1.6 方程法

前面已经介绍了元件约束和拓扑约束是分析电路的基本依据。利用两类约束和等效变换可对电路进行分析计算。但是对于一些复杂电路的分析还需要寻求某种系统化的一般方法。这类方法一般不改变电路的结构，其基本思路是选择一组适当的电路变量（电压或电流），根据两类约束建立电路方程来求解这组变量，而后再求其他响应。对于线性电阻电路，其方程是一组线性代数方程，因此这类方程称为方程法，也叫一般分析法。

1.6.1 支路电流法

支路电流法是以支路电流为变量，先列写电路的KCL和KVL方程，先求出支路电流，再求解电路中其他未知量的方法，简称支路法。

若支路法共有b个支路电流变量，则有b个独立方程。下面以图1-45为例进行说明，图中有3条支路，即有3个支路电流变量。为求出这些电流变量，需要列写出的独立方程个数为3个。

1）设支路电流参考方向如图1-45所示。

2）因为图1-45有两个节点，故两个节点的KCL方程是对偶的关系。只需列写1个节点的KCL方程，即

i₁+i₂-i₃=0

由电路网络图论可知具有n个节点的电路网络中，独立的KCL方程个数为n-1个。

3）列写独立回路的KVL方程。

除了独立节点的电流方程外，还需找到两个独立的KVL方程才能求出3个支路电流变量。若选择图1-45所示电路的两个网孔列写回路方程，则有两个独立的KVL方程，即

以上两个方程是独立的，即其中一个方程不能由另外一个方程来表示。这两个独立方程所对应的回路称为独立回路。一般选择网孔作为列方程的回路，能保证列回路电压方程是独立的。可以证明，网孔是独立回路，网孔数也就是独立回路数。对于一个有n个节点，b条支路的电路来说，独立的KVL方程个数为b-n+1个。

4）联立求解独立的节点电流方程和独立回路方程，可求得图1-45中各支路电流。

例1-13 如图1-46a所示电路，用支路电流法求电路中的电流i₁。

解：该电路含有一个受控源，将其看作独立源。设各支路电流如图1-46b所示，电路中节点数为2，支路数为3。

首先列写a节点的KCL方程：

i₁=i₂+i₃

选择网孔为独立回路，列写2个网孔的KVL方程：

联立求解方程，得

i₁=0.9 A

1.6.2 网孔电流法

选择平面电路的网孔电流作为电路变量，利用KVL列写网孔的电压方程，先求得网孔电流，再求其他响应的方法，称为网孔电流法。大多数电路都是平面电路，网孔电流法仅适用于平面电路。所谓平面电路是指除节点外所有支路都没有交叉的电路，其电路图是平面的。

网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想的电流。

在具有n个节点，b条支路的平面电路中，可以证明，网孔数为b-n+1个，因此有b-n+1个网孔电流。如图1-47所示电路，共有3个网孔，其3个网孔电流为i_a、i_b、i_c，分别沿着acba，abda，bcdb网孔边界流动。

网孔电流是独立的变量。根据电流连续性，对于图1-47中每一个节点，网孔电流流入节点一次，同时又流出该节点一次，因此网孔电流在节点上自动满足基尔霍夫电流定律。若以网孔电流为变量对节点b列KCL方程，有

i_a-i_a+i_b-i_b+i_c-i_c=0

上式恒等于零。由于各网孔电流相互抵消，各网孔电流不受KCL约束，所以网孔电流具有独立性。

网孔电流是完备的变量。当电路中某条支路只有一个网孔电流流过时，该支路电流就是网孔电流；当有多个网孔电流同时流过某条支路时，该支路电流等于这些网孔电流的共同作用，即网孔电流的代数和。可见，电路中所有支路电流均可由网孔电流来表示

网孔电流自动满足KCL，因此只需列写KVL方程。对于有n个节点，b条支路的电路，其独立的KVL方程个数为b-n+1个。以网孔电流为变量列写b-n+1个网孔的KVL方程，该组方程称为网孔方程，联立求解可得网孔电流。下面以图1-47为例，利用式（1.6-1），用网孔电流表示支路电流，取网孔电流方向为绕行方向，列写各网孔的KVL方程如下。

整理得

式（1.6-3）就是网孔方程，实际上，上述方程可以整理为一般形式：

或写为矩阵形式为

从上述网孔方程能总结出一些规律，利用这些规律列方程，会简化网孔电流方程的列写。

式（1.6-5）中，系数矩阵对角线元素R_kk称为网孔k的自电阻，它是网孔k中所有电阻之和。例如R₁₁=R₁+R₂+R₃，R₂₂=R₂+R₄+R₅，R₃₃=R₃+R₅+R₆。由于列写KVL方程时设定了绕行方向为网孔电流方向，因此自电阻上产生的电压降总是正的，自电阻恒取正号。

