二、能量守恒的微分形式

式（1-2）所表示的能量守恒方程，实质上是能量守恒的积分形式。我们由该式出发给出能量守恒的微分形式。

炉膛中包括熔体、晶体以及晶体周围的气氛，这是一非均匀系统。相界面两侧介质的物理性质不同，因而相界面为其间断面。为方便计，我们回避了间断面，分别考虑熔体、晶体以及气氛中的温场，这样所考虑的就是均匀系统，而相界面的性质可作为边值条件处理。只要我们分别求出晶体、熔体以及气氛中的温场，我们仍然能得到炉膛内全部空间中的温度分布。因而我们在考虑热量传输和能量守恒时，为方便起见所取的闭合曲面也应取于均匀介质中。

流体（包括熔体和气氛）中热量传输与晶体中热量传输的基本差异是，流体中存在宏观流动，因而流体中的热传输机制除了微观的热扩散（即传导）外，还有宏观的对流机制。而晶体中的热量传输只有热扩散机制。若流体中的速度场恒为零，即流体是静止的，则流体中的热传输机制与晶体中完全相同（这里我们忽略了晶体中热传导的各向异性）。因而晶体中的热量传输可视为流体中传输的特例。故我们下面导出能量守恒微分方程时就基于流体中热量传输的分析。

在流体中任取一闭合曲面，则此闭合曲面内单位时间内产生的热量、单位时间内净流入的热量以及由于温度上升单位时间内吸收的热量必然满足能量守恒方程式（1-2）。

若流体中无热源，则

单位时间内净流入闭合曲面中的热量来自两方面，一是来自热传导，其热流密度矢量如式（1-1）所示，二是来自对流，其热流密度矢量可表示为

式中cp为定压比热容，v是流体的速度矢量。于是单位时间内净流入闭合曲面的热量，就等于热流密度矢量和矢量和的面通量，即有

式中dS是闭合曲面的面元矢量，规定其方向向外为正。由于按式（1-2）所规定的热流密度矢量与上述规定的面元矢量的方向相反，故在式（1-23）中出现了负号。

单位时间内闭合曲面内由于温度变化而吸收或放出的热量可表示为

将式（1-21）、（1-23）以及（1-24）代入能量守恒方程（1-2）中，于是有

应用高斯定理将面积分化为体积分，故有

若流体的热传导系数k、密度ρ、定压比热容cp为常数，且流体不可压缩，有▽·v=0，最后可得

其中

一般说来，式（1-25）是二阶非线性偏微分方程，这就是能量守恒方程（1-2）的微分形式（differential form of conservation of energy），又称热传输方程。式中左边第一项是温度对时间的变率；第二项是来自对流引起的热传输，通常这是非线性项；该式的右边项是来自传导的热传输。而κ的定义如式（1-26）所示，称为热扩散系数。

式（1-25）是热传输方程的矢量式，而在不同坐标中的标量式可表示为

直角坐标：

圆柱坐标：

球坐标：

一般情况下，在导出能量守恒的微分方程时，还必须考虑由于流体遭到压缩和黏滞损耗在单位时间单位体积内引起的内能变化，这类较为一般的热传输方程，其矢量式及在直角坐标和曲坐标中的标量式可在文献[7]或本书第三章的附录中查到。

由于晶体中的热传输可视为流体中热传输的特例，故只需在式（1-25）中令v≡0，则可得晶体中的热传导方程。