1.2　极限

在中国、古希腊、古巴比伦和古埃及的早期数学文献中都有极限的思想方法，古希腊的阿基米德（约前287-前212年）用边数越来越多的正多边形的面积去逼近圆的面积.我国古代著名数学家刘徽（出生于3世纪20年代后期），采用了逼近原理去求圆的面积，简称“割圆术”.他的具体作法是：作圆的内接正六边形，正十二边形，正二十四边形，正四十八边形，…，即作圆的内接正6×2n-1边形（n=1，2，3，…，其中n为正整数）；其对应面积记为An，得到一个无穷数列A1，A2，…，An，…；他的极限思想是：n越大，圆的内接正n边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆面积的近似值也就越精确.但是这只能得到圆面积的近似值，如何才能得到精确值呢？本节的函数极限知识提供了这类问题的求解方法.

1.2.1　数列的极限

按照自然数顺序排列起来的一列数

x1，x2，x3，…，xn，…

称为无穷数列，简称数列，记为{xn}或{f（n）}，n=1，2，…，数列中的每一个数称为数列的项，xn或f（n）称为数列的通项或一般项.

【例1】　观察下列数列{xn}，n=1，2，…，当n无限增大时的变化趋势.

解　（1）如图1.2.1所示，数列的项数n无限增大时，数列的项越来越趋近常数0；

（2）如图1.2.2所示，数列的项数n无限增大时，数列{n}的项也无限增大，所以数列{n}并不趋近于一个常数；

（3）如图1.2.3所示，数列的项数n无限增大时，数列的项越来越趋近常数1；

（4）如图1.2.4所示，数列的项数n无限增大时，数列的项在0与1两数之间摆动，所以当n无限增大时，数列的项并不趋近于一个常数.

由例1知道，随着数列项数n无限增大，一类数列无限趋于一个常数，另一类数列没有这个特性.

定义1　对于数列{f（n）}，当项数n无限增大时，如果数列f（n）无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为数列{f（n）}当n无限增大时的极限，记作或f（n）→A（n→∞）.

如果数列{f（n）}有极限A，也可以称该数列{f（n）}是收敛于A的收敛数列；如果数列{f（n）}没有极限，则称该数列是发散数列.

由例1可知，均不存在.因此，数列收敛于1，数列收敛于0，而数列{n}和均是发散数列.

思考：判断数列{f（n）}有极限的方法是什么？

数列是定义在自然数集上的特殊函数，因此按照数列极限的思想方法，可以将数列极限的概念推广到一般函数的极限.

1.2.2　函数的极限

判断数列极限的思想方法是：①让自变量n无限增大，即n→∞；②考察数列f（n）在n→∞时的变化趋势；③作判断：若数列f（n）无限趋近于某一个确定的常数A，则A就是数列f（n）当n→∞的极限，否则称数列f（n）没有极限.

把数列极限概念中的f（n）及自变量n→∞的特殊性撇开，将数列f（n）换成函数f（x），将n→∞换成x→a（a可以为定点x0或∞），套用求数列极限的思想方法，就可以得到函数极限的概念.

1.当x→∞时，函数f（x）的极限

“x→∞”表示自变量x的绝对值x无限增大，它是自变量x的某种变化趋势，它包含自变量x无限增大（记作“x→+∞”）和自变量x无限减小（记作“x→-∞”）两种情况.

定义2　当x→∞时，如果函数f（x）无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x时的极限，记作

有时需要知道当x→+∞或x→-∞时函数f（x）的变化趋势.

定义3　当自变量x→+∞时，如果函数f（x）无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→+∞时的极限，记作

定义4　当自变量x→-∞时，如果函数f（x）无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→-∞时的极限，记作

根据定义2、定义3、定义4，容易得到：

定理1　的充要条件是.

【例2】　求下列极限：

解　（1）从图1.2.5观察：无论当x→+∞，还是当x→-∞，发现曲线都与x轴越来越接近，即，，所以，当x→∞时，函数f（x）的值无限趋近于一个常数0，即.

（2）从图1.1.18可以看出，当x→+∞时，曲线y=arctan x无限趋于，即，而当x→-∞时，曲线y=arctan x无限趋于，即，由于，所以，由定理1知，极限arctan x不存在.

2.当x→x0时，函数f（x）的极限

“x→x0”表示自变量x无限趋近于x0（不考虑x在x0点的情况），它包含两种趋近方式：

（1）x从x0的右侧无限趋近于x0，记作，此时有x>x0；

（2）x从x0的左侧无限趋近于x0，记作，此时有x<x0.

定义5　设函数y=f（x）在点x0的去心δ邻域，δ>0内有定义，当自变量x→x0时，如果函数f（x）无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记作

定义6　当时，如果函数f（x）无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→x0时的右极限，记作

定义7　当时，如果函数f（x）无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数f（x）当x→x0时的左极限，记作

左极限、右极限统称为单侧极限.

根据定义5、定义6、定义7，容易得到极限与单侧极限的关系.

定理2　的充要条件是.

根据定义5，容易得到下面结论：

从以上七种极限定义可以看出，它们是同一种模板的定义格式，都是函数f（x）在自变量x的某个变化趋势下，无限地趋于某个固定常数A，所不同的是自变量x的变化趋势不同.

【例3】　求下列极限：

解　（1）如图1.2.6所示，当x无限趋近于1时，函数f（x）=x+1无限趋近于2，所以有；

（2）从图1.2.7可以看出，函数虽然在x=1没有定义，但x无论从1的右侧还是左侧无限趋近于1，对应的函数的值都无限趋近于2，所以有.

思考：（1） 是否存在与f（x0）是否存在有关系吗？

（2）如何分析分段函数在分界点是否有极限？

【例4】　（1），试判断是否存在.

解　（1）因为，由定理2知不存在.

（2）因为，由定理2知

1.2.3　函数极限的性质

以下性质中，自变量的变化趋势x→a可以换成自变量x的七种变化趋势的某一种.

性质1（函数极限的唯一性）　若，则极限值A唯一.

性质2（函数极限的局部有界性）　若，则在x→a时，f（x）有界，即：

若，则存在δ>0，使在点x0的邻域（x0-δ，x0+δ）内，f（x）有界；若，则存在M>0，使在|x>M|时，f（x）有界.

性质3（函数极限的局部保号性）　若且A>0（或A<0），则在x→a时，有f（x）>0（或f（x）<0）.

性质4（函数极限与数列极限的关系）　若，则对任何子序列xn→a（n→∞），有.特例：若.