2.3　函数的连续性

2.3.1　连续函数的概念

自然界中，许多变量的变化是连续的.例如空气密度随海拔高度而变化，重力加速度随位置而变化；人体的体温、生物的生长、血液的流速随时间的变化而变化，它们都有一个共同点，即当自变量的变化很小时，因变量的变化也很小.由此抽象出来的数学概念，就是函数的连续性（continuity）.

例1　肿瘤的体积是生长时间的函数，体积的生长速度很快，但在短短的一小段时间里，肿瘤的体积的变化是微小的.图2-11是皮下瘤和原位瘤体积生长曲线.

定义1　当变量u从u1变到u2时，称差值u2-u1为变量u的增量（increment），记作Δu.即Δu=u2-u1.

当u2>u1时，Δu为正；当u2<u1时，Δu为负.

设函数y=f（x）在点x0及其某邻域内有定义，当自变量x在点x0处有一个增量Δx，即从x0变到x=x0+Δx时，因变量的增量Δy是Δx的函数

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f（x）-f（x0）.

定义2　若当Δx→0时，Δy是无穷小，即则称函数y=f（x）在点x0处是连续的（continuous）.

由于条件等价于条件，于是连续函数的另一种定义为：

定义3　若，则称函数y=f（x）在点x0处是连续的.

由此可见，函数的连续性是用函数的极限定义的，因而对应于单侧极限可以定义单侧连续性：若f（x）在点x0处的左（右）极限存在且，则称f（x）在点x0处左（右）连续.容易验证：函数f（x）在点x0处连续的充分必要条件是，f（x）在点x0处既是左连续又是右连续.

若函数f（x）在开区间（a，b）内每一点处都是连续的，则称f（x）在（a，b）内连续；此外，若f（x）在点a处右连续并在点b处左连续，则称f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数.

从几何上看，在一个区间上连续的函数的图形是一条连续曲线.例如图2-1，图2-2和图2-6都是一条连续的曲线，它们对应的函数是连续函数.

例2　证明指数函数y=x2在（-∞，+∞）上的连续.

证明　任取x0∈（-∞，+∞），对于自变量的增量Δx，相应的有

因此，y=x2在（-∞，+∞）上连续.

例3　证明指数函数y=ax（a>0）是（-∞，∞）上的连续函数.

证明　任取x0∈（-∞，∞），给出自变量的增量Δx，相应的因变量的增量为

所以指数函数y=ax是（-∞，∞）上的连续函数.

类似地可以证明，常数函数y=C和基本三角函数sinx、cosx、tanx及cotx在各自的定义域内都是连续函数.

2.3.2　函数的间断点

函数f（x）的不连续点称为间断点（discontinuous point）.

若x0是函数f（x）的间断点，那么必是下列三种情况之一：

（1）f（x）在点x0无定义.

（2）f（x）在点x0有定义，但不存在.

（3）f（x）在点x0有定义且存在，但.

根据函数在间断点处左右极限的情况，通常将间断点分为两大类：

（1）若x0是f（x）的一个间断点，但左右极限都存在，称x0为第一类间断点.其中，若左右极限相等，称x0为可去间断点；若左右极限和不相等，称x0为跳跃间断点.

（2）当至少有一个不存在时，称x0为第二类间断点.

例4　指出下列函数的间断点，并说明间断点的类型.

解　（1）=3≠f（1）=1，点x=1是函数的第一类间断点中的可去间断点.

（2），点0是函数的第一类间断点中的跳跃间断点.

（3）.在点0处函数的左极限存在且等于函数值，而右极限不存在.f（x）在点0处左连续，点0是f（x）的第二类间断点.

数学家名言

音乐能激发或抚慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学能使人获得智慧，科技可以改善物质生活，而数学却能提供以上的一切.

——克莱因（C.F.M.Kline，1849-1925）

2.3.3　连续函数的运算

根据函数极限的四则运算法则和连续函数的定义，容易得到连续函数的四则运算法则

定理1　设函数f（x）和g（x）在点x0处是连续的，则函数f（x）±g（x），f（x）·g（x）和在点x0处都是连续的.

定理2　设函数y=f（u），u=φ（x）构成复合函数y=f（φ（x）），若u=φ（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u=u0=φ（x0）处连续，则复合函数y=f（φ（x））在x=x0处连续.

由此可以得出结论：初等函数在其定义区间内都是连续的.

解　（1）是一个初等函数，它在其定义域为（-∞，+∞）上连续，所以

（2）y=f（u）=lnu，，当0<|x-0|<1时，复合函数有定义，且

由第二个重要极限得

因为f（u）=lnu在（0，+∞）上连续，所以

当0<|x-0|<1时， 由2.2.4中的定理2得

2.3.4　闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数有下述基本性质：

定理3　（最大值和最小值定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在该闭区间上取到最大值（maximum）和最小值（minimum）.

定理4　（介值定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b），则对介于f（a）和f（b）之间的任何值c，在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=c.

推论（零点定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）和f（b）异号，则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0.

例6　证明方程x5-3x-1=0至少有一个根位于（-1，0）内，至少有一个根位于区间（1，2）内.

证明　取f（x）=x5-3x-1，函数f（x）在[-1，0]和[1，2]上连续，且：

f（-1）=1>0，f（0）=-1<0；

f（1）=-3<0，f（2）=25>0.

由介值定理，f（x）在区间（-1，0）和（1，2）内至少各有一个零点.即方程x5-3x-1=0至少有一个根位于区间（-1，0）内，至少有一个根位于区间（1，2）内.