三、一维稳态温场

用直拉法、区熔法、焰熔法以及坩埚下降法等方法从熔体中生长晶体时，如果温场中所有的等温面（包括固液界面）恒为平面，则这些系统中的温场可视为一维温场。

在直拉法生长过程中，如果我们不考虑引晶、放肩和收尾过程，从坩埚中拉制一等径的柱状晶体，并将坩埚中的熔体全部拉完。这样的生长系统可等效于一维液柱的结晶，只需令液柱的直径等于直拉法拉制的晶体的直径、液柱体积等于开始时坩埚中熔体的体积、等效系统中固液界面推移速率等于直拉系统中的提拉速率与液面下降速率之和，并忽略固相与液相的密度差异。在这种情况下，如图1-7所示的液柱结晶就与上述一维生长系统完全等效。值得注意的是，并不限于直拉法，凡可看作一维生长系统的，如某些情况下的焰熔法、坩埚下降法等，都可用图1-7表示。

图1-7　一维生长系统的等效图

如图1-7所示，固液界面以恒速v自左向右移动，若取实验室坐标系，则晶体中某固定点的温度将连续地下降，因而晶体中的温场是与时间有关的，同理，熔体中的温场也不是稳态温场。但在实验室坐标系中除固液界面在运动外，晶体与熔体都是静止的（假设熔体中没有对流）。于是，由式（1-27），可得静止的晶体与熔体中的温度与时间有关的一维热传导方程为

式中坐标z′代表实验室坐标系，κS，κL分别为固相与液相中的热扩散系数，TS，TL分别为固相与液相中的温度。

若选取运动坐标系z，将坐标原点固定于固液界面上，坐标轴指向熔体内部。则在运动坐标系中在晶体或熔体内的任一点，其温度是恒定不变的，因而在新的坐标系中晶体、熔体中的温场是稳态温场。两个坐标系间的关系为z′=z+vt，对式（1-30）进行坐标变换，即得运动坐标系z中的一维热传导方程

上述一维热传导方程的边值条件为：在固液界面上（z＝0），有

TS=TL=T0

以及在界面处两相中的温度梯度分别为GS，GL，于是满足一维热传导方程（1-31）及其边值条件的解为

式（1-32）就是在运动坐标系中一维稳态温场的解析表示式。根据该式，我们可以方便地求得晶体、熔体中任一点的温度、温度梯度。由于比较简单，我们就不再仔细讨论。

在处理某些实际问题时，我们只关心固液界面附近的温场，因而，在我们感兴趣的区域中有zv≪κL，κL典型的量级为10-5cm2·s-1，而κS和κL为同一量级，因而在该区域内有zv≪κS≈κL，故式（1-32）可近似地表示为

这表明，如果只考虑固液界面邻近的温场，可以认为温度是线性分布的。因而我们在第二节中考虑固液界面处的能量守恒时，将GS和GL看作常数是允许的。在固液界面处两相中的温度梯度GS和GL的相对大小，可由界面处能量守恒方程（1-11）式确定，由该式可知，界面处两相中的温度梯度的相对大小，不仅与物质性质L，ρS，kS，kL有关，而且还与工艺参量——拉速v有关。