2.2　机理法建模

以上对被控对象的动态特性进行了简要的定性分析。下面将通过机理法建模对几个简单的例子进行具体分析，以便进一步明确一些概念。

2.2.1　单容对象的传递函数

在不同的生产部门中被控对象千差万别，但最终都是可以由微分方程来表示的。微分方程阶次的高低是由被控对象中储能部件的多少决定的。最简单的一种形式，是仅有一个储能部件的单容对象。

1．单容水槽

单容水槽如图2-5所示。不断有水流入槽内，同时也有水不断由槽中流出。水流入量由调节阀开度加以控制，流出量则由用户根据需要通过负载阀开度R来改变。被控变量为水位H，它反映水的流入量与流出量之间的平衡关系。现在分析水位在调节阀开度扰动下的动态特性。

在过程控制中，描述各种对象动态特性最常用的方式是阶跃响应，这意味着在扰动发生前，该对象原处于稳定平衡工况。

对于上述水槽而言，在起始稳定平衡工况下，有，。在流出侧负载阀开度不变的情况下，当进水阀开度发生阶跃变化时，若进水流量和出水流量的变化量分别为，则在任何时刻液位的变化均满足下述物料平衡方程：

式中，F为水槽的横截面积。

当进水阀前后压差不变时，与呈正比关系，即

式中，为决定于阀门特性的系数，可以假定它是常数。

对于流出侧的负载阀，其流量与水槽的水位高度有关，即

式中，为与负载阀开度有关的系数，在开度固定不变的情况下，可视为常数。

式（2-9）是一个非线性微分方程。这个非线性给下一步的分析带来了很大的困难，应该在条件允许的情况下尽量避免。如果水位始终保持在稳态值附近很小的范围内变化，那就可以将式（2-9）加以线性化。

如考虑水位只在稳态值附近的小范围内变化，式（2-9）可以近似认为

则

将式（2-8）和式（2-10）代入式（2-7）中得

或

如果假设系统的稳定平衡工况在原点，即各变量都以自己的零值（）为平衡点，则可去掉式（2-11）中的增量符号，直接写成

根据式（2-12）可得水位变化与阀门开度变化之间的传递函数为

式中，，，。

式（2-13）是最常见的一阶惯性系统，阶跃响应

是指数曲线，如图2-6所示。

以上与电容充电过程相同。实际上，如果把水槽的充水过程与如图2-7所示的RC回路的充电过程加以比较，就会发现两者虽不完全相似，但在物理概念上具有可类比之处。由图2-7可得RC充电回路的传递函数为

根据类比关系，不难由式（2-13）和式（2-15）分别看出，对于水槽而言：

水容

C=F

水阻

在水槽中，水位相当于电压，水流量相当于电流。不同的是，在图2-5中，水阻出现在流出侧，而图2-7中的电阻则出现在流入侧（它只有流入量，没有流出量）。此外，式（2-12）还表明，水槽的时间常数为

这与RC回路的时间常数T=RC没有区别。

凡是只具有一个储蓄容积，同时还有阻力的被控对象（简称单容对象）都具有相似的动态特性，单容水槽只是一个典型的代表。图2-8即属于这一类被控对象。图中还给出了它们的容积和阻力的分布情况。

【例2-1】某实验（见图2-9）采用水位对象为直径200mm的圆柱体，当实测水位为400mm，出水阀全开时，出水阀流量为300L/h（升/小时）。以进水阀流量Qi为对象输入，水位高度H为输出，不考虑流出与水位的非线性。

（1）用机理分析的方法建立对象的数学模型；

（2）在400mm水位处，求出水阀全开时的流阻R；

（3）在400mm水位处，求出水阀全开时对象的时间常数和增益；

（4）当水位降200mm后，以上参数会变化吗？变化趋势是什么？

解：（1）当对象流入、流出不平衡时，流入、流出差会导致水箱储存的水发生变化，即

式中，F为水箱截面积；H为水位。

不考虑流出与液位的非线性关系时，流出量与水位的关系为

式中，H为水位高度；R为流阻。

联立式（2-16）和式（2-17）可得

则

令T=RF，K=R，并对式（2-18）两端进行拉氏变换后，可得如下对象的数学模型

式中，时间常数T=RF；增益K=R。

（2）由（2-17）式可知

根据已知条件（实测当水位为400mm，流出阀全开时，出水阀流出量为300L/h），可得

（3）根据以上结果，可得对象的时间常数和增益分别为

（4）因为水箱为柱体，即截面积与水位无关，如果不考虑流出与液位的非线性，即R也与液位无关，那么对象的流阻、时间常数和增益均不随液位变化。

事实上，如果液位下降了200mm，已经不满足小信号线性化的条件。如果考虑流出与液位的非线性，根据单容水箱建模的过程可知，流经阀门的流量与水箱水位呈开方关系，。由该式可以看出，液位下降，流阻下降，因为时间常数、增益均与R成正比，所以对象时间常数、增益均下降。

