第四节　晶体中的温场

通过上节中关于一维温场的分析，我们厘清了如何运用理论来分析单晶炉中的实际温场。虽然一维近似与生长过程中的实际情况相差较远，例如，在生长实践中，我们虽能保持固液界面为一平面，却不能使晶体、熔体中的等温面都保持平面。必须指出，运用理论方法处理复杂的实际问题时，主要关键不完全在于理论模型的近似程度，而在于是否抓住了问题的实质。例如在分析组分过冷现象（第五章）时，虽采用了一维近似，却建立了为人们所普遍接受的组分过冷理论。然而，研究晶体中产生位错和引起开裂的热弹应力时，一维近似就不再适用了。我们必须更加精确地描述温场，下面我们对晶体中的温场（temperature field within crystals）进行较为细致的分析。

研究晶体中的温场所采用的数学模型如图1-8所示[2]。晶体的半径为ra，长度为l。假设晶体为各向同性材料，其密度ρ、比热容c、热传导系数k皆为常数，同时假设晶体中的温场为稳态温场。选用圆柱坐标，坐标原点固定在固液界面上的O点（见图1-8）。由式（1-25）可得稳态温场中晶体内的热传导方程为

在圆柱坐标下的标量式为

近似地认为直拉法单晶炉中的温场具有圆柱对称性，其对称轴是晶体的旋转轴z，故T只是r，z的函数而与φ无关，故有

结合边值条件求解二阶偏微分方程就能得到晶体中温场的表达式。

下面我们给出所需满足的边值条件。

在固液界面上，温度恒为凝固点Tm，故有

在晶体的籽晶端，z=l处，如图1-8所示。假设没有籽晶，也没有放肩部分，且为一平面，暗示我们忽略了籽晶杆的水冷效应。这样，晶体的顶面（z=l）和晶体的侧面（r=ra）都是与环境气氛相接触的，环境气氛的温度为T0。为了得到顶面（z=l）和侧面（r=ra）的边值条件，我们类似于第二节中的处理，于界面处作一闭合曲面，此闭合面内只包含单位面积的界面。由于界面处无热源，故；又由于是稳态温场，故；根据能量守恒方程（1-2）式，有，即净流入此闭合曲面的热量为零，或者说，流入此闭合曲面中的热量必等于流出的热量。

对顶面，取闭合曲面为上、下底平行于顶面的圆柱面，此闭合柱面中包含有单位面积的顶面，令圆柱之高度趋于零。则沿轴流入此闭合柱面的热流密度为；流出此闭合柱面的热流密度就是单位时间内单位面积的顶面上通过对流和辐射耗散于环境气氛中的热量，分别为

其中β为对流的热损耗系数，B为与晶体表面性质、环境气体性质有关的常数，σ为斯特藩-玻尔兹曼常数（Stefan-Boltzmann constant），于是在晶体顶面处的边值条件为

同样可得晶体侧面处的边值条件

于是求解满足边值条件式（1-36）、（1-37）、（1-38）的热传导方程（1-35）的解，就能得到晶体中的温场。然而边值条件（1-37）、（1-38）式是非线性的，欲得到满足非线性边值条件的二阶偏微分程的解，在数学上是有困难的。因此必须采取适当的近似使之线性化。

令θ（r，z）=T（r，z）-T0，引入相对温度函数θ（r，z）代替T（r，z），仍不失其普遍性。于是热传导方程为

固液界面处边值条件为

下面我们将非线性边值条件（1-37）、（1-38）式线性化。对边值条件（1-37）式进行函数代换得

整理后得

令εc=βθ0.25和，并近似地将它们看作常数，于是得线性化后的边值条件

同样，将晶体侧面的边值条件（1-38）式线性化，得

其中ε称热交换系数，是对流热交换系数εc与辐射热交换系数εr之和。

满足边值条件（1-40）、（1-41）、（1-42）的微分方程（1-39）的近似解为

晶体中温度梯度矢量沿轴向和径向的分量为

或

或

以及

式（1-43）就是布赖斯所获得的晶体中温场的解析表达式[2]。式中的，即晶体与环境的热交换系数ε与晶体本身的热传导系数k之比值。

我们首先根据温场的解析表达式（1-43）讨论晶体中的温度分布。由式（1-43）可知，相对温度θ与φ无关，只要r和z相同，温度θ就一样，亦即在晶体内同一水平面上（即z为常数）以r为半径的圆周上（即r为常数）的任意点的温度都相同，这表明z轴是温场的对称轴。通常h≪1cm-1，ra的量级为1～2cm，故不管h的正负，分母。由（1-43）式可知，当z为常数时，有θ≈（常数）·（1-hr2/2ra）。当h为正值时，即环境气氛冷却晶体，晶体中的温度θ随r增大而降低（在同一水平面上），即晶体中的等温面凹向熔体，如图1-2所示。但是晶体生长时在某些条件下，晶体中的热量不能通过晶体表面耗散到环境中去，反而周围的热量流向晶体，此时h＜0，由θ≈（常数）·（1-hr2/2ra）可知，晶体中在同一水平面上的温度，随r增加而升高，故此时等温面凸向熔体。如r为常数，由（1-43）式可知，θ≈（常数）·exp［-（常数）·z］，则晶体中的温度随z增加而按指数律减小。

下面我们讨论温度梯度的轴向分量和径向分量关于r和z的变化。由式（1-44-a）、（1-45-a）可知，晶体中温度梯度的轴向和径向分量都随z的增加而按指数律减少。当z为常数时，考虑同一水平面上的和关于r的变化。由（1-44-a）式，有≈（常数）·（1-hr2/2ra），故当h＞0时，在同一水平面上，随r增加而减少；h＜0时，随r增加而增加。由式（1-45-a）得≈-（常数）·r，即在同一水平面上，随r线性地变化。同样由式（1-44-b）、（1-45-b）可知，在同一等温面上，轴向温度梯度恒为常数，径向温度梯度不仅是r的函数而且与h有关，因而等温面的分布主要决定于。

上述关于晶体中温场的分析是布赖斯所获得的结果[2]。将上述结果与实验对比，可发现关于温场的表达式（1-43）基本上是正确的。

在h较小的情况下，式（1-44-a）、（1-46）预言，以及与晶体的ra无关。布赖斯[2]的实验测量表明，用直拉法拉制锗晶体时（h=1.5×10-2cm-1），上述预言是正确的。结果如表1-1和表1-2所示。

由式（1-44-b）可得

式（1-47）预言，轴向温度梯度与温度T的关系是线性的。斯科特（Scott）[1]用直拉法生长了ZnWO4，ZnWO4+1.9克分子%Co以及ZnWO4+2.9克分子%Co的三种晶体，用实验测定了晶体中的温度分布，其结果如图1-9所示。结果表明，轴向温度梯度与温度的关系，确实正如理论所预言的是线性的。曲线还表明，在近于固液界面处出现了为常数的区域，关于这个问题，我们将在第五节中讨论。

上述关于温场的理论分析结果，已被用来解释晶体的开裂[8]、晶体中热应力的形成和位错的分布[9]。