三、简答题

1某消费者说：“如果我能以我借款的利率进行贷款，我就会借给别人钱；如果我能以贷款收到的利率进行借款，我就会借钱。但事实上，虽然我也会消费，但我从来不进行借贷。”若她的借款利率与贷款利率不同，试用图形表示她的话与给定凸偏好下理性选择相一致的情形，并解释。

答：该消费者的预算约束与无差异曲线如图10-5所示。最高效用水平为无差异曲线与预算集相切的禀赋点A，表示消费者的最优选择是以各期收入为其消费水平（既不贷款，也不借款）。同时，无差异曲线穿过贷款和借款预算线的延长线，表示如果允许消费者以贷款利率进行借款或者以借款利率放贷的话，她都会改变目前行为而进行借款或者放贷。也就是说，当消费者的借款利率与贷款利率相等时，消费者会改变她的最优选择，变成借款者或贷款者。

图10-5　借贷利率不同时的最优选择

2某消费者的效用函数为u（c₁，c₂）＝c₁^1/2＋2c₂^1/2，其中c₁、c₂分别是她在时期1与时期2的消费量。她在每个时期都可以赚得100单位的消费品，并可以按10%的利率进行借贷。

（1）写出该消费者的预算方程。

（2）若该消费者不进行借贷，则她对现在与未来消费品的边际替代率是多少？

（3）若该消费者进行最佳数量的借款或者储蓄，则她在时期2的消费对时期1的消费的比率是多少？

解：（1）跨期消费的预算方程为：c₁＋c₂/（1＋r）＝m₁＋m₂/（1＋r）。代入数据可得：

c₁＋c₂/（1＋10%）＝100＋100/（1＋10%）

整理可得：1.1c₁＋c₂＝210。

（2）因该消费者不进行借贷，故每个时期的消费正好等于收入，即c₁＝100，c₂＝100。

此时，边际替代率为：

因此若她不进行借贷，则她对现在与未来消费品的边际替代率是1/2。

（3）构造拉格朗日函数为：L＝c₁^1/2＋2c₂^1/2－λ（1.1c₁＋c₂－210）。

效用最大化的一阶条件为：∂L/∂c₁＝c₁^－1/2/2－1.1λ＝0；∂L/∂c₂＝c₂^－1/2－λ＝0。

两式相除可得：c₂＝4.84c₁。因此她在时期2的消费是时期1消费的4.84倍。

3某消费者养鸡今年的收入为100元，明年的收入为100元，他可以按20%的利率放贷。由于对养鸡者进行借款补贴，他可以按10%的利率借款。无论他借款还是贷款，每年收入都是100元。

（1）若他不能同时进行借贷，请画出他对今年与明年消费的预算，在预算集与横轴和纵轴的截距处标出数字。

（2）假设该消费者可以按10%的利率借到明年收入的现值，也可以进行放贷，画出该消费者的预算约束。

解：（1）消费者不能同时借贷，因此他的预算在（100，100）处出现拐点，纵轴截距为220，横轴截距为100＋100/1.1≈190.9。如图10-6所示。

图10-6　消费者的预算约束

（2）他的预算约束是一条斜率为－1.2的直线，通过前一条预算线的横轴截距。消费者今年借到明年收入的现值，那么今年消费最大为100＋100/1.1≈190.9。可以将该点作为新的禀赋点，然后让消费者进行放贷。消费者可以以20%贷出今年的收入。如图10-6所示。

4张先生有一个小型农场，他每周工作80小时，可以种甘蔗也可以养猪。每花一个钟头种甘蔗可以得到2元的收入，今年每花一个钟头养猪可以使明年的收入增加4元（即明年每周的收入为100＋4h元，其中h为他今年每周养猪花费的小时数）。张先生的效用函数为u（c₁，c₂）＝min{c₁，c₂}，其中c₁、c₂分别为今年和明年每周的消费支出。张先生不相信银行，故不会进行借贷。