2．具有纯迟延的单容储箱

对于如图2-10所示的单容储箱，它与图2-5的不同在于进料调节阀流出的物料，还要再经过一段较长距离l的皮带传送才能到达储箱。因此该调节阀开度变化所引起的流入量变化，需要经过一段传输时间才能对储箱液位产生影响。

参照式（2-11）的推导关系式，可得具有纯迟延的单容储箱的微分方程为

式中，为纯迟延时间；其他参数定义同上。

对应式（2-20）的传递函数为

与式（2-13）相比多了一个纯迟延环节。

在生产过程的自动控制中，除某些特殊的纯迟延对象外，纯迟延大多是由于测量元器件安装位置不当引起的。

3．单容积分水槽

单容积分水槽如图2-11所示，它与图2-5中的单容水槽只有一个区别，即在它的流出侧装有一个排水泵。

在图2-11中，水泵的排水量仍然可以用负载阀来改变，但排水量并不随水位高低而变化。这样，当负载阀开度固定不变时，水槽的流出量也不变，因而在式（2-7）中有ΔQo=0。由此可以得到水位在调节阀开度扰动下的变化规律为

根据上式可得水位变化与阀门开度变化之间的传递函数为

式（2-22）代表一个积分环节，阶跃响应

为一条斜线，如图2-12所示。

2.2.2　多容对象的传递函数

以上讨论的是只有一个储能元件的对象，实际被控过程往往要更加复杂一些，即具有一个以上的储能元件。

1．双容水槽

对于如图2-13所示的双容水槽。水首先进入水槽1，然后通过底部的负载阀开度流入水槽2。水流入量由进入水槽1的调节阀开度加以控制，流出量由用户根据需要通过负载阀开度来改变，被控变量为水槽2的水位。现在分析水槽2的水位在调节阀开度扰动下的动态特性。

根据图2-13可知，水槽1和水槽2的物料平衡方程分别为

水槽1：

水槽2：

假设调节阀均采用线性阀，则有

式中，和分别为水槽1和水槽2的横截面积；和为阀的线性化水阻。

将式（2-26）代入式（2-24）和式（2-25）中，消去中间变量后可得

式中，；；。

对应式（2-27）的传递函数为

由式（2-28）可知，双容水槽为一个二阶系统，其阶跃响应如图2-14所示。由图2-14（b）可知，双容水槽的阶跃响应不是指数函数，而是呈S形，它在起始阶段与单容水槽的阶跃响应有很大差别。对于双容水槽，在调节阀突然开大的瞬间，水位只有一定的变化速度，而其变化量本身为零，因此暂无变化，这时的起始变化速度也为零。

若双容水槽存在纯迟延，则对应的传递函数为

2．无自平衡能力的双容水槽

无自平衡能力的双容水槽如图2-15所示，它与图2-13中的有自平衡能力的双容水槽只有一个区别：在水槽2的流出侧装有一个排水泵。此时水槽1和水槽2的物料平衡方程分别为

水槽1：

水槽2：

假设调节阀均采用线性阀，则有

式中，F1和F2分别为水槽1和水槽2的横截面积；kμ为阀的线性化系数；R1为阀的线性化水阻。

将式（2-32）代入式（2-30）和式（2-31）中，整理后可得

式中，；；为阀的线性化水阻。

对应式（2-33）的传递函数为

式（2-34）对应的阶跃响应如图2-16所示。

3．具有相互作用的双容水槽

如图2-17所示的具有相互作用的双容水槽，两个水槽串联在一起，每个水槽的水位变化都会影响另一个水槽的水位变化。另外，由于它们之间的连通管路具有一定的阻力，因此两者的水位可能是不同的。水首先进入水槽1，然后通过连通管进入水槽2，最后由水槽2流出。水流入量由进入水槽1的调节阀开度加以控制，流出量由用户根据需要通过负载阀开度来改变，被控变量为水槽2的水位。现在分析水槽2的水位在调节阀开度扰动下的动态特性。

根据图2-17可知，水槽1和水槽2的物料平衡方程分别为

水槽1：

水槽2：

假设调节阀均采用线性阀，则有

式中，和分别为水槽1和水槽2的横截面积；为阀的线性化系数；和为阀的线性化水阻。

将式（2-37）代入式（2-35）和式（2-36）中，消去中间变量后可得

式中，；；；。

对应式（2-38）的传递函数为