2.1　突变理论基础

突变理论的观点具有普遍的意义，它转换了人们认识的角度，使我们可以用非连续进化观进入一个迥异于连续进化观的世界，从而成为当今世界上应用极为广泛的现代方法论之一。突变理论是系统论的三大思想体系（耗散结构理论、协同论和突变理论）之一，也是复杂性科学的分支之一。复杂性科学兴起于20世纪80年代，是系统科学发展的新阶段，也是当代科学发展的前沿领域之一。复杂性科学的发展，不仅引发了自然科学界的变革，而且也日益渗透到哲学、人文社会科学领域。

突变理论是一门描述一系列连续性的量变如何演变成跳跃式质变的数学理论[1-3]，它的出发点是分叉理论、奇异性理论以及结构稳定性概念。分叉是指系统中的一个参量跨越某些临界时，系统的长期性态（终态）发生定性的变化；奇异性理论则是一种高深的数学理论；结构稳定性着眼于结构参量变化时，系统的性态是否大体相似。牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）用微积分理论解释了所有自然界中渐变的和连续光滑的现象，而突变理论也试图用数学方程描述非连续的突变现象，研究系统从一种稳定状态突变到另一种稳定状态的现象和规律。初等突变理论主要研究势函数，通过势函数对临界点进行分类研究，得到各临界点附近非连续变化状态的特征，从而归纳出若干初等突变模型。

2.1.1　势函数

在力学中已经知道，对于保守的力学系统，存在势函数U，系统所受的力f与U的关系为

f=-U

(2.1)

符号表示梯度。势函数的物理意义是单位质量的势能。系统的许多力学性质都可以用它表述。势函数的概念也可以推广到广义动力学系统中。事实上，在一般情形下（为简便起见，这里只考虑单个状态变量x的情形），仿照牛顿第二定律有

(2.2a)

(2.2b)

式中：μ为动力学系统特性的参数，称为控制参量。

由式（2.2）容易求得系统在平面（x，y）上的轨迹方程为

(2.3)

对式（2.3）积分得

(2.4)

或

(2.5)

E是由初始条件决定的积分常数。对于力学系统，式（2.5）等号左边第一项是系统的动能，故积分常数E就是系统的总能。所以，在一般的动力系统中，称U为势函数或势能，称E为总能。

对于定态（平衡态）：

(2.6)

定态（平衡态）是势函数取极值的状态，也就是所受到的作用力为零的状态，这就是力学中早已熟知的结论，此外，力学中的平衡态分为以下3种情形：

(2.7)

式（2.7）对一般动力学系统也适用。事实上，U″=0的中性稳定（中性平衡）就是李雅普洛夫（Lyapunov）稳定而不是渐进稳定，也就是临界稳定。

以上各式中势函数还与参数μ有关，因此必须考虑参数μ的影响，即μ的取值不同，U（x，μ）-x曲线可能也不同。在状态变量-参量（x，μ）平面（空间）中，U′>0和U′<0的两个区域被下述曲线（面）所分隔，即

U′(x,μ)=-f(x,μ)=0

(2.8)

此曲线（面）称为定态曲线（面）或平衡曲线（面），又称为奇点集或突变流形。如果U′>0的区域和U′<0的区域分别在定态曲线的上方和下方，则此定态曲线上的定态是稳定的。以上结论虽然只是对只有一个参数的情形分析得到的，但对不止一个参数的情形也同样成立，只是更复杂。由此可见，知道系统的势函数U（x，μ），就可求得其定态（奇点）并推知其稳定性，也可知其分叉性质和突变性质。

2.1.2　初等突变

按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。一般所讲的突变理论，实际上是指初等突变理论。初等突变理论根据某一系统的势函数把它的临界点进行分类，研究各类临界点附近非连续变化状态的特征，通常用表示系统全局性质的势函数V来研究，每一种突变都是由一个势函数决定的，系统的平衡曲面为满足势函数的一阶导数为零的所有点的集合，并且突变的过程可以通过相应的平衡曲面来描述。势函数的变量有两种，一种是控制变量，另一种是状态变量，其一个重要成果就是在控制因子不超过4个时，可以产生7种类型的基本突变，即初等突变。

考虑一个性态通常是光滑的，但有时（或在某处）也呈现出不连续性的系统。可以一般地假定系统在任何时刻的状态都可以完全地由给定的n个变量（x1，x2，…，xn）的值来确定，这里n是有限的，但可以很大。同时可以假定系统受到m个独立变量（u1，u2，…，um）的控制，即这些变量的值决定了xi的值。一般假定m比较小，通常不大于5，这样的处理可以略去那些对所研究的不连续现象影响不大的独立变量。这里将xi称作状态变量或内部变量，将ui称作控制变量或外部变量。状态变量表示系统的行为状态，控制变量为影响系统状态发生改变的几类因素。托姆通过考虑不同参数和变量的作用情况，对系统势函数分类临界点附近的状态变化特征进行研究，指出：当控制变量的个数不超过4个，状态变量的数目不超过2个时，最多有7种突变形式，即7种初等突变（见表2.1），分别为折叠突变、尖点突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐点突变、椭圆脐点突变和抛物脐点突变，并以此为基础探索自然和社会中的突变现象。

表2.1势函数中，x、y为状态变量，u、v、w、t为控制变量。以应用较多的单状态变量突变模型为例，由势函数V出发，可求得平衡曲面奇点集和分叉集B（S在控制空间的投影）。分析不同突变模型的M、S、B，可以得到许多有启发性的认识。

数学科学中的突变理论有以下典型的特征：需要一个临界点，也就是时机，它需要一定的条件；具有不可逆性，即可以以一种形态转变为另一种形态但反过来却不行，也就是具有单向性；以渐进为基础，任何突变都不是随意的，有内在系统规则所约束，系统规则的运行是渐进的；具有不确定性，等等。突变模型具有以下特征：

（1）渐进性。任何突发性现象作为一种客观存在必然是遵循一定的客观规律的，也就是突变现象不是随意的、无条件的，而这种规律就是以前期的渐变或者量变为基础。

（2）突跳性。控制参量有一微小的变化就会引起状态变量巨大的变化，从而导致系统从一个局部极小点突跳到另外一个局部极小的临界点。

（3）临界性。任何突变现象在经过前期的一系列酝酿之后必然要以一定的时机、节点表现出来，也就是要通过具体的形式和对象表现出来。

（4）滞后性。当任何一个物理系统不能严格地逆向重复某种变化过程时，就会出现滞后性。

（5）发散性。对于连续平滑的变化，控制参数微小的扰动仅引起状态变量的微小增量。但在退化点邻域内，参量的微小变化将导致状态变量很大的变化，这种不稳定性称为发散性。

（6）多模态。系统中有可能出现2个或2个以上不同的状态，即系统的位势对于控制参数的某些范围可能有多个极小值。

（7）多径性。平衡曲面中的某一状态，可以通过控制变量变化的不同路径来实现。

（8）不可逆性。突变理论中，突变的方向是单向的，可以由一种形态a向形态b转变，但是反过来是行不通的。

（9）不确定性。突变现象作为一种跳跃性的发展现象，在很大的程度上人们很难进行具体的把握，因为它的变化是不规则的。

（10）不可达性。系统在某些状态变量上不能实现真正意义上的稳定平衡。