2.2　初等突变理论基础

突变理论在社会现象中的一个应用可归纳为某种变量的突变问题，人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的，只有在控制因素达到临界点之前，状态才是可以控制的。一旦发生根本性的质变，它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。通过势函数研究事物状态与控制因素之间的相互关系，以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点和突变的方向与幅度。初等突变的控制变量的个数不超过4个，状态变量的个数不超过2个时，最多有7种突变形式，即7种初等突变函数。一般地说，更复杂的系统一般不适合用初等突变理论解决。本节主要介绍折叠突变、尖点突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐点突变、椭圆脐点突变以及抛物脐点突变7类初等突变的势函数及其平衡稳定分析。

2.2.1　折叠突变

折叠突变模型的势函数由一个状态变量x和一个控制变量u组成，其标准形式为

V(x)=x3+ux

(2.9)

式中：x为系统的状态变量；u为系统的控制变量。

系统的平衡状态满足V′（x）=0，相应的平衡位置为

-3x2-u=0

(2.10)

（1）系统的定态性质。显然，当u<0时，系统有两个平衡位置：

(2.11)

相应得稳定性分析（基于李雅普诺夫稳定性分析）：

(2.12)

对于A点，是稳定的；而对于B点，是不稳定的。势函数分布如图2.1所示，可以直观地看出：稳定的平衡点A位于势函数的极小值处，而不稳定的定态B位于势函数的极大值处，具有明确的物理意义。从突变的角度看，势函数V在u<0时有两个临界点（一个极小值点和一个极大值点），其中一个稳定而另一个不稳定。

（2）系统的分叉特性。当u=0时，定态A和B重合；当u<0时，系统存在A、B两个定常状态；当u>0时，无定常状态，即x（x，u）=（0，0）为一分叉点。如图2.2所示是一个极限点分叉，对于此类分叉，系统一般存在突跳。

（3）临界点性质。临界点（x，u）=（0，0）恰好是势函数中的拐点，是一退化临界点，即

(2.13)

得出x=0。同时，这一临界点满足：

(2.14)

图2.3为u=0时相应的势函数曲线，很明显在x=0处曲线存在一个拐点。

一般地，将由式（2.14）得到的全体临界点在（x，u）平面中的集合称为突变流形（平衡曲面），而由式（2.13）取定的临界点称为奇点（或退化临界点），它们的全体组成奇点集，而奇点集在控制变量（u）线（或面）上的投影称为分叉集，如图2.4所示的分叉图，可以看成是图2.2稳定平衡态和不稳定平衡态沿u轴对称地折叠在一起而形成的，u=0称为突变点，故称为折叠突变。

对于此类折叠突变问题，托姆已经证明，对势函数x3施加扰动，无论控制参数的数目为多少，其稳定性质或突变性质都等价于一个参数的系统[式（2.9）]，即本节所研究的折叠突变具有一定的普适性。

2.2.2　尖点突变

尖点突变模型的势函数由一个状态变量x和两个控制变量u、v组成，其标准形式为

V(x)=x4+ux2+vx

(2.15)

式中：x为系统的状态变量；u、v分别为系统的主、次控制变量。

系统的平衡状态满足V′（x）=0，该方程的几何图形是一个曲面，称为势函数的平衡超曲面M（见图2.5），即

4x3+2ux+v=0

(2.16)

对式（2.15）进行二次求导，得到奇点方程，即奇点集S：

12x2+2u=0

(2.17)

对于突变点，不仅要满足式（2.16），还要满足式（2.17），联立得到突变点应服从的控制参数曲面，即分叉集B：

B=8u3+27v2=0

(2.18)

图2.5的平衡曲面是一个有皱折的曲面，其中水平面分别由u、v组成，而垂直轴由x坐标表示。根据坐标系的规定及式（2.18）的几何意义，式（2.18）是表示在平面和曲面上有垂直切线的点所满足的条件，即临界点，它们的全体组成奇点集S，而S在控制参数（u，v）平面上的投影即为分叉集B，它是一条半立方抛物线，在点O处有一个尖点，因此称为尖点突变。

