1.5 电路的等效变换

在电路理论中，等效分析法是一个重要方法。利用等效，可简化电路的分析和计算。

1.5.1 电路等效的概念

1.二端网络的概念

在电路分析中，若把一组相互连接的元件看成是一个整体，这个整体对外部电路而言只有两个端子与之相连，并且从一个端子流入的电流等于从另一个端子流出的电流，则称这个整体为二端网络，也称一端口网络。电阻、电压源、电流源等理想电路元件可看成是二端网络的特例，此网络内部只含有一个元件。一个二端网络N通常用图1-24来表示。

二端网络端口的电压和电流的关系称为该二端网络的端口伏安关系，可用数学表达式描述为

二端网络的伏安关系由其内部的结构和参数决定，与外电路无关。

2.等效的概念

如果两个结构、参数完全不同的二端网络的端口伏安关系完全相同，则称这两个二端网络是等效的，或称这两个二端网络互为等效电路。

如图1-25所示的两个二端网络N₁和N₂，其内部结构可能不同，但只要它们的端口伏安关系完全相同，则N₁和N₂是等效的。也就是说两个二端网络N₁和N₂在电路中可以互相替换。只要N₁和N₂的端口伏安关系完全相同，则两个网络端口以外的变量u、i即相同，或者说，两个网络互相替代以后，端口以外的电路变量不受影响。

如图1-26所示，若两个二端网络N₁和N₂等效，则两个二端网络分别连接到同一个任意的二端网络M时，不会影响到M内的电压和电流值。也就是说二端网络N₁和N₂对外电路M的作用完全相同，所以等效又为“对外等效”。

利用等效的概念，可用简单的二端网络去等效原来复杂的二端网络，从而实现化简电路的目的。若要求解某一支路的响应（电压或电流）时，可先把该支路以外的电路先进行化简等效，再用简单的二端网络去代替原来复杂的网络，这样求解就大大简化了。

例1-5 利用等效定义，求图1-27a所示电路中的电流i。

解：如图1-27b所示，先断开待求支路即4Ω电阻，设端口电压为U，电流为I。求该图的最简等效电路，列写方程得端口伏安关系为

U=2×（1+I）+10=2I+12^[1]

由此伏安关系式，可画出最简等效电路如图1-27c所示。将待求支路接上，如图1-27d所示电路，于是求得

以上利用等效定义先求出二端网络端口伏安关系，然后根据端口伏安关系得到简化的电路，再求待求支路响应的方法，称为端口伏安关系法。该方法适用于任何二端网络的等效化简。需要注意的是，两个互为等效电路的二端网络N₁和N₂，它们的内部结构和元件参数可能完全不相同，然而对外电路来说，N₁和N₂是等效的。而由于两个网络内部完全不同，所以其功率也不一样，对两个网络自身来说是不等效的，即“对内不等效”。

1.5.2 电阻的等效

本节利用等效的方法研究电阻串联、并联、星形和三角形联结电路的化简。

1.电阻串联的等效变换

电阻R₁、R₂依次首尾相连，串行连接，如图1-28a所示，称为电阻的串联。串联电阻的电流是同一电流。

图1-28a中，根据欧姆定律和基尔霍夫电压定律，可得

令

则式（1.5-2）可写为

由式（1.5-4）画出图1-28b所示电路。因为图1-28a、b所示的端口伏安关系相同，所以电阻的串联组合可以等效为一个电阻。由式（1.5-3）可知电阻串联的等效电阻等于每一个串联电阻的阻值之和。用R代替两个串联电阻后，对外电路来说其作用不变。图1-28a中每个电阻的电压由下式求得：

式（1.5-5）称为分压公式，也就是说串联电阻电路中的电阻越大，分得的电压越多。每个电阻的分压与其在串联总电阻中所占比例成正比。

电阻串联等效还可推广到n个电阻的串联。

式（1.5-6）为串联电阻等效公式。可以推出，串联电阻越多，总电阻越大。

2.电阻并联的等效变换

如图1-29a所示，电阻R₁和R₂有两个公共的连接点，称为电阻的并联。

根据欧姆定律和基尔霍夫电流定律，得

令

则上式可写为

由式（1.5-9）可画出图1-29b所示电路。因为图1-29a、b的伏安关系完全相同，所以图1-29a和图1-29b互为等效电路。两个电阻并联等效时，由式（1.5-8）可得等效电阻为