（1）画出张先生对现在与未来的消费预算线并标出关键点。

（2）他每周将会花多少小时养猪？

（3）他每年每周会消费多少？

解：（1）张先生的禀赋价值为：当他将80小时全部用于种甘蔗时，今年每周可以得到160元收入，而第二年每周收入为100；当他将80小时全部用于养猪时，今年每周收入为0，明年每周收入为420。因此他的预算集由通过（0，420）和（160，100）的直线和通过（160，100）的垂线围成，如图10-7所示。

图10-7　现在与未来的消费预算线

（2）由效用函数u（c₁，c₂）＝min{c₁，c₂}可知，c₁＝c₂。张先生不进行借贷，则两期收入必须相等，即2×（80－h）＝100＋4h，解得：h＝10。故他每周会花10小时养猪。

（3）因其不进行借贷，因此他每周消费等于收入，即c₁＝c₂＝2×（80－h）＝100＋4h＝140。

5李小姐要借款需要付出50%的利率，但贷款只会得到5%的利率。她现在的禀赋为时期1的1000元和时期2的1050元，她要考虑两种不同的投资方案，只能选择其中的一种。方案A：在时期1付出500元，在时期2收回630元。方案B：在时期1收到500元，在时期2付出525元。

（1）分别画出她选择方案A或者方案B时的预算集。

（2）若她不进行借贷，在利率为50%时，哪个方案的净现值较高？当利率为5%时呢？

（3）画出无差异曲线使她要选择方案A。

（4）偏好不同时她会选择方案B吗？

解：（1）消费者的预算方程为c₁＋c₂/（1＋r）＝m₁＋m₂/（1＋r），代入数据得：

预算线如图10-8所示。

图10-8　预算线及无差异曲线

（2）利率为50%时，方案A的净现值为（1000－500）＋（1050＋630）/（1＋0.5）＝500＋1120＝1620，方案B的净现值为（1000＋500）＋（1050－525）/（1＋0.5）＝1500＋350＝1850，她会选择方案B。

利率为5%时，方案A的净现值为（1000－500）＋（1050＋630）/（1＋0.05）＝500＋1600＝2100，方案B的净现值为（1000＋500）＋（1050－525）/（1＋0.05）＝1500＋500＝2000，她会选择方案A。

（3）如图10-8中A点所示。

（4）偏好不同时消费者有可能会选择B方案，如图10-8中B点所示。

6在一个与世隔绝的山村中，唯一的农作物就是玉米，村民为两个时期作打算。在时期1，每个村民可收获100公斤玉米；在时期2，没有玉米收获。这里与外界没有贸易往来，并且时期1之前没有玉米留存。玉米可以从一个时期存到另一个时期，但是会有25%的玉米被老鼠吃掉。村民的效用函数为u（c₁，c₂）＝c₁c₂，其中c₁、c₂分别是他们在时期1与时期2的消费量。他们可以随意决定消费与贮存的分配。如果由于引进了猫，使老鼠造成的损失降到10%。请比较，引进猫前后村民两个时期玉米消费量的变化。

解：（1）根据题意，老鼠吃掉玉米表现为一种负的利率，今年和明年所消费的玉米量预算方程可表示为：c₂＝0.75（m₁－c₁）。其中c₁、c₂分别是他们在时期1与时期2的消费量，m₁是在时期1的收获量。

整理后可得：0.75c₁＋c₂＝0.75m₁＝75且c₁≤m₁。

效用函数为柯布-道格拉斯效用函数，根据函数特性，有：0.75c₁∶c₂＝1∶1。代入预算方程，可得：c₁＝50，c₂＝37.5，因此，今年和明年的玉米消费量分别为50公斤和37.5公斤。

（2）引进猫后，玉米量预算方程可表示为：c₂＝0.9（m₁－c₁）。

整理后可得：0.9c₁＋c₂＝0.9m₁＝90且c₁≤m₁。

效用函数为柯布-道格拉斯效用函数，根据函数特性，有：0.9c₁∶c₂＝1∶1。代入预算方程，可得：c₁＝50，c₂＝45，因此，今年和明年的玉米消费量分别为50公斤和45公斤。

引进猫后，时期1的消费不会改变，时期2的玉米消费会增加。