6.3　二叉树参数确定

前面我们已经推导出，在二叉树定价模型中，期权的价值可以表示成标的资产起始价格（S）、执行价（K）、无风险利率（r）、期权期限（T）和上涨下跌幅度（u和d）的表达式。S、K、r和T的值都容易确定，问题是u和d如何确定。

简单来说，我们选择的u和d要保证二叉树的波动率与标的资产（此处以股票为例）的波动率吻合，且二叉树的价格预期等于标的资产的价格预期。我们定义波动率为σ，使得 为股票价格在一个长度为Δt的短时间段上收益的标准差，p^?为现实世界中的上涨概率，μ为现实世界中的回报预期值。

以一步二叉树为例进行说明：

二叉树价格预期等于现实世界标的资产价格预期可以表示为：

股票价格变动的预期为：

p^?×（u-1）+（1-p^?）（d-1）

股票价格变动的方差就是：

p^?（M-1）²+（1-p^?）（d-1）²-[p^?（M-1）+（1-p^?）（d-1）]²

为了使股票价格波动率与二叉树波动率一致，有：

由式C和式D，将一些高级项删去后，可以得到u和d的解，如下：

其中，a=e^μΔt。

同样，在风险中性世界中，由于预期回报率为无风险利率，所以：

由此，我们可以得到二叉树模型下期权价格确定需要的参数的值。

大白话：为了得到期权的理论价，在之前得到的代数表达式中，还需要确定标的资产上涨下跌的幅度。根据二叉树波动率与标的资产波动率吻合，且二叉树的价格预期等于标的资产的价格预期两个原则，可以把标的资产上涨下跌幅度表达为波动率和时间的代数表达式。由此，期权的理论价可以表达为无风险利率、期权期限、波动率、标的资产起始价格和执行价的表达式了。

于是，万事俱备，可以计算期权的理论价了。