最大胜率

四枚骰子能达到2/3的胜率，三枚骰子能达到7/12的胜率（不需要加上从1到18的数字全部各用一次的限制），有没有可能做得更好？如果我们能使用更多的骰子，每枚骰子可以超过六个面，那么我们所知的最大可能优势又是什么呢？

奇怪的是，所有这些一般性问题的答案早已出现在扎尔曼·乌西斯金于1964年发表的一篇文章中，而那时埃弗龙的骰子还没有扬名天下。这篇文章的框架更为广泛，但也包括了多枚骰子的游戏。对于三枚骰子来说，最大胜率只能达到黄金分割常数的倒数。对于四枚骰子来说，可能的最大胜率是2/3 = 0.6666...（埃弗龙的骰子达到了这个胜率）。对于五枚骰子来说，胜率不超过0.692，这是方程的解。

乌西斯金解释了如何对超过五枚的骰子进行计算，并证明了当非传递性链条中骰子数目增加时，每枚骰子相比下一枚的优势可以任意接近3/4，但永远达不到这个数值。

在1994年，理查德·萨维奇证明了一个关于三枚非传递性骰子的漂亮结论，其中也牵涉到了黄金分割。萨维奇研究的是有个面的骰子，限定了每个面的数字都在1和之间，而且每个数字都恰好用到一次，就像骰子A'、B'和C'那样。萨维奇计算了一枚骰子能战胜下一枚的最低胜率，然后想办法让这个最小值取到最大的可能值，这样的话，当玩家提出类似巴菲特和盖茨之间的那个用三枚骰子进行的赌局时，就能获得最大的收益。萨维奇证明了，如果取用拥有很多个面的骰子的话，那么我们可以任意接近这个极限，其中是黄金分割常数，而乌西斯金证明了这个极限是不可逾越的（同时要满足从1到每个数都恰好用一次的限制）。于是，我们能继续提升六面骰子的最优值，不断接近，想要多近就有多近，前提是要用一组超过六面的骰子。

还有个值得一提的一般性结论。马克·芬克尔斯坦和爱德华·索普曾经研究了所谓的“可接受”骰子。如果一枚面的骰子，每个面上的数字都在1和之间（同一个数字可以多次出现，也不要求所有数字都出现），而且所有面上的数字之和跟面上写有的标准面骰子相同（也就是），那么它就是可接受的。芬克尔斯坦和索普的美妙定理断言，如果大于3，那么对于任意可接受面骰子，只要不同于标准面骰子，都存在能打败它的另一枚可接受面骰子；另外，标准面骰子与任意一枚可接受面骰子都不分胜负。这个定理的推论之一，就是对于所有的情况，都存在由可接受面骰子组成的非传递性链条。

对于（也就是正四面体骰子），除了标准骰子[1, 2, 3, 4]以外，只存在四种可接受骰子：、、、。它们对战的结果是：

在这个极端情况下，只存在两条非传递性链条：第一条的长度是4，由、、、组成；另一条的长度是3，由、、组成。

我们可能会以为，那8组A'、B'、C'的三枚骰子，或者由三枚或四枚可接受四面体骰子组成的非传递性链条，就已经是这种矛盾美感的顶点了。没这回事，蒂姆·罗伊特在2002年给出了一组三枚骰子、、，让之前的悖论更迷离。我们将会看到，这组骰子除了组成了非传递性链条以外，对于打赌还有个出人意料的有趣性质，恐怕连盖茨都料不到。

4．可接受骰子

等概率的五面骰子不存在，但取1枚等概率的十面骰子（比如将两个底为正五边形的锥体底靠底粘在一起），然后每个面上的数字都成对出现的话，就相当于1枚等概率的五面骰子。有12种可接受五面骰子。根据定义，可接受骰子所有面的数字之和应该跟标准五面骰子一样，也就是1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，而且每个面都只用到从1到5的整数。对于可接受骰子，六个面的有32种，七个面的有94种，而八个面的有289种。

下面的表格列出了所有12枚可接受五面骰子，用五角星表示：

这个表格在第行和第列的交点给出了对的取胜概率。我们能观察到几件有趣的事情：一、标准骰子（也就是骰子）跟所有其他可接受骰子都打成平手；二、每枚可接受骰子都会被另一枚打败；三、存在许多非传递性链条，比如或者。

马克·芬克尔斯坦和爱德华·索普在2006年对面可接受骰子进行的一般性研究表明，性质一、二和三对于所有的情况都成立，所以作为推论，对于所有，都存在由面骰子组成的非传递性链条。

5．西歇尔曼的骰子

乔治·西歇尔曼是一位美国上校，他提出了一个奇怪的问题：“是否存在两枚骰子，它们跟通常用的骰子（面上刻有数字1、2、3、4、5和6）不同，但一起掷出的话，跟通常的骰子得到的数字和一样，而且概率也相同？”它得到2的概率应该是1/36，3的概率是2/36，4的概率是3/36，5的概率是4/36，6的概率是5/36，7的概率是6/36，8的概率是5/36，9的概率是4/36，10的概率是3/36，11的概率是2/36，而12的概率是1/36。

出人意料的是，西歇尔曼找到了这样的两枚骰子：[1, 2, 2, 3, 3, 4]和[1, 3, 4, 5, 6, 8]。用旁边的表格，我们可以验证所有36种数字和跟通常用的骰子完全一致。西歇尔曼的解答对于六面骰子来说是唯一的，但也有人推广了西歇尔曼骰子。