1.4 基尔霍夫定律
前面讨论了单个元件的伏安关系，即元件本身的电压与电流的约束关系，称为元件约束或特性约束。由一些元件相互连接组成一定几何结构形式的电路后，各支路的电压和电流之间也受到约束，称为拓扑约束或结构约束，基尔霍夫定律即阐述了这种约束。元件约束和拓扑约束，一起成为分析集总参数电路的基本依据。
基尔霍夫定律是由德国物理学家基尔霍夫提出的关于稳恒电路网络中电流、电压关系的两条电路定律，即著名的基尔霍夫电流定律（Kirchhoff' s Current Law，KCL）和基尔霍夫电压定律（Kirchhoff' s Voltage Law，KVL）。基尔霍夫定律是分析一切集总参数电路的根本依据，一些重要的定理、电路分析方法，都是以基尔霍夫定律为“源”推导、证明、归纳、总结得出的。在了解基尔霍夫定律之前，必须先熟悉几个有关的名词。
支路：一个二端元件或若干个二端元件的串联构成的每一分支。为了分析和计算方便，把电路中通过同一个电流的每个分支叫支路。在图1-18中，流过6 V电压源和6Ω电阻的电流为同一个电流，可看成一个支路。图1-18中，共有6条支路：ab，bc，cd，da，ac，bd。
图1-18 电路图
节点：支路与支路的连接点。在图1-18中，共有4个节点：a，b，c，d。
回路：电路中的任何一个闭合路径。图1-18中，有7个回路：abcda，abca，abda，cbdc，abdca，cbdac，adca。
网孔：内部不另含支路的回路。网孔一定是回路，但回路不一定是网孔。图1-18中，有3个网孔：abda，cbdc，adca。
1.4.1 基尔霍夫电流定律
基尔霍夫电流定律（KCL）：在集总参数电路中，任意时刻，流出或流入任一节点的所有支路电流的代数和等于零，即
式（1.4-1）为基尔霍夫电流定律的代数表达式，简称KCL方程。式中，n为连接到节点的电流总数，ik（t）表示第k条支路电流，k=1，2，…，n。此式说明，将连接到节点的所有电流都看成是流出（或者流入）节点的话，那么这些支路电流的代数和等于零。既然是电流的代数和，那么需要先确定电流ik（t）前面的正负号。如果设定流入节点的电流前面取“+”号，则流出节点的电流前面取“-”号。当然也可设定相反的参考方向，即电流流入节点取“-”号，电流流出节点取“+”号。无论流出还是流入节点，式中的正、负号由参考方向来确定，与电流的实际方向无关。在建立KCL方程时，先要设定每一条支路的电流参考方向，然后依据参考方向来取号，电流流出或者流入节点可取正号或负号，但列写同一个KCL方程时取号规则应一致。
如图1-19所示，设节点a为集总参数电路中的某一节点，连接到节点上的电流共有4条，各电流的参考方向已指定。根据基尔霍夫电流定律，设流出节点的电流为“+”，列写KCL方程为
将该KCL方程改写为
由式（1.4-3）可得KCL的另一种叙述方式：在集总参数电路中，任意时刻流出任一节点的电流之和等于流入该节点的电流之和。即
KCL不仅适用于节点，还适用于电路中任意假设的封闭面（即广义节点）。如图1-20所示电路中虚线包围区域S，设流入封闭面的电流取“+”，则有i1+i2+i3=0。
图1-19 KCL用于节点
图1-20 KCL用于广义节点
基尔霍夫电流定律是电荷守恒定律和电流连续性在集总参数电路中任意节点处的具体反映，即对集总参数电路中的任何一个节点上，流入的电荷必须等于流出的电荷。电荷既不能产生，也不能消失。
基尔霍夫电流定律是对连接在节点上的各支路电流的一种约束，这种约束关系仅由元件相互间的连接方式所决定，与连接什么元件无关。
例1-3 求图1-21所示电路中的电流I1和I2。
解：设流出节点的电流为正，先列节点a的KCL方程为
3+8+I1=0
得
I1=-11 A
再列节点b的KCL方程为
-5-I1-I2+（-3）=0
得
I2=3 A
若作一个封闭面（广义节点）如图1-21虚线所示，电流I2可由广义节点的KCL直接求得
图1-21 例1-3用图
I2=-3+3+8-5=3 A
1.4.2 基尔霍夫电压定律
基尔霍夫电压定律（KVL）：在集总参数电路中，任意时刻，沿任一回路绕行一周的所有支路电压的代数和等于零，即
式（1.4-5）为基尔霍夫电压定律的代数表达式，简称KVL方程。其中，n表示回路中出现的电压总段数，uk（t）表示第k段电压，k=1，2，…，n。此式说明，把回路中沿绕行方向的支路电压都看成是电压降（或电压升）的话，这些支路电压的代数和等于零。在建立KVL方程时，需要指定一个回路绕行方向。通常规定，电压参考方向与绕行方向一致的电压（即电压降）取“+”号，电压参考方向与绕行方向相反的电压（即电压升）取“-”号。
如图1-22所示，回路中共有6个元件电压，设回路的绕行方向为顺时针方向，根据已给出的参考方向，其KVL方程为
图1-22 KVL应用
该KVL方程可改写为
由式（1.4-7）可得KVL的另一种叙述方式：在集总参数电路中，沿任一回路绕行一周的电压降的和等于电压升的和。即
与KCL类似，KVL也可推广到电路中任意假想的回路（广义回路）。如图1-22所示，ac之间没有直接的支路，但回路abca和acda是两个广义回路。设a、c两点之间电压为uac，沿顺时针方向绕行，则可列广义回路的KVL方程为
u1+u2-u3=uac
uac=u4-u5+u6
整理式（1.4-6），有
式（1.4-9）表明，方程等号的左边和右边分别是图1-22中a点到c点两条路径（路径abc和路径adc）所经过的各元件电压降的代数和。可见，不论沿哪条路径绕行，两点之间的电压都相等。即在集总参数电路中，任意两点a、b之间的电压，等于自a点出发，沿任意路径绕行到b点的所有电压降的代数和。
KVL的实质反映了集总参数电路遵从能量守恒定律。若单位正电荷从a点出发沿着闭合回路移动，最后回到a点，则其电压为uaa，显然uaa=0。即该正电荷既没有得到能量也没有失去能量。
与KCL类似，KVL规定了电路中任一回路内各元件电压的约束关系，这种约束关系仅与元件间的连接方式有关，与元件本身无关。
与一个节点相连的各支路，其电流必然受到KCL的约束；与一个回路相联系的各支路，其电压必然受到KVL的约束。
例1-4 如图1-23所示电路，已知I1=2 A，I2=1 A，U1=2 V，U3=3 V，U4=2 V，求电阻R2、R5的功率。
图1-23 例1-4用图
解：设流出节点a的电流取“+”号，列KCL方程为
I1-I2+I3=0
即
I3=1A-2A=-1A
列写两个网孔的KVL方程有
-U1+U2-U3=0
U3+U4+U5=0
解得
U2=5 V，U5=-5 V
电阻R2吸收的功率为
P2=U3I2=3×1 W=3 W
电阻R5吸收的功率为
P5=U5I3=-5×（-1）W=5 W