通常记为R=R₁//R₂。

当电阻并联时，图1-29a中每个电阻的电流为

式（1.5-11）称为分流公式，即并联支路的电阻越大，并联支路的电流越小，即电流总是寻找电阻最小的通路。

电阻并联的等效还可推广到n个电阻的并联，即

由于，上式还可写成电导的形式，即

由此可推出，电阻并联的等效电阻，比最小的电阻还小。

3.电阻混联电路的等效变换

在电路中，若既有电阻串联又有电阻并联时，称为电阻的混联。在电阻混联的情况下，一般根据电路结构对其进行适当的化简：首先根据电阻串、并联的基本特征对其连接方式进行判断，然后根据电阻串联和并联的等效规律从局部到端口，逐级进行化简计算。

例1-6 求图1-30a所示ab端口的等效电阻，设电阻均为6Ω。

解：采用“缩节点，画等效电路”的方法，如图1-30b所示，其等效电阻为

R_ab=R₁//R₂//R₃=2Ω

例1-7 求图1-31a所示端口的等效电阻。

解：如图1-31b所示，按从局部到端口的顺序，从电路图右侧往左侧方向，利用电阻串、并联等效方进行逐级化简可得

R=10Ω//10Ω=5Ω

4.电阻星形和三角形联结的等效变换

在电路中常出现一些电阻既不是串联也不是并联的情况，如图1-32所示电路，是桥式电路，ab端口以右的电阻连接方式既非串联，也非并联。对于桥式电路可利用等效变换的方法。将1、2、3节点连接（星形联结）的电阻（如图1-33a所示），变换为三角形联结（如图1-33b所示）。变换后的电路会出现电阻串联和并联形式，此时问题转化为一般电阻混联电路的化简。

电阻星形联结（形联结）和三角形联结（△形联结）都是通过3个端子与外电路相连，可看成是典型的两个具有公共端子的二端口电路。根据电路等效的定义，若图1-33a和图1-33b等效，则要求两电路端口伏安关系完全相同。具体来说，两个电路等效的条件是

式（1.5-14）是从形联结到△形联结的计算公式。

式（1.5-15）是从△形联结到形联结的计算公式。

为便于记忆，以上等效变换公式可归纳为

若三角形（或星形）连接的3个电阻相等，则变换后的星形（三角形）的3个电阻也相等。且有

式中R_△是三角形联结电阻，是星形联结电阻。电阻形和△形联结的等效变换在三相电路分析中是很有用的。

例1-8 求图1-34a中所示桥式电路的电阻R₁₂。

解：先将图1-34a中节点1、3、4所连的△形联结的电阻等效为形联结，如图1-34b所示。将图1-34b改画为如图1-34c所示，用串、并联方法求出R₁₂，如图1-34d所示，为

R₁₂=5Ω

1.5.3 含受控源电路的等效变换

含受控源电路的等效变换，可通过求其端口的伏安关系来得到等效电路，该方法即端口伏安关系法。

例1-9 求图1-35a所示电路的等效电阻R_ab。

解：为求出ab端口伏安关系，在端口施加一独立电压源（电压为U），如图1-35b所示，应用两类约束，求出端口电压U作用下的端口电流I。这种方法称为加压求流法。列写图1-35b的方程为

解得

U=6I

等效电阻为

R=6Ω

由此例可推广得到一个重要的结论：任何一个不含独立源（可含有受控源）的无源二端网络，均可等效为一个电阻。由于电路的性质（即端口伏安关系）只与电路的内部结构及元件参数有关，与外加激励无关，因此还可在端口施加一独立电流源I，来求端口电压与电流的关系，这种方法称为加流求压法。无论是加压求流还是加流求压，都能求出等效电阻。

