2.3 测试法建模
第9讲
2.2 节采用机理法对一些简单的典型被控对象建立数学模型，通过分析过程的机理、物料或能量关系，求取对象的微分方程式。许多工业对象内部的工艺过程复杂，使得按对象内部的物理、化学过程寻求对象的微分方程很困难。工业对象通常是由高阶非线性微分方程描述的复杂对象，因此对这些方程式也较难求解。另外，采用机理法在推导和估算时，常用一些假设和近似。在复杂对象中，错综复杂的相互作用可能会对结果产生估计不到的影响。因此，即使能在得到数学模型的情况下，也仍希望通过试验来验证。
当然在无法采用机理法得到数学模型的情况下，那就只有依靠试验和测试来取得。因此对于运行中的对象，用试验法测定其动态特性，尽管有些方法所得结果颇有粗略，而且对生产也有些影响，但仍不失为了解对象的简单途径，在工程实践中应用较广。对于某些生产过程的机理，人们往往还未充分掌握，有时也会出现模型中有些参数难以确定的情况，这时就需要用试验测试方法把数学模型估计出来。
2.3.1 对象特性的实验测定方法
由于过程的动态特性，只有当它处于变动状态下才会表现出来，在稳定状态下是表现不出来的。因此为了获得动态特性，必须使被研究的过程处于被激励的状态。根据加入的激励信号和结果的分析方法的不同，测试对象动态特性的实验方法也不同，主要有以下3种。
（1）测定动态特性的时域法
时域法是对被控对象施加阶跃输入，测绘出对象输出变量随时间变化的响应曲线，或施加脉冲输入测绘出输出的脉冲响应曲线。由响应曲线的结果分析，确定出被控对象的传递函数。这种方法测试设备简单，测试工作量小，因此应用广泛，缺点是测试精度不高。
（2）测定动态特性的频域法
频域法是对被控对象施加不同频率的正弦波，测出输入量与输出量的幅值比和相位差，从而获得对象的频率特性，来确定被控对象的传递函数。这种方法在原理和数据处理上都比较简单，测试精度比时域法高，但此法需要用专门的超低频测试设备，且测试工作量较大。
（3）测定动态特性的统计相关法
统计相关法是对被控对象施加某种随机信号或直接利用对象输入端本身存在的随机噪声进行观察和记录，由于它们引起对象各参数变化，故可采用统计相关法研究对象的动态特性。这种方法可在生产过程正常状态下进行，可以在线辨识，精度也较高。但统计相关法要求积累大量数据，并要用相关仪表和计算机对这些数据进行计算和处理。
上述三种方法测试的动态特性，表现形式是以时间或频率为自变量的实验曲线，称为非参数模型。其建立数学模型的方法称为非参数模型辨识方法或经典的辨识方法。它假定过程在线性的前提下，不必事先确定模型的具体结构，因而这类方法可适用于任意复杂的过程，应用也较广泛。
此外，还有一种参数模型辨识方法，也称为现代的辨识方法。该方法必须假定一种模型结构，通过极小化模型与过程之间的误差准则函数来确定模型的参数。这类辨识方法根据不同的基本原理又分为最小二乘法、梯度校正法、极大似然法三种类型。
非参数模型（如阶跃响应和频率响应）经过适当的数学处理可转变成参数模型（如传递函数）的形式。
经典辨识法和现代辨识法大致可以按是否必须利用计算机进行数据处理为划分界限。
经典辨识法不考虑测试数据中偶然性误差的影响，只需对少量的测试数据进行比较简单的数学处理，计算工作量一般很小，可以不用计算机。
现代辨识法的特点是可以消除测试数据中的偶然性误差（即噪声）的影响，为此就需要处理大量的测试数据，计算机是不可缺少的工具。它所涉及的内容很丰富，已形成一个专门的学科分支。
以下重点介绍两种常用的经典辨识法。
2.3.2 测定动态特性的时域法
时域法是在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控对象的响应曲线，再根据响应曲线，求出被控对象的传递函数，测试过程响应曲线的原理图如图2-18所示。
