动量矩可以表示为
式中：r为对某轴的矢径。
现将式（3.3.1）、式（3.3.3）及式（3.3.5）右端的导数统一写成为
Nsy为质点系所具有的某一物理量，如质量m、动量P及动量矩L，并且可以将它表示成为
式中：η为质点系中局部地区单位质量液体所具有的相应于N的物理量。
式（3.3.7）称为物质的体积分。参考式（3.3.2）、式（3.3.4）及式（3.3.6）可以得到下面的对应关系：
3.3.3 物质体积分的随体导数
上面讲的导数
是对质点系而言的。现在我们来建立这个导数与控制体相联系时的表达式。这可由物质体积分的随体导数来实现。
图3.3.3（a）为在管路中取的质点系和控制体，图3.3.3（b）为一般情况下的质点系和控制体，前者为后者在管路水流运动时的特例。假设在t时刻质点系与控制体相重合，如图3.3.3中虚线所示，经过δt时段后，质点系向前移动到实线所示的位置。在δt时段内质点系的物理量N发生变化，由Nsy，t变到Nsy，t+δt，其变化率DNsy/Dt可写为
图3.3.3
由于时段δt很短，两个瞬时质点系的位置有一部分相重叠，如图3.3.3中的区域2。这样就可以将每一瞬时的质点系看作两个区域之和，t时刻质点系占据区域1和2，也就是控制体所占的区域cv，t+δt时刻占据区域2和区域3，也即是占据区域cv-区域1+区域3。所以
将式（3.3.9）、式（3.3.10）代入式（3.3.8），整理后得
下面分别讨论式（3.3.11）右端两项的意义。
第一项表示控制体中的物理量Ncv的时间变化率
。又根据式 （3.3.7）得
参见图3.3.3，第二项中的N3，t+δt相当于在δt时段内通过图3.3.3（a）中控制面C—D或图3.3.3（b）中控制面adc（cs2）流出控制体的物理量N，而N1，t+δt相当于在δt时段内通过图3.3.3（a）中控制面A—B或图3.3.3（b）中控制面abc（cs1）流入控制体的物理量N，注意到控制体表面cs2和cs1的微元面积dA2和dA1上的流速分别为u2和u1，且cs1+cs2=cs（整个控制体的表面积），则式（3.3.11）的右端第二项可写为
注意：由图3.3.3可知，由于速度u1与面积dA1的外法线n1的夹角大于90°，所以式（3.3.13）分子中的∫cs1ηρu1δtdA1是负值。
将式（3.3.12）、式（3.3.13）代入式（3.3.11），最后得
式（3.3.14）中的左端项是对质点系而言的物理量N的随体导数，它描述物理量N的体积分变化的过程；而该式右端的第一项描述控制体内的物理量N随时间的变化率，反映了物理量N的非恒定性；该式右端的第二项表示单位时间内液体通过控制体表面流出与流入的物理量N之差，也称为物理量N的通量。总之，右端的两项是对控制体而言的，也就是用欧拉法表示的物理量N的变化率。这样就将拉格朗日法的表示式与欧拉法的表示式联系起来了，因此将式（3.3.14）称为系控关系式或系控方程，或简称为控制体方程（Control Volume Equation）。
3.3.4 关于控制体水流运动的基本方程
下面应用系控方程式（3.3.14）导出关于控制体水流运动的连续方程、动量方程及动量矩方程。
1.连续方程
对于质量守恒定律，系控方程中的Nsy=msy，η=1，且Dmsy/Dt=0，于是得连续方程
2.动量方程
对于动量守恒定律，系控方程中的Nsy=Psy，η=u，且DPsy/Dt=Fs，注意到，在建立系控方程时曾取δt→0，这就意味着此时质点系几乎与控制体相重合，因此认为作用在质点系上的外力的向量和Fsy就是作用在控制体上的外力的向量和Fcv，于是得动量方程
3.动量矩方程
对于动量矩守恒定律，系控方程中的Nsy=Lsy，η=r×u，且DLsy/Dt=Tqsy，理由同前，令Tqsy=Tqcv，于是得动量矩方程