根据稳定性分析，在平衡曲面上，曲面的顶叶和底叶是稳定的平衡状态。在曲面上，任一相点（x，u，v）的x值总是随着控制参数u、v的连续变化而平稳变化的，仅当控制参数u、v的取值越过曲线8u3+27v2=0时，x的值才发生突变，即相点在曲面的边缘上时，它必定跳跃到另一叶上。相点在曲面上半叶上连续地运动到T点时，将突跳至曲面的下半叶上。

2.2.3　燕尾突变

燕尾突变模型的势函数由一个状态变量x和3个控制变量u、v、w组成，其标准形式为

V(x)=x5+ux3+vx2+wx

(2.19)

式中：x为系统的状态变量；u、v、w为系统的控制变量。

系统的平衡状态满足V′（x）=0，即突变流形（平衡曲面）：

5x4+3ux2+2vx+w

(2.20)

对于突变点，不仅要满足式（2.20），还要满足：

(2.21)

联立式（2.20）和式（2.21）可直接消去x而得到分叉集B的方程，它是三维控制空间C（u，v，w）中的一个曲面。因为我们只关心系统的定性形态，所以要画出B的略图。设Cu是C中u等于常数的平面，而Bu是Cu与B的交线，则Bu是C中的一条曲线，若对所有u值画出该曲线，则能够建立整个B曲面。燕尾突变的分叉集截线如图2.6所示，燕尾突变的分叉集如图2.7所示（图中S代表稳定平衡位置，U代表非稳定平衡位置），具体建立过程从略。

下面确定参数空间中各点对应的平衡位置的总数及其性质。因为分叉集是平衡位置的个数和（或）性质改变的界限，只需要在每个区域中找到一点作为代表即可。

当v=0，u<0时，式（2.20）变为

5x4+3x2+w=0

(2.22)

由此可以解出：

(2.23)

这里有以下3种情况：

（1）w>9u2/20。式（2.22）无实根，V无临界点、无平衡位置，对应于燕翅上部。

（2）0<w<9u2/20。x2有两个不同的正值，从而有4个平衡位置，两个极大值点和两个极小值点。又由

V″(x)=20x3+6ux+2v

(2.24)

可检验出其中两个是稳定的，两个是不稳定的，对应于燕尾内部。

（3）w<0。x2有一个正值，其两个解都是实数，一个是正数，另一个是负数，从而有两个平衡位置，同样可以检验出其中一个是稳定的，另一个是不稳定的，对应于燕翅下部。

这样，在燕尾突变流形的曲面上方不可能有稳定平衡点，曲面下方有一个稳定平衡点，燕尾内部有两个稳定平衡点。各区域中平衡位置的总数和性质表示在图2.7中。

2.2.4　蝴蝶突变

蝴蝶突变模型的势函数为

V(x)=x6+tx4+ux3+vx2+wx

(2.25)

势函数的相空间是五维的，控制空间是四维的，因此不能画出分叉集。最有用的方法是画出曲线Btu的略图，即B被不同的t值和u值的平面所截的截线。事实上，仅对u=0进行讨论就足以说明蝴蝶突变的各种特点。此处给出u=0，t<0时，蝴蝶突变的分叉集截线Btu，如图2.8所示（图中A、B、C代表平衡点）。

考察分叉集所分隔的各个区域中平衡位置的总数和性质。取u=w=0，突变流形M的表达式为

6x5+4tx3+2vx=0

(2.26)

显然，式（2.26）的一个根为x=0，其余4个根可由式（2.27）给出：

(2.27)