图2-18 测试过程响应曲线的原理图
1．输入信号选择及试验注意事项
对象的阶跃响应曲线比较直观地反映对象的动态特性，由于它直接来自原始的记录曲线，无须转换，试验也比较简单，且从响应曲线中也易于直接求出对应的传递函数，因此阶跃输入信号是时域法首选的输入信号。但有时生产现场运行条件受到限制，不允许被控对象的被控参数有较大幅度变化，或无法测出一条完整的阶跃响应曲线，则可改用矩形脉冲作为输入信号，得到脉冲响应后，再将其转换成一条阶跃响应曲线。为了得到可靠的测试结果，应注意以下事项。
①合理选择阶跃扰动信号的幅度。过小的阶跃扰动幅度不能保证测试结果的可靠性，而过大的扰动幅度则会使正常生产受到严重干扰，甚至危及生产安全。
②试验开始前，应确保被控对象处于某一选定的稳定工况。试验期间，应设法避免发生偶然性的其他扰动。
③考虑到实际被控对象的非线性，应选取不同负荷，在被控变量的不同设定值下进行多次测试。即使在同一负荷和被控变量的同一设定值下，也要在正向扰动和反向扰动下重复测试，以求全面掌握对象的动态特性。
2．阶跃响应的获取
获取阶跃响应的原理很简单，但在实际工业生产过程中进行这种测试会遇到许多实际问题。例如，不能因测试使正常生产受到严重干扰，还要尽量设法减少其他随机扰动的影响及系统中非线性因素的考虑等。
为了能够施加比较大的扰动幅度而又不至于严重干扰正常生产，可以用矩形脉冲输入代替通常的阶跃输入，即大幅度的阶跃扰动施加一小段时间后立即将它切除。这样得到的矩形脉冲响应当然不同于正规的阶跃响应，但两者之间有密切关系，可以利用矩形脉冲响应求取所需的阶跃响应。
矩形脉冲响应的测试及曲线转换方法如下所述。
首先在对象上加一阶跃扰动，待被控参数继续上升（或下降）到将要超过允许变化范围时，立即去掉扰动，即将调节阀恢复到原来的位置，这就变成了矩形脉冲扰动形式，如图2-19所示。
图2-19 由矩形脉冲响应确定阶跃响应
从图2-19中可看出，矩形脉冲输入u(t)可视为两个阶跃扰动u1(t)和u2(t)的叠加，它们的幅度相等但方向相反且开始作用的时间不同，即
式中，
。
而阶跃扰动u1(t)和u2(t)所产生的阶跃响应分别为y1(t)和y2(t)，且
矩形脉冲响应y(t)就是两个阶跃响应y1(t)与y2(t)之和，即
所需的阶跃响应为
（2-39）
根据式（2-39）可以用逐段递推的作图方法获得阶跃响应y1(t)，见图2-19。
3．由阶跃响应确定传递函数
由阶跃响应曲线确定被控过程的数学模型，首先要根据曲线的形状，选定模型的结构形式。大多数工业过程的动态特性是不振荡的，具有自平衡能力。因此可假定过程特性近似为一阶或二阶惯性加纯迟延的形式。被控对象的传递函数形式的选用决定于对被控对象的先验知识掌握的多少和个人的经验。通常，可将测试的阶跃响应曲线与标准的一阶和二阶响应曲线进行比较，来确定相近曲线对应的传递函数形式作为其数据处理的模型。确定了传递函数的形式后，下一步的问题就是如何确定其中的各个参数，使之能够拟合测试出的阶跃响应。各种不同形式的传递函数中所包含的参数数目不同。一般来说，模型的阶数越高，参数就越多，可以拟合得越完美，但计算工作量也越大。所幸的是，闭环控制尤其是最常用的PID控制并不要求非常准确的被控对象数学模型。因此，在满足精度要求的情况下，尽量使用低阶传递函数来拟合，故简单的工业过程对象一般采用一阶、二阶惯性加纯迟延的传递函数来拟合。下面介绍几种确定一阶、二阶惯性加纯迟延的传递函数参数的方法。
1）一阶惯性加纯迟延传递函数的确定
如果对象阶跃响应是一条如图2-20所示的起始速度较慢，呈S形的单调曲线，就可以用式（2-1）所示的一阶惯性加纯迟延的传递函数去拟合。有以下两种方法。
（1）作图法
①计算增益K。设阶跃输入u(t)的变化幅值为