例1-10 利用等效定义，求图1-36a所示电路中的电流I。

解：先断开待求支路，如图1-36b所示。设端口电压为U，电流为I，列写KCL、KVL方程为：

消去i，可得图1-36b的端口伏安关系如下：

U=10.8-1.4I

由此伏安关系，可画出等效电路如图1-36c所示。将待求支路接上，如图1-36d所示电路，于是求得

1.5.4 电源的等效变换

1.理想电压源的串联

理想电压源在电路中可以串联。如图1-37所示，当n个理想电压源串联时，可以等效为一个电压源，且该电压源的电压等于该串联支路所有电压源电压的代数和，即

将多个电压源串联，可以提高或降低总电压。

2.理想电流源的并联

理想电流源在电路中可以并联。如图1-38所示，当n个理想电流源并联时，可以等效为一个电流源，等效电流源的电流等于并联支路上所有电流源电流的代数和，即

将多个电流源并联，可以提高或者降低总电流。

3.理想电压源与多余元件的并联

只有极性一致、电压值相等的电压源才允许并联，否则违背KVL。如图1-39a所示，一个与电压源u_S的极性和大小不一致的元件N与该电压源u_S并联，称N为多余元件，等效时可断开该元件，等效电路如图1-39b所示。

4.理想电流源与多余元件的串联

只有方向相同、电流值的大小相等的电流源才允许串联，否则违背KCL。如图1-40a所示，一个与电流源i_S的电流方向和大小不一致的元件N与该电流源i_S串联，称N为多余元件，等效时可将该元件短路，等效电路如图1-40b。

注意，电压源不能短路，电流源不能开路。

5.实际电源的模型及其等效变换

在现实中理想电源是不存在的，因为实际电源内部都有一定的内阻R_S，存在能量消耗。图1-41a所示是一个实际电源外接一个电阻。实际电源的外部特性如图1-41b实线所示，一般可近似为一条直线，如图1-41c所示。其中u_S是电源的输出电流为零时的电压值，即开路电压u_OC，i_S是电源的输出电压为零时的电流值。

根据图1-41c的直线可写出其方程，其端口伏安关系为

上式可以改写为

式（1.5-21）中R_S=u_S/i_S。由上述两个伏安关系式可知，一个实际电源有两种不同的等效模型：一是电压源串联电阻（实际电压源模型）；二是电流源并联电阻（实际电流源模型），如图1-42所示。电压源串联电阻的组合与电流源并联电阻的组合具有相同的伏安关系，所以这两种模型可以相互等效，变换时要注意u_S和i_S的参考方向。两个模型等效互换的条件是R_S=u_S/i_S。通常将与电阻串联的电压源称为有伴电压源，将与电阻并联的电流源称为有伴电流源，将单独的理想电压源或理想电流源称为无伴电源。

实际电源的两种模型在电路分析中可以相互等效变换，这种方法又称电源模型互换法，简称模型互换法。受控电压源与电阻的串联组合和受控电流源与电阻的并联组合也可进行模型互换。此时把受控源当作独立源来处理。不过应特别注意变换过程中受控源的控制量（或控制支路）必须保证不被改变，而受控源控制系数及其量纲则随着等效变换有所变化。

例1-11 分别作出图1-43a、b所示电路的等效电路。

解：对图1-43a，电路对外提供一个恒定的6 V电压，与电流源无关，所以端口电压方程为U=6 V，其等效电路为6 V的电压源，如图1-43c所示。

对图1-43b，电路对外提供一个恒定的5 A电流，与电压源无关，所以端口电流方程为I=5 A，其等效电路为5 A的电流源，如图1-43d所示。

例1-12 求图1-44a所示电路的等效电路。

解：对图1-44a所示电路，由左侧向右侧逐步等效化简。

首先将图1-44a左侧的6 V电压源与3Ω电阻串联的部分等效为2 A电流源与3Ω电阻的并联，如图1-44b所示。再由电流源并联等效得图1-44c，进一步将电路化简为图1-44d，最后利用电压源串联等效得到图1-44e。