如果t>0，则x2只有当v<0时为正实数。因此，在尖点中共有3个平衡点（两个稳定点和一个不稳定点），但其外只有一个稳定平衡点，这些与尖点突变的情况一致。

当t<0时共有以下3种情况：

（1）V≤0，3个平衡位置，其中2个稳定，1个不稳定。

（2）0<V≤t2/3，5个平衡位置，其中3个稳定，2个不稳定。

（3）V>t2/3，1个稳定平衡位置。

根据完全相似于讨论燕尾突变时所用的论据，这些结果是容易确定的。只要注意到越过一个类尖点突变的分叉集时，一般情况下（不在一个特殊点，如自交点处越过它），或增加或减少一对平衡点（一个稳定点和一个不稳定点），不用做任何计算即可处理其余两个区域。这两个区域各与一个有5个临界点的区域和一个只有一个临界点的区域有公共的普通边界，由此可知这两个区域中的每一个都有3个平衡点，其中两个是稳定的，一个是不稳定的。

图2.8中的其他区域中的情况可根据越过分叉集时类尖点突变的平衡位置减少或增加一对的原则得出，有关结果已在图2.8中示出。

图2.9中给出了u=0，t<0时蝴蝶突变的突变流形，它比尖点突变的突变流形复杂一些，但当t>0时它们是相同的。

2.2.5　双曲脐点突变

双曲脐点突变模型的势函数为

V=x3+y3+wxy-ux-vy

(2.28)

故有一个五维相空间和一个三维控制空间。此处改变了u和v的符号以使计算较为简洁。

突变流形M的表达形式为

3x2+wy-u=0

(2.29a)

3y2+wx-v=0

(2.29b)

而分叉集B是突变流形M的一个子集，对它还有

(2.30)

即

36xy-w2=0

(2.31)

成立。

此处给出分叉集截线Bw的略图（见图2.10）和分叉集B的全图（见图2.11）。

分叉集把控制空间（u，v，w）分成4个区域。通过考虑落在线u=v，w=1上的各点，可以考察其中的3个区域。把这些代入式（2.29）有

3x2+y=3y2+x

(2.32)

即

(2.33)

于是

(2.34)

如果x=y，则式（2.29a）给出：

3x2+x-u=0

(2.35)

它只有当u>-1/12时有两个实根。如果x+y=1/3，则式（2.29a）给出：

(2.36)

它只有当x>1/4时有两个实根。既然u=v=-1/12在B1的光滑部分，而u=v=1/4是它的尖点，可以看到在区域I内存在4个临界点，其中有2个为鞍点，其余2个分别为稳定和不稳定平衡位置。

在区域Ⅱ中取u=v=0，w=1，代入式（2.29）可以得

(2.37)

消去x后得

y+27y4=0

(2.38)

它有两个解，第一个解为y=0，从而x=0，又可以计算出Δ=-1<0，这是一个鞍点。第二个解为y=-1/3，从而x=-1/3，Δ=3>0，又有∂2V/∂x2=-2，这是不稳定的平衡点。

在区域Ⅲ中取w=0，u、v为任何正值均无解。

类似地，在区域Ⅳ中取u=v=0，w=-1，得到一个稳定平衡位置。这样，与椭圆脐点突变模型的势函数一样，双曲脐点突变模型的势函数也最多只能有一个稳定平衡点。各区域中平衡位置的分布情况已在图2.11中示出。

2.2.6　椭圆脐点突变

椭圆脐点突变模型的势函数由两个状态变量x、y和3个控制变量u、v、w组成，其标准形式为

(2.39)

式中：x、y为系统的状态变量；u、v、w为系统的控制变量。

这里重新定义了变量的尺度，以便在第一项中引入因子1/3，可以使计算更简洁，而定性结果不受影响。此处相空间是五维的，但控制空间仍为三维，故能够将其画出。

突变流形M是三维超曲面，其表达式为

(2.40)

分叉集B除需满足式（2.40）外，还需满足：

(2.41)

即

Δ=4(w2-x2-y2)=0

(2.42)

采用与燕尾突变分析相同的思想，即不通过从各方程中消去x和y直接找到B的方程，而考虑w等于常数的平面，从而画出Bw的略图，若对所有w值画出该曲线，则能够建立整个B曲面。椭圆脐点突变的分叉集截线如图2.12所示，椭圆脐点突变的分叉集如图2.13所示，具体建立过程从略。