式（1.6-5）中，非对角线元素，例如R₁₂是网孔a和网孔b公共支路上的电阻，称为互电阻。互电阻上的电压降可能为正，也可能为负，这取决于流经互电阻的网孔电流的参考方向。当互电阻上的两个网孔电流方向相同时，互电阻取正号；当互电阻上两个网孔电流参考方向相反时，互电阻取负号。网孔a和网孔b的网孔电流方向相反，故R₁₂的符号取负号。如果各网孔电流参考方向设为一致，即同为顺时针方向，或同为逆时针方向，则各互电阻上相邻电流方向一定相反，互电阻符号均为负号。

式（1.6-5）中，等号右端的元素u_Snk表示网孔k中所有电压源电压升的代数和，例如回路a中电压源的电压升为-u_S1，回路c中电压源的电压升为u_S2。

总而言之，以网孔电流参考方向作为绕行方向，网孔方程的左端为（电阻的）电压降的代数和，方程的右端为电压源电压升的代数和。

按总结出来的规律，从电路直接列写网孔电流方程的通式为

自电阻×本网孔电流+∑互电阻×相邻网孔电流=本网孔所含电压源电压升的代数和网孔分析法的解题步骤归纳如下。

1）设定网孔电流参考方向（通常同取顺时针或逆时针方向），绕行方向与参考方向一致。

2）列网孔方程组，联立求解，解出网孔电流。

3）由网孔电流求电路其他待求量。

网孔法的实质是网孔的KVL方程。若网孔含有电流源，由于电流源的电压要由外电路确定而不能直接用网孔电流来表示，故一般采用以下方法来处理。

1）若存在电流源并联电阻的有伴电流源，则将其并联组合等效为电压源串联电阻模型。

2）若某个无伴电流源所在支路单独属于某一个网孔，则与其关联的网孔电流为已知，该网孔电流方程可省去，其他网孔电流方程正常列写。

3）若某个无伴电流源为两个网孔所共有，可将电流源两端电压作为未知变量，从而增补一个辅助方程，使电流源电流与网孔电流相联系。

例1-14 如图1-48a所示，试用网孔分析法求电流i和电压u。

解：设网孔电流参考方向如图1-48b所示。图中10 A电流源是无伴电流源，该网孔电流i₂即等于10 A电流源。将20 A电流源和2Ω电阻并联的有伴电源模型，等效为电压源串联电阻的模型，等效后的u应为串联支路的支路电压；5A电流源为两个网孔所共有，故增设其两端电压变量u_x，如图1-48b所示，列写网孔电流方程：

网孔1：

（10+2）i₁-2i₂=20+u_x

网孔2：

i₂=10 A

网孔3：

（2+10）i₃-2i₂=10-40-u_x

辅助方程：

i₁ -i₃=5

联立求解该方程组，可得

i₁=3.75 A，i₃=-1.25 A，i=i₂-i₁=6.25 A

u=2（i₂-i₃）-40=-17.5 V

当电路中含有受控电源，可将受控源按独立源一样对待，列写网孔方程，增设一个辅助方程，即找出控制量与网孔电流的关系方程，下面通过例子来说明。

例1-15 如图1-49a所示电路，求各网孔电流及受控源吸收的功率。

解：设网孔电流如图1-49b所示，列写网孔电流方程：

联立求解得

i₁=-1 A，i₂=3 A

受控源的吸收的功率为

P=8i_x（i₁-i₂）=8×3×（-1-3）W=-96 W

1.6.3 节点电压法

在电路中任意选择一个节点为参考节点，假设其电位为零，电路中其他各节点到参考节点的电压称为节点电压（位）。如图1-50所示，选择节点d为参考点，则节点电压为u_a，u_b，u_c。

以节点电压为电路变量，直接列写独立节点的KCL方程，先求得节点电压进而求响应的方法，称为节点电压法，简称节点法。节点法以n-1个独立节点电压为变量，根据KCL列出方程求解。

