6.2 二叉树定价原理概述
二叉树模型就是在假设标的资产价格具有上述可能变动路径的基础上，对期权进行定价。在推导模型前，有两个假设：第一，市场上没有套利的机会；第二，假设投资者风险中性。
大白话：在整个二叉树推导过程中，记住两点：（1）天上不会掉馅饼，即市场上白捡钱的机会已经被别人捡光了；（2）假设随着投资风险的增加，投资者并不要求额外的投资回报率（只是假设，可证明在对期权定价时投资者对风险的态度并不重要）。
本节，我们先以无股息的股票期权为例，用无套利定价方法进行说明。
6.2.1 一步二叉树的无套利定价
先从最简单的一步二叉树入手吧。
（1）实例说明
举个例子：我们假设一只股票的当前价格为30元，并且我们知道在3个月以后这只股票价格会变成33元或者27元。现在我们希望找出3个月后能以31元买入股票的看涨期权价格。首先我们可以很轻松得知在3个月后该期权有以下两个可能价格：如果股票价格变为33元，期权价格将为Max（33-31，0）=2元；如果股票价格变为27元，期权价格将为Max（27-31，0）=0元。具体情形如图6-2所示，该图即为简单的一步二叉树模型。
图6-2 股票价格的数值化实例
随后，我们先构造一个股票和期权的组合，并让这个组合在3个月后的价值没有不确定性，也就是说，让这个组合没有任何风险。因为这个组合没有任何风险，所以该组合的收益率一定等于无风险利率。所以我们只要得到构造这一交易组合的成本，就能通过减去股票成本得知期权的价格了。
我们现在考虑一个由Δ单位的股票多头和一份看涨期权空头组成的交易组合。我们将求出让交易组合成为无风险的Δ。当股票价格从30元变成33元时，所持股票的价值变成33Δ，期权价值变为2元，交易组合的整体价值为33Δ-2；当股票价格从30元变成27元时，所持股票的价值变成27Δ，期权价值变为0元，交易组合的整体价值为27Δ。正如之前所提到的，如果交易组合在以上两个条件下价值相等，那么该组合不存在任何风险。
所以，33Δ-2=27Δ?Δ=1/3。因此，无风险交易组合为：多头：1/3单位股票；空头：1份期权。3个月后该交易组合的价格为33×1/3-2=9元。
我们假设无风险利率为每年10%，那么该交易组合现值等于3个月后的9元钱在当前时刻的贴现值，即9 e-0.1×3∕12=8.78元。
如果将期权的价格记为f，交易组合在今天的价值等于30×0.33-f=10-f=8.78，可得f=1.22元。
以上例子说明，在无套利前提下，期权的当前价格为1.22元。
（2）一步二叉树的一般化推导
接下来我们用公式来推导上述一步二叉树的一般结论。我们假设某股票的初始价格为S0，股票期权的现值为f0，期权的期限为T。在T时间后，也就是期权到期时股票价格变化存在两种可能：股票价格可能从S0上涨到S0u（u>1），涨幅为u-1，期权价值变为fu；也可能从S0下跌到S0d（d<1），跌幅为1-d，期权价值变为fd，如图6-3所示。
图6-3 股票价格与期权价格
我们再通过Δ单位的股票多头和一份看涨期权空头组成一份无风险交易组合。无风险交易组合意味着T时间后两种情况下的交易组合价值相等，即：
由于该交易组合无风险，因此其收益率等于无风险收益率。设无风险收益率为r，该交易组合现值等于T时间后的价值以无风险收益率r贴现到现在，等于：
（S0uΔ-fu）e-rT
同时，交易组合的现值又等于当前股票价值与期权价值之差，即：
S0Δ-f0
因此，
S0Δ-f0=（S0μΔ-fμ）e-rT
f0=S0Δ（1-μ e-rT）+fue-rT
将前式得出的Δ公式代入上述公式进行化简，得到：
最终我们得到公式A：
其中：
大白话：先构造一个期权和股票的组合，在一定的比例下，一定可以保证这个组合在无论上涨还是下跌的情况下未来的价值都是一样的。为了满足市场上没有白捡钱的机会的假设，未来的价值按无风险利率贴现到现在的价值就等于当前持有股票和期权的成本。由此可以得到，期权的价值可以表示成无风险利率、期权期限、上涨下跌幅度、标的资产起始价格和执行价的表达式。
而且，我们可以惊奇地发现，在这个表达式里，期权的价值居然与股票上涨或下跌的概率无关！可以简单理解成，股票涨跌概率因素已经包含在股票价格变化之中，所以在定价的时候不用考虑了。
6.2.2 两步二叉树（欧式期权）
接下来延伸到对欧式期权的两步二叉树定价。投资者可能都会有一个根深蒂固的概念，欧式期权用BS公式定价，美式期权用二叉树定价。其实二叉树的极限就是BS公式哦！欧式期权因为有显性表达式，所以更多的是利用BS公式去定价。当然啦，二叉树也可以为欧式期权定价，就是耗时更多一些。
（1）实例说明
举个例子：假设某股票价格每3个月涨10%或跌10%，股票的现价为30元。我们想要知道以该股票为标的物，执行价为31元，到期时间为6个月的看涨期权的价格。假设无风险利率为10%。这时我们就可以利用两步二叉树方法来计算期权价格。如图6-4所示，当期股票价格在上，当期期权价格在下。