下面在3个区域中确定势函数V的形式。对位于尖点锥体内的两个区域，可通过在w轴上选取样本点的方法来简化计算。考虑参数空间中各点对应的平衡位置的总数及性质，取u=v=0，即w轴，突变流形M的表达式变为

(2.43)

式（2.43）共有4组解：

(2.44)

计算相应的判别式：

Δ=4(w2-x2-y2)

(2.45)

判别式对第一组解和第二组解为零，从而这两个解是鞍点。但对第二组解（0，0），Δ=4w2>0，可以求出∂2v/∂x2=w，从而当w>0时为极小（稳定），w<0时为极大（稳定）。故在一个锥体中有三个鞍点和一个极小值点，而在另一个锥体中有三个鞍点和一个极大值点。

最后，在其余区域中考虑特殊点，在分叉集外部取一点（u，v，w）=（0，2，0），在这一点，突变流形M的表达式为

(2.46)

式（2.46）有两组解：

(2.47)

在每一种情况下都有Δ=-8，故在这个区域中的每一点，都有两个临界点，它们都是鞍点。这样，在3个区域中只有一个区域可能有不同于空状态的任何状态。

2.2.7　抛物脐点突变

抛物脐点突变模型的势函数为

V=y4+x2y+wx2+ty2-ux-vy

(2.48)

突变流形M的表达式为

(2.49)

分叉集B除了要满足上面的方程外，还要满足：

(2.50)

即

(y+w)(6y2+t)=x2

(2.51)

下面给出抛物脐点突变的分叉集截线Bw，其中包含所有维数小于4的突变：尖点突变、燕尾突变、椭圆脐点突变和双曲脐点突变。此外还有两种截然不同的图形，即“唇”和“鸟嘴至鸟嘴”，但这些并非是遗漏的新型突变形式，它们出现的原因是：在三维情况下，得到一整条尖点线，如果用一个平面把它们截开，那么根据尖点线弯曲的不同方式就可以得到这两种附加的形状。

最后，给出7种初等突变的相互包含关系，如图2.14所示，其中箭尾指被包含物，箭头对准包容物，如燕尾突变被包含在蝴蝶突变中，等等。

2.2.8　突变理论的评价方法

突变理论的评价方法是基于突变理论的多准则评价方法，它是在突变理论的基础之上发展起来的一种综合评价方法，该方法汲取了现有的层次分析法、效应函数法和模糊评价法的优点，通过对分叉集的归一化处理，得到一种突变隶属度函数，在使用这种方法时无需确定评价指标的权重，只需分清各评价指标的主次关系即可。

常见的几种分叉集分解式如下：

尖点突变：

a=-6x2,b=8x3

(2.52)

燕尾突变：

a=-6x2,b=8x3,c=-3x4

(2.53)

蝴蝶突变：

a=-10x2,b=20x3,c=-15x4,d=4x5

(2.54)

突变多准则评价方法的步骤一般包括：评价指标的确定、突变模型的选取、归一化运算和综合评价。

（1）评价指标的确定。评价指标确定合理与否，将直接影响整个模型评价结果的优劣。在选取评价指标时一般都要遵循科学性原则、系统性原则、相对独立性原则和可操作性原则等。由于在突变理论中控制变量的数目一般不超过4个，故在评价体系中对于某些层的分支中的评价指标多于4个时，我们要对其进行进一步的筛选，选取对整个评价模型影响比较大的指标。这样就能建立符合突变理论的综合评价体系。

（2）突变模型的选取。在评价体系中，根据每一层分支的控制变量的数量和状态变量的数量进行突变模型的选取，如经常使用的尖点突变、燕尾突变和蝴蝶突变。

（3）归一化运算。关于突变模型的归一化问题，可由突变模型（系统）的势函数和分叉集方程导出各常用初等突变模型的归一公式，推导过程如下。

以尖点突变为例，分解形式的分叉集方程为

a=-6x2，b=8x3

(2.55)

可进一步改写为

(2.56)