，如输出y(t)的起始值和稳态值分别为
和
，则增益K可根据下式计算，即
（2-40）
②利用作图确定T和τ。在阶跃响应曲线的拐点p处作一切线，它与时间轴交于A点，与曲线的稳态渐近线交于B点，这样就可以根据A、B两点处的时间值确定参数τ和T，它们的具体数值如图2-20所示。
图2-20 用作图法确定一阶对象参数
显然，这种作图法的拟合程度一般是很差的。首先，与式（2-1）所对应的阶跃响应是一条向后平移了τ时刻的指数曲线，它不可能完美地拟合一条S形曲线。其次，在作图中，切线的画法也有较大的随意性，这直接关系到τ和T的取值。然而，作图法十分简单，而且实践证明它可以成功地应用于PID控制器的参数整定。
（2）计算法
所谓计算法就是利用如图2-20所示阶跃响应y(t)上两个点的数据去计算式（2-1）中的参数T和τ。
①计算增益K。如阶跃输入u(t)的变化幅值为
，则增益K仍根据输入/输出稳态值的变化来计算，即
（2-41）
式中，
和
分别为输出y(t)的起始值和稳态值。
②计算参数T和τ。首先需要把输出y(t)转换成无量纲形式y*(t)，即
（2-42）
系统化为无量纲形式后，与式（2-1）所对应的传递函数可表示为
（2-43）
根据式（2-43）所示传递函数，可得其单位阶跃响应为
（2-44）
式（2-43）中有两个参数τ和T。为了求取它们，必须先选取两个时刻t1和t2(
)，然后从测试结果中读出t1和t2时刻的输出信号y*(t1)和y*(t2)，并根据式（2-44）写出下述联立方程
（2-45）
由式（2-45）可以解出
（2-46）
为了计算方便，一般选取在t1和t2时刻的输出信号分别为y*(tl)=0.39，y*(t2)=0.63，此时由式（2-46）可得
T=2(t2-t1)，τ=2t1-t2
（2-47）
式中，t1和t2可利用图2-21确定。
图2-21 用两点法确定一阶对象参数
利用式（2-47）求取的参数τ和T准确与否，可取另外两个时刻进行校验，即
（2-48）
两点法的特点是单凭两个孤立点的数据进行拟合，而不顾及整个测试曲线的形态。此外，两个特定点的选择也具有某种随意性，因此所得结果的可靠性也是值得怀疑的。
2）二阶或n阶惯性加纯迟延传递函数的确定
如果阶跃响应是一条如图2-20所示的S形单调曲线，且起始段明显有毫无变化的阶段，则它可以用式（2-2）或式（2-3）所示的二阶或n阶惯性加纯迟延的传递函数去拟合。由于它们包含两个或n个一阶惯性环节，因此它们的拟合效果可能更好。
（1）计算二阶传递函数的参数
①计算增益K。如果阶跃输入u(t)的变化幅值为
，则增益K仍根据输入/输出稳态值的变化来计算，即
（2-49）
式中，
和
分别为输出y(t)的起始值和稳态值。
②计算纯迟延时间τ。纯迟延时间τ可根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的阶段开始出现变化的时刻来确定，见图2-22。
③计算时间常数T1和T2。首先把截去纯迟延部分的输出y(t)转换成无量纲形式y*(t)，即
（2-50）
阶跃响应截去纯迟延部分并已化为无量纲形式后，与式（2-2）所对应的传递函数可表示为
（2-51）
根据式（2-51）所示传递函数，可得其单位阶跃响应为
（2-52）
根据式（2-52）就可以利用阶跃响应上两个点的数据[t1，y*(t1)]和[t2，y*(t2)]确定参数T1和T2。
例如，可以取y*(t1)和y*(t2)分别等于0.4和0.8，从曲线上定出t1和t2，如图2-22所示，就可得到下述联立方程
图2-22 用两点法确定二阶对象参数
（2-53）
将从图2-22中所得到的时刻t1和t2代入式（2-53），便可得到时间常数T1和T2。
（2）确定传递函数的形式
