3.1　导数的概念

导数是微分学中的核心概念，本节先介绍两个例子作为导数概念的引入，随后介绍导数的物理意义与几何意义，最后研究可导与连续的关系.

3.1.1　引例

1.直线运动的速度

设一质点在t=0时从原点出发沿着数轴作直线运动.如果已知质点在任意时刻t（t∈（0，T））的位移（displacement）为s=f（t），求质点的瞬时速度（instantaneousveloci-ty）v（t0），（t0∈（0，T））（见图3-1）.

在t0时刻给出时间t的增量Δt，求出对应的位移增量Δs，即Δs=f（t0+Δt）-f（t0），由此得到质点在由t0到t0+Δt这一时间区间内的平均速度（averagevelocity）为，当t0固定时，平均速度与Δt有关；但对于较小的Δt，平均速度是瞬时速度v（t0）的近似值，并且Δt越小，准确度越高.因此，令Δt→0，取极限，得

若令t=t0+Δt，则

例如，已知自由落体的运动方程为，t∈[0，T]，求落体在时刻t0（0<t0<T）的速度.因为

所以

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激光测速仪的原理　激光测距通过对被测物体发射激光光束（一类安全激光），并接收该激光光束的反射波，记录该时间差，来确定被测物体与测试点的距离.激光测速是对被测物体进行两次有特定时间间隔的激光测距，取得在该一时段内被测物体的移动距离，从而得到该被测物体的移动速度.由于该激光光束基本为射线，测速距离相对于雷达测速有效距离远，可测1000m外；测速精度高，误差<10-15m；激光测速器一般只能在静止状态下应用.

2.曲线切线的斜率

如图3-2所示，设曲线C为函数y=f（x）的图形，设M（x0，f（x0））是曲线上一个点，在曲线C上于点M外另取一点N（x，f（x）），于是割线MN的斜率为

其中φ为割线MN的倾角，当点N沿曲线C趋于点M时，即x→x0时，如果上式的极限存在，即

存在，则此极限k就是切线的斜率（slope），这里k=tanα，其中α为切线MT的倾角.

3.1.2　导数的定义

从上面讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下极限

这里x-x0=Δx，f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=Δy，因x→x0相当于Δx→0，故上式可写成

在自然科学和工程技术领域内，许多量如电流强度、角速度、线密度等，都可以归结为一种特定形式的极限，这就是数学中的导数.

定义1　设函数y=f（x）在点x0及其某邻域内有定义，如果极限

存在，则称函数f（x）在x0点可导（differentiable），称此极限值为f（x）在点x0的导数（derivative），记为f'（x0），或 等.如果极限 不存在，就说函数在点x0处不可导.

如果极限存在，则称此极限值为f（x）在x0的左导数（derivative on the left），记为；如果极限存在，则称此极限值为f（x）在x0的右导数（derivative on the right），记为记作，即

根据极限存在的充分必要条件可知，函数在点x0处可导的充分必要条件是：在点x0处，函数的左、右导数都存在且相等，即

如果函数f（x）在区间（a，b）内每一点都是可导的，则称f（x）在（a，b）内可导；此外，如果在点a处f（x）的右导数存在，而且在点b处f（x）的左导数存在，则称f（x）在[a，b]上可导.

定义2　若函数f（x）在某个区间可导，则对于这个区间内的每一点x，都有导数值f'（x）与之对应，于是f'（x）就是x的函数，称之为f（x）的导函数（derivative function），也简称为导数，即

显然，函数f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x=x0处的函数值，即

根据导数的定义可以推出表3-1的导数公式.

3.1.3　导数的意义

在实际问题的研究中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述，它反映了因变量随自变量变化而变化的快慢程度.

1.导数的物理意义

在物理学中，导数应用最为广泛，描述变化快慢的量就是导数，如：

加速度是速度增量与时间增量之比的极限，反映速度变化的快慢；

角速度是转角增量与时间增量之比的极限，反映角度变化的快慢；

线密度是质量增量与长度增量之比的极限，反映细长物体质量关于长度的变化程度；

电流强度是电量增量与时间增量之比的极限，反映电量的变化快慢.

2.导数的几何意义

例1　研究函数y=x2，y=x-2与y=log2x在x=1附近函数图形的特点，如图3-3所示.y=x2在x=1的，该函数所对应的曲线在点（1，1）处切线的斜率为+2，反映该函数在x=1处因变量的增长率为2；y=x-2在x=1的，该函数所对应的曲线在点（1，1）处切线的斜率为-2，反映该函数在x=1处因变量的减少率为2；y=log2x在x=1的，该函数所对应的曲线在点（1，0）处切线的斜率为，反映该函数在x=1处因变量的增长率为.

一般地，函数y=f（x）在点x0处的导数f'（x0）是曲线y=f（x）上的点在M（x0，f（x0））处的切线的斜率.因此曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处切线方程为

y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）；

导数f'（x0）不等于零时，法线方程为

导数f'（x0）等于零时，法线方程为

x=x0.

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两曲线的夹角　根据两相交直线的夹角，很自然将两相交曲线之间的夹角定义为过其交点的两曲线切线之间的夹角.如果这个夹角为90°也称这两曲线正交.在视状断面上可以看出人眼角膜和虹膜在其根部形成一个夹角，称之为房角，房角大小与眼疾病特别是青光眼密切相关.

3.1.4　函数的可导性与连续性的关系

函数的极限、连续和导数都是微积分中的重要概念，也是对函数具有的某些性质的描述，这几个概念之间是有联系的，首先，极限是基础，函数的连续、导数都是用极限来表述的.根据导数的定义我们可以得到：

定理　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则函数y=f（x）在点x0处连续.

证明　当Δx≠0时，

因为y=f（x）在点x0处可导，所以

所以，函数y=f（x）在点x0处连续.

事实上，如果函数在点x0处可导，则当自变量的增量Δx→0时，对应的函数值增量Δy是无穷小量；若导数不为零，在此过程中将两个无穷小量Δy与Δx比较可以得到，此二者是同阶的无穷小.函数在点x0处连续告诉我们Δx→0时Δy是无穷小量，函数的可导告诉我们Δy与Δx是同阶的无穷小.需要指出，此定理的逆命题不成立，即函数y=f（x）在点x0处连续，但函数y=f（x）在点x0处不一定可导.即函数y=f（x）在点x0处连续是它在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.

例2　讨论函数y=|x|在x=0的连续性和可导性.

解　从图3-4可以看出y=|x|在x=0处连续，但y=|x|在x=0处不可导.因为当自变量x在x=0处有增量Δx时，相应地，函数y=|x|有增量

故极限不存在，所以，函数y=|x|在x=0处不可导.