图6-4 两步二叉树的股票价格及期权价格
这时候，我们就需要从后往前分步计算期权价值，直到当前时刻为止。6个月后股票可能出现三种情形：D阶段：股票价格为36.3元，期权价值为5.3元；E阶段：股票价格为29.7元，期权价值为0元；F阶段：股票价格为24.3元，期权价值为0元。我们再通过D阶段与F阶段计算B阶段期权价值，计算方法就是先前介绍的一步二叉树方法。将数据代入公式A中即可得出结果。需要注意的是，这里每一步的T为3个月，两步合起来才为6个月。我们得到在B阶段期权价格3.24元。再同理计算C阶段与A阶段价格。最后得到C阶段期权价值为0元，A阶段期权价值为1.98元。
（2）二步二叉树的一般化推导
设股票初始价格为S0，每个阶段股票可能涨到原先价格的u倍，也可能跌到原先价格的d倍。每个阶段的时间间隔为Δt，无风险利率为r。各个阶段股票价格与期权价格符号如图6-5所示。
图6-5 一般两步二叉树的股票价格与期权价格
同样根据一步二叉树的原理。由于步长为Δt，公式A变为：
重复上式的应用，我们得到：
fu=e-rΔt[p fuu+（1-p）fud]
fd=e-rΔt[p fud+（1-p）fdd]
f=e-rΔt[ p f+（1-p）f]
ud
再将上述式子合并化简，我们得到了两步二叉树公式B：
类似地，二叉树模型还可以分出更多步数，并根据类似方法进行推导。
大白话：对于欧式期权而言，当二叉树的步数增加后，可以根据类似一步二叉树的原理，从后往前，看作多个一步二叉树来得到期权的理论价格。同样，期权的价值可以表示成无风险利率、期权期限、上涨下跌幅度、标的资产起始价格和执行价的表达式。
6.2.3 两步二叉树（美式期权）
与欧式期权唯一不同的是，美式期权的持有者可以提前行权。所以在对美式期权定价时，需要考虑在某个节点上提前行权是否为最优选择。在树的最后节点上，美式期权的价格等于欧式期权的价格，之前的任何一个节点上美式期权的价格等于以下数量的较大值：
? 由一步二叉树公式A所计算得到的值
? 提前行使期权的收益
举个例子：我们考虑一个两年期执行价为52元的美式看跌期权，股票的当前价格为50元。我们假定股票价格服从步长为1年的两步二叉树。在二叉树的每一步上，股票价格或者按比例上涨20%，或者按比例下跌20%，假设无风险利率为5%。
如图6-6所示，和欧式期权定价一样，美式定价从后往前推导。D、E、F三个为期末价格。我们利用D与E计算B，利用一步二叉树公式计算得到结果为1.41元，此时若行权，相应收益为-8，因此不应当提前行权。在计算C阶段过程中，利用一步二叉树公式计算得到结果为9.46元。若此时行权，相应收益为12元，因此应当提前行权。从而期权的相应价格变为12元。计算A时同上。
图6-6 利用两步二叉树来对美式看跌期权定价
大白话：对于美式期权而言，根据与欧式期权同样的原理从后往前推导每个时刻的期权价格，唯一的不同是，如果在某个时刻提前行权更加划算，则提前行权。毕竟，怎么赚钱怎么来！由于有了更多的选择权，相等条件下，美式期权的价格不低于欧式期权的价格。
6.2.4 多步二叉树（美式期权）
在现实中，标的资产的价格变化非常频繁。为了得到更加精确的价格，我们可以将二叉树扩展到更多的步数。
图6-7所示为一个四步二叉树的示意图，在时刻iΔt，价格有i+1种可能，可以表示成：
图6-7 四步二叉树示意图
S0ujdi-j，j=0，1，…，i
多步二叉树的定价原理与二步二叉树一样，但是对于美式期权，在每一步都需要比较提前行权是否有利。
我们假设把一个美式期权的期限分成N个长度为Δt的时间区间。我们称在时间iΔt的第j个节点为（i，j）节点，其中0≤i≤N，0≤j≤i。简言之，i代表经过了多少个Δt的时间，确定了节点在树中所在列；j确定了节点在树中所在行。在第i列中，最底下的节点j值为0，最顶上的节点j值为i，每一列j值有i+1个。令fi，j为期权在（i，j）节点上的值，标的资产在（i，j）节点上的价格为S0ujdi-j。
在i≠N和不提前行使期权的前提下，（i，j）节点期权的价格可以由（i+1，j）节点和（i+1，j+1）节点的期权价格推出，p是标的物价格上涨的概率，即：
fi，j=e-rΔt[p fi+1，j+1+（1-p）fi+1，j]
其中，美式看涨期权和美式看跌期权每一步的期权价格需要通过如下表达式比较得到：
看涨美式期权：
fi，j=Max{S0ujdi-j-K，e-rΔt[p fi+1，j+1+（1-p）fi+1，j]}
看跌美式期权：
fi，j=Max{K-S0ujdi-j，e-rΔt[p fi+1，j+1+（1-p）fi+1，j]}
式中：K表示期权执行价；S0表示股票在T=0时价格；f表示期权价格；p表示标的物上涨概率。