当计算出传递函数的参数后，还需要根据时刻t1和t2的比值，进一步确定传递函数的具体形式。也就是说，针对图2-20所示的系统阶跃响应，不一定要用二阶传递函数来拟合；有时利用一阶传递函数来拟合也可达到二阶传递函数拟合的精度，此时就可以采用简单的一阶传递函数来拟合；有时二阶传递函数拟合的精度也不满足要求，此时就需要利用高阶传递函数来拟合。具体过程如下所述。
①当
时，表示系统比较简单，它可用一阶对象来表示，此时相当于式（2-2）中的系统参数T2=0，且T1与t1和t2的关系为
（2-54）
②当
时，系统可用二阶对象来表示，式（2-2）表示的二阶系统参数T1和T2与t1和t2的关系为
（2-55）
③当
时，系统可用二阶对象来表示，式（2-2）表示的二阶系统参数T1=T2，它们与t1和t2的关系为
（2-56）
④当
时，表示系统比较复杂，它要用式（2-3）表示的高阶惯性对象，即
来表示。其中n，T与t1和t2的关系为
（2-57）
式中，参数n需要根据t1/t2的比值来确定，它们的关系见表2-1。
表2-1 高阶惯性对象的参数n与t1/t2的关系
3）确定非自平衡过程的参数
对于图2-23所示的非自平衡过程的阶跃响应曲线，它所对应的传递函数可用式（2-5）或式（2-6）来近似。其方法如下所述。
①用式（2-5）来近似图2-23的响应曲线，即
作响应曲线稳态上升部分过拐点A的切线交时间轴于t1，切线与时间轴夹角为θ，如图2-23（a）所示。
由图2-23（a）可知，曲线稳态上升部分可看作一条过原点的直线向右平移t1距离，即图中曲线稳态部分可看作经过纯迟延t1后的一条积分曲线。
因此式（2-5）中的参数
（2-58）
式中，∆u为阶跃输入信号幅值。
②用式（2-6）来近似图2-23（b）中的响应曲线，即
作响应曲线稳态上升部分过拐点A的切线交于时间轴t2点，切线与时间轴夹角为θ，如图2-23（b）所示。由图2-23（b）可知0～t1时，y(t)=0，故纯迟延
（2-59）
在曲线上，t1到A之间是惯性环节作用为主，故
（2-60）
在曲线进入稳态后，以积分环节作用为主，故
（2-61）
式中，∆u为阶跃输入幅值。
图2-23 非自平衡过程的阶跃响应曲线
2.3.3 测定动态特性的频域法
被控对象的动态特性也可用频率特性
来描述，它与传递函数及微分方程一样，同样表征了系统的运动规律。
一般动态特性测试中，幅频特性较易测得，而相角信息的精确测量则比较困难。这是由于通用的精确相位计要求被测波形失真度小，而在实际测试中，测试对象的输出常混有大量的噪声，有时甚至把有用信号淹没。
由于一般工业控制对象的惯性都比较大，因此要测试对象的频率特性，需要持续很长时间。而测试时，将有较长的时间使生产过程偏离正常运行状态，这在生产现场往往不允许，故用测试频率的方法在线来求对象的动态特性受到一些限制。
1．正弦波方法
频率特性表达式可以通过频率特性测试的方法来得到。其测试方法见图2-24，它是在所研究对象的输入端加入某个频率的正弦波信号，同时记录输入和输出的稳定振荡波形，在所选定的各个频率重复上述测试，便可测得该被控对象的频率特性。
图2-24 正弦波测定对象频率特性原理图
以正弦波输入测定对象的频率特性，在原理、数据处理上都是很简单的。在所研究对象的输入端加以某个频率的正弦波信号，记录输出的稳定振荡波形，就可测得精确的频率特性。当然，应该对所选的各个频率逐个进行试验。
在对象输入端加以所选择的正弦信号，让对象的振荡过程建立起来。当振荡的轴线及幅度和形式都维持稳定后，就可测出输入和输出的振荡幅度及它们的相移。输出振幅与输入振幅的比值就是幅频特性在该频率的数值，而输出振荡的相位与输入振荡的相位之差，就是相应的相频特性之值。