如果令x=1，则有a=-6和b=8，这样就确定了在评价决策时状态变量x和控制变量a、b的取值范围。其绝对值分别是：x为0～1，a为0～6，b为0～8。但这样的x、a、b取值不统一。为了实际运算方便，并且便于利用其他评价方法（如效用函数方法、多维模糊隶属函数方法等）的已有资料，常将状态变量和控制变量的取值范围均限制在0～1内。为此，只要把a缩小6倍，b缩小8倍即可（缩小相对范围的方法不影响突变模型的性质，详见文献[3]）。

同样处理，可得到：

燕尾突变：

(2.57)

蝴蝶突变：

(2.58)

以上是利用突变理论进行综合评价时较常用的3种突变模型的归一公式。归一公式是利用突变理论进行综合评价的基本运算公式，它将系统内部各控制变量不同的质态归化为可比较的同一种质态，从而对系统进行量化递归运算，求出表征系统状态特征的系统总突变隶属函数值，作为综合评价（方案优选）的依据。常用突变模型系统示意图如图2.15所示，根据突变模型内在的矛盾对立统一关系，各控制变量对状态变量的影响有主次之分，一般将主要控制变量写在前面，次要控制变量写在后面。

突变模型中各控制变量对状态变量的作用是由模型本身确定的，不像一般模糊隶属度函数那样，由使用者主观给出权重。另外，根据突变模型内在的矛盾对立统一关系，各控制变量对状态变量的影响有主次之分。

上述常用的3种模型的控制变量的作用和主次地位如下：

尖点突变：a（剖分因子）、b（正则因子）。

燕尾突变：a（剖分因子）、b（正则因子）和c（燕尾因子）。

蝴蝶突变：c（剖分因子）、d（正则因子）、a（蝴蝶因子）和b（偏畸因子）。

上述公式中，x为状态变量，a、b、c、d为控制变量，其重要性逐渐降低。经过归一化处理，状态变量和控制变量的取值范围均在0～1之间，称其为突变模糊隶属度函数，这是突变多准则评价方法的核心。0～1之间的数可取为概率、效用函数、模糊隶属度函数等。虽然突变模糊隶属度函数与一般模糊隶属度函数类似，但在应用上则有很大不同。突变模型中各控制变量对状态变量的作用是由模型本身确定的，不像一般隶属度函数那样，由使用者主观给出权重。在评价体系中，由于各指标数值单位和数量级数不一致，因此无法进行比较。因此，在进行归一化运算之前，我们应该首先对各控制变量进行无量纲化处理，将原始数据转化为0～1之间的数值。其转化公式有两种：一种是用于指标越大越好，即（xi-xmin）/（xmax-xmin）；另一种是用于指标越小越好，即（xmax-xi）/（xmax-xmin）。

（4）综合评价。在评价体系中，由于评价指标众多，我们可以将各种因素划分为多层次的树状指标体系。通过对底层控制指标的无量纲化处理，得到可以进行比较的0～1范围内的数值，然后利用归一化运算得出底层指标的突变模糊隶属度函数，再利用底层结果逐一对其上层突变模糊隶属度函数进行计算，无需赋值。经过一系列的运算，最终可以得到目标的评价结果。

（5）评价原则。利用突变理论进行综合分析与评价时，视实际问题的性质不同，可采用以下3种不同准则：

1）非互补准则。一个系统的诸控制变量之间，其作用不可互相替代，即不可相互弥补其不足时，按“大中取小”原则取值，即x=min{xa，xb，xc，xd}。

2）互补准则。诸控制变量之间可相互弥补其不足时，按其均值取值，如对蝴蝶突变模型，取x=（xa+xb+xc+xd）/4。

3）过阈互补准则。诸控制变量必须达到某一阈值（限值）后才能互补。

从理论上可以证明，只有遵循上述原则，才能满足突变理论中分叉集方程的要求。另外，为避免非互补准则可能丢弃主导因素，从而影响到上层指标，使得评价结果失去应有的公正性和科学合理性，最终不利于决策方案的优选，可以采取以下两种方法进行处理：

1）舍弃次要的且影响小的方案，选择公正合理的控制变量。

2）限制各控制变量评分的相对高低，淡化次要控制变量，突出起主导作用的控制变量。