会翻转的赌局

之前的骰子确实组成了非传递的三枚组合：以7/12的概率战胜，以7/12的概率战胜，而以25/36的概率战胜。这里还没什么新东西。然而，它产生的一些现象如此不可思议，我也是在自己写了个程序验证之后才接受的。如果每次对局每个骰子不是只掷一次而是分别掷两次，然后将两次结果加起来的话，那么一切就都反过来了：会以765/1296 =0.5902...的概率战胜，打败的概率也是765/1296 =0.5902...，打败的概率则是671/1296 =0.5177...。这种闻所未闻的性质再次表明，我们有关概率的直觉并不准确。这启发了另一种“占朋友便宜”的方法，即使像盖茨那样聪明，对非传递性骰子略有所闻，也一样有效。

你可以一开始向他展示这些骰子，他会仔细端详，发现这是个非传递性链条。于是，如果你肯先选骰子的话，那么他就会愿意打赌。你接受提议，先随意选一枚骰子。（最好是或者，这样可以避免那个0.5177...的概率。）他会选择在非传递性链条中可以打败你的那枚骰子。

然后你向他提议赌注加倍，前提是要掷两次骰子，并比较得到的数字之和（跟之前一样玩25盘）。他会和所有人一样，觉得掷两次只会提高优势，于是就答应了。但事实上，现在占据优势的是你，而你会赢得这场赌局（准确概率是82.10%）。真不科学！

为什么非传递性链条会逆转过来呢？要理解为什么逆转会出现，我们来看最简单的两枚骰子：和。

只掷一次的话，会赢，因为4能赢3，而在36种情况中，这会出现25次。如果计算两个面的和，还有的情况的话，那么：

：6+3=9，共10种情况；3+3=6，共25种情况；6+6=12，共1种情况。

：1+1=2，共1种情况；4+4=8，共25种情况；1+4=5，共10种情况。

如果和分别掷两次的话，那么一共有1296=36×36种可能的情况。只有在掷出一共8点的时候，骰子才有机会赢。在这种情况下，只有掷两次一共得到6，才真正胜利。于是，在掷两次的比赛中，骰子在36×36=1296种情况中，只有25×25=625种情况会获得胜利。这还占不到所有情况的一半，所以掷两次的话会输给。逆转是有可能的，这已经出现在我们眼前了！

我们试试用几句话来解释这一点。只掷一次的时候，骰子能胜过，但总而言之它赢得不多，只是用4点打败3点。于是，当我们考虑骰子两个面的和（2、8或者5）时，它们比起骰子两个面的和（9、6或者12）可逊色不少，这也是为什么在比赛掷两次时，骰子会落败。

如果每枚骰子不是掷两次，而是掷三次的话，那么能赢，能赢，而也能赢。这回骰子占尽上风，也不存在非传递性链条了，选的人总会有优势。这很奇怪，因为如果我们直接拿三枚骰子同时比赛的话（同时投掷三枚骰子），那么得到的胜率之比是51∶90∶75，最厉害的是！