这个试验可以在对象的通频带区域内分成若干等份，对每个分点
进行试验，试验通带范围一般由ω=0到输出振幅减少到ω=0时幅值1/20～1/100的上限频率为止。有时，主要是去确定某个区域内的频率特性，如调节对象在相移为180°的频率
附近一段频率特性，可在此附近做一些较详细的试验，其他频率区域可以粗略做几点，甚至不做。
用正弦波的输入信号测定对象频率特性的优点在于，能直接从记录曲线上求得频率特性，且由于是正弦的输入/输出信号，容易在实验过程中发现干扰的存在和影响。因为干扰会使正弦波信号发生畸变。
使用这种方法进行试验是较费时间的，尤其缓慢的生产过程中被控变量的零点漂移在所难免，这就不能长期进行试验。
该方法的优点是简单、测试方便、具有一定的精度，但它需要用专门的超低频测试设备，测试工作量较大。
2．频率特性的相关测试法
尽管可以采用随机激励信号、瞬态激励信号来迅速测定系统的动态特性，但是为了获得精确的结果，仍然广泛采用稳态正弦激励试验来测定。稳态正弦激励试验是利用线性系统频率保持性，即在单一频率强迫振动时系统的输出也应是单一频率，且把系统的噪声干扰及非线性因素引起输出畸变的谐波分量都看作干扰。因此，测量装置应能滤出与激励频率一致的有用信号，并显示其响应幅值，相对于参考（激励）信号的相角，或者给出同相分量及正交分量，以便画出在该测点上系统响应的奈氏图。一般动态特性测试中，幅频特性较易测量，相角信息的精确测量比较困难。
在实际工作中，测试对象的输出常混有大量的噪声，有时甚至把有用信号淹没。这就要求采取有效的滤波手段，在噪声背景下提取有用信号。滤波装置必须有恒定的放大倍数，不造成相移或只能有恒定的、可以标定的相移。
滤波的方式有多种，其中基于相关原理而构成的滤波器具有明显的优点。简单的滤波方式是采用调谐式的带通滤波器。由于激励信号频率可调，带通滤波中心频率也应是可调的。为了使滤波器有较强的排除噪声的能力，通带应窄。这种调谐式的滤波器在调谐点附近幅值放大倍数有变化，而相角变化尤为剧烈。在实际的测试中，很难使滤波中心频率始终和系统激励频率一致。所以，这种调谐式的带通滤波器很难保证稳定的测幅、测相精度。
基于相关原理而构成的滤波器比调谐式带通滤波器具有明显的优点，激励输入信号经波形变换后可得到幅值恒定的正余弦参考信号。把参考信号与被测信号进行相关处理（即相乘和平均），所得常值（直流）部分保存了被测信号同频分量（基波）的幅值和相角信息。具体测试过程和方法可参看有关资料，这里就不详细讨论了。
3．闭路测定法
上述两种测定法都是在开路状态下输入周期信号x(t)，测定输出y(t)的测定法的缺点是，被控变量y(t)的振荡中线，即零点的漂移不能消除，不能长期进行试验。另外，它要求输入的振幅不能太大，以免增大非线性的影响，降低测定频率特性的精度。
若利用调节器所组成的闭路系统进行测定，就可避免上述缺点。
图2-25所示为闭路测定法原理图。图中信号发生器所产生的专用信号加在这一调节器的给定值处。而记录仪所记录的曲线则是被测对象输入、输出端的曲线。对此曲线进行分析，即可求得对象的频率特性。
图2-25 闭路测定法原理图
闭路测定法的优点有两个。一是精度高，因为已经形成一个闭路系统，大大削弱了对象的零点漂移，因此可以长期进行试验，振幅也可以取得较大。另外，由于闭路工作，若输入加在给定值上的信号是正弦波，各坐标也将作正弦变化，也就减小了开路测定时非线性环节所引起的误差。用这种方法进行测定时，主要用正弦波作为输入信号，所有这一切皆提高了测定精度。二是安全，因为调节器串接在这个系统中，所以即使突然有些干扰，但由于调节器的作用，因此也不会产生过大偏差而发生事故。
此外，这种方法可以对无自平衡特性对象进行频率特性的测定，也可以同时测得调节器的动态特性。此方法的缺点是只能对带有调节器的对象进行试验。