节点电压是相互独立的变量。因为各节点电压变量不可能处于同一个回路内，所以不能通过KVL方程把各个节点电压联系起来，即它们相互间不受KVL约束，具有独立性。

对图1-50中节点a、b、c分别列出KCL方程如下。

由于电路中任一条支路都与两个节点相连，因此支路之间的电压等于两个节点之间的电压之差。将上式支路电流用节点电压表示，有

从式（1.6-7）可知，全部支路电流均可由节点电压表示，即节点电压是完备的变量。若设法先求出节点电压，那么电路中其余变量均可由节点电压求得。

将式（1.6-7）代入式（1.6-6）中，整理后有

写为一般形式为

写成矩阵的形式为

从节点方程能总结出一些规律，利用这些规律列方程，会简化节点电压方程的列写。

式（1.6-10）中，G_kk称为节点k的自电导，它是连接到节点k的所有支路的电导之和，恒取“+”号。例如连接到节点a的电导G₁+G₄+G₆，是节点a的自电导。

G_kj（k≠j）称为节点k与节点j的互电导，它是连接到节点k和节点j之间共有支路电导之和。恒取“-”号。例如G₁₂=G₂₁=-G₄。

等式右边列的元素i_Snk为流入节点k的电流源电流的代数和。流入节点的电流源电流取“+”号，否则取“-”号。

式（1.6-9）等号左边表示从电阻支路流出节点的电流，等号右边表示从电流源支路流入节点的电流，该式满足基尔霍夫电流定律。按总结出来的规律，从电路直接列写节点电压方程的通式为

自电导×本节点电压+∑互电导×相邻节点电压=流入本节点电流源电流的代数和节点电压法的解题步骤归纳如下。

1）选取参考节点（设参考点电位为零），确定其余各节点电压变量。

2）列节点电压方程组，联立求解，求得各节点电压。

3）由各节点电压求其他变量。

节点方程的实质，是用节点电压表示各支路电流，从而列写各节点的KCL方程。若支路中含有电压源，由于电压源的电流由外电路确定而不能直接用节点电压表示，故一般采用以下方法处理。

1）若存在电压源串联电阻的有伴电压源，则将其串联组合等效为电流源并联电阻的组合。

2）若存在只含一个独立电压源（无伴电压源）的支路，取电压源支路的一端作为参考点，这时该支路另一端连接的节点电压为已知量，且等于该电压源电压。

3）若存在两个或两个以上无伴电压源支路，可对其中一个无伴电压源按上述第2种方法处理，将其余无伴电压源支路的电流作为未知量列入节点方程中，并增设辅助方程，将该电压源与节点电压相联系。

例1-16 对图1-51a列写节点电压方程。

解：图1-51a中电路含有无伴电压源u_S支路，选择该电压源负极为参考点，如图1-51b所示。设节点电压为u_a、u_b、u_c，其中b点电压为已知量，即u_b=u_S。u_a和u_c为未知量，列写节点a和c的节点方程：

将u_b=u_S代入以上两个方程中，联立求解即可求出u_a、u_c。

上题若选择a点或c点为参考点，则需要列写3个方程；若选择电压源负极为参考点，则只需列两个方程。从上题求解过程可以看出，对于只含有一个独立电压源的支路，如果能够选取合适的参考点，可以减少需要列写的方程数目，简化求解过程。

例1-17 如图1-52a所示电路，用节点法求电流I。

解：【解法一】 图1-52a中含有无伴电压源支路，选择该2V电压源的负极为参考点，则u_a=2 V。设其余各节点电压为u_b、u_c；图中1 V电压源与2Ω电阻串联，将其串联组合等效为电流源并联电阻的模型，如图1-52b所示。

列写各节点的节点方程为

联立求解得

u_b=-4 V，u_c=0 V

则

【解法二】 选择c点为参考点，设其余各节点电压为u_a、u_b、u_d，图中1 V电压源与2Ω电阻串联，将其串联组合等效为电流源并联电阻的模型，如图1-52c所示。节点电压法列写的是节点的电流方程，由于2 V电压源支路电流未知，故设该支路电流为I_X。列写各节点方程为

节点a：

u_a=3-I_X

节点d：

节点b：

辅助方程为

u_a -u_d=2

联立求解得

u_a=0，u_b=-6 V，u_d=-2 V

则

以上讨论的电路只含有独立源，如果电路中含有受控源，先将受控源按照独立源一样地对待，列写节点方程，再增加辅助方程，将受控源的控制量用节点电压来表示。

例1-18 如图1-53a所示电路，求电压u和电流i。

解：图1-53a中节点c和d之间含有一个无伴电压源，选择该电压源的负极（节点d）为参考点，设其余各节点电压为u_a、u_b、u_c，其中u_c=10 V，如图1-53b所示。列写节点a和节点b的节点方程为

联立求解得

u_a=u=7 V，u_b=2 V，i=2（u-10）=-6 A

前面介绍了电路分析的几种方法，对于有n个节点，b条支路的电路而言，因为支路电流法、网孔电流法和节点电压法选择的变量不同，所以方程个数也不同，见表1-1。支路电流法所需的方程数目较多，但应用比较灵活。节点法适用于支路数多，节点数少的电路。选取何种分析方法，关键在于采用选定的方法得到的联立方程个数更少。

节点法的优点是选取独立节点电压比较容易。网孔法也容易选定网孔，但网孔法不像节点法那样通用，网孔法仅适用于平面电路。节点法适用于平面电路和非平面电路。目前，在计算机辅助网络分析中，节点法被广泛应用。