第五节 假设检验
一、单项选择题（每题的备选项中，只有1个最符合题意）
1．为了判断强度均值为38kg／cm2的金属材料在经改进后的强度是否提高，随机抽取了20个样品，测得强度平均值为39．2kg／cm2，则下列说法中，正确的是（ ）。[2010年真题]
A．只提高1.2kg／cm2，强度提高肯定不显著
B．需要使用单总体t检验来判断改进后的强度是否比原来有显著提高
C．改进后强度平均值为39.2kg／cm2,确实比原来有所提高
D．因为没有提供总体标准差的信息，因而无法做出判断
【答案】B
【解析】强度是否有显著提高需使用假设检验进行判断，因没有提供总体标准差，所以应使用单总体t检验。
2．假设检验中的显著性水平α表示（ ）。
A．犯第一类错误的概率不超过α
B．犯第二类错误的概率不超过α
C．犯两类错误的概率之和不超过α
D．犯第一类错误的概率不超过1-α
【答案】A
【解析】显著性水平α表示当原假设为真时拒绝原假设的概率（即犯第一类错误的概率）的最大值。
3．原假设H0：某生产过程的不合格品率不大于p0，则第二类错误指的是（ ）。
A．认为该过程生产的不合格品率大于p0，但实际并不大于p0
B．认为该过程生产的不合格品率不大于p0，但实际大于p0
C．认为该过程生产的不合格品率不大于p0，但实际也不大于p0
D．认为该过程生产的不合格品率大于p0，但实际也大于p0
【答案】B
【解析】第二类错误是取伪错误，即实际上原假设不真，而备择假设成立，但接受了H0，也就是该生产过程的不合格品率大于p0，却认为该过程的不合格品率不大于p0。
4．在假设检验中，接受原假设H0时，可能（ ）错误。
A．犯第一类
B．犯第二类
C．既犯第一类，又犯第二类
D．不犯任一类
【答案】B
【解析】假设检验过程中会出现的两类错误为：①拒真错误：原假设H0为真，但由于抽样的随机性，样本落在拒绝域W内，从而导致拒绝H0，其发生概率记为α，又称为显著性水平；②取伪错误：原假设H0不真，但由于抽样的随机性，样本落在W—内，从而导致接受H0，其发生概率为β。
5．在假设检验中，H0为原假设，H1为对立假设，则第一类错误指的是（ ）。
A．H0真，接受H0
B．H0不真，拒绝H0
C．H1不真，拒绝H0
D．H1真，接受H0
【答案】C
6．下列各项不属于假设检验中判断错误种类的是（ ）。
A．拒真错误
B．原假设H0为真，但由于抽样的随机性，样本落在拒绝域W内，从而导致拒绝H0
C．取伪错误
D．原假设H0为不真，但由于抽样的随机性，样本落在拒绝域W内，从而导致接受H0
【答案】D
7．关于假设检验中的两类错误，下述有误的一项是（ ）。
A．在相同样本量下，要使α小，必导致β大
B．在相同样本量下，要使β小，必导致α大
C．要使α、β皆小，只有增大样本量n才可达到，这是最常用的，也是最佳选择
D．控制α，但不使α过小，在适当控制α中制约β
【答案】C
【解析】理论研究表明：①在相同样本量下，要使α小，必导致β大；②在相同样本量下，要使β小，必导致α大；③要使α、β皆小，只有增大样本量n才可达到，这在实际中有时并不可行。折中方案是：控制α，但不使α过小，在适当控制α中制约β，常选α=0.05，有时也用α=0.10或0.01。
8．在假设检验的u检验法（双侧）中，显著水平α=0．05，则下列表述正确的是（ ）。
A．原假设H0真，以95％的概率判断H0真
B．原假设H0真，以5％的概率判断H0真
C．原假设H0不真，以95％的概率判断H0真
D．原假设H0不真，以5％的概率判断H0不真
【答案】A
【解析】由题意可知,原假设H0为真，以95％的概率判断H0真；或原假设H0真，以5％的概率判断H0不真。
9．设一项t检验的α值为0．10，它表示（ ）。
A．有10％的概率判断不存在差异，但实际上有差异
B．做出正确判断的概率为10％
C．有10％的概率判断原假设不真，但实际上原假设为真
D．做出错误判断的概率为90％
【答案】C
【解析】显著性水平α表示第一类错误（拒真错误）发生的概率，即当原假设成立时却拒绝原假设的概率大小。
10．为了判断改进后的日产量是否比原来的200（千克）有所提高，抽取了20天的日产量数据，发现日产量的平均值为201（千克），下列结论正确的有（ ）。
A．只提高1千克，产量的提高肯定是不显著的
B．日产量平均值为201（千克），确实比原来有所提高
C．需要使用单总体t检验来判断改进后的产量是否比原来有显著提高
D．因为没有提供总体标准差的信息，因而不可能做出判断
【答案】C
【解析】日产量是否有显著的差异需使用假设检验进行判断，因为没有提供总体标准差，所以应使用单总体t检验。
11．设x1，x2，…，xn是从某正态总体随机抽取的一个样本，在σ未知情况下，考察以下假设的检验问题：H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0，则给定α下，该检验的拒绝域为（ ）。
A．|t|＞tα（n－1）
B．|t|＞t1-α（n-1）
C．|t|＞
（n－1）
D．|t|＞
（n－1）
【答案】D
【解析】在σ未知场合对正态均值作双侧假设检验时，其拒绝域应在t轴的两侧，具体是|t|＞（n－1）。
12．已知X1，X2，…，Xn是从某正态总体随机抽取的一个样本，在μ未知的情况下，对于假设的检验问题H0：σ2＝σ20，H1：σ2≠σ20，则给定α下，该检验的拒绝域为（ ）。
A．χ2＞
（n-1）
B．χ2＜
（n-1）
C．χ2＞
（n-1）
D．χ2<（n-1）
【答案】C
【解析】μ未知，对正态分布方差σ2作假设检验时，采用χ2检验，
拒绝域为χ2＜
（n-1）或χ2＞（n-1）。
13．设X~N（μ，σ2），σ未知，xi为样本（i=1，2，…，n）。H0:μ≤μ0，H1:μ>μ0，α为显著性水平，则接受域（ ）。
A．t<（n－1）
B．t>（n－1）
C．t<t1－α（n－1）
D．（n－1）<t<（n－1）
【答案】C
【解析】对单侧要求的假设检验，σ未知，采用t检验，检验统计量
，拒绝域为{t>t1－α（n－1）}，所以接受域为{t<t1－α（n－1）}。
14．设X~N（μ，σ2），σ已知，xi为样本（i=1，2，…，n）。H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，则检验统计量指的是（ ）。
【答案】B
【解析】对于单个正态总体，当总体方差σ2已知时，均值μ的检验统计量为
15．在假设检验中，对t检验法而言，如果检验结果在α=0.05水平上不拒绝H0，则在0.01水平上的结论为（ ）。
A．拒绝H0
B．不拒绝H0
C．不拒绝也不接受H0
D．无法判断
【答案】B
【解析】α值越小，则接受的概率越大。
16．已知污水中某种有毒化学物质的含量X～N（μ,σ2），环境保护法规定有毒物质的平均含量不超过2ppm，对污水进行监控16次，测得
=2.1ppm，s=0.382ppm，问有毒物质在α=0.05水平是否超标？（ ）（t0.95（15）=1.753，t0.95（16）=1.746）
A．超过标准
B．不超过标准
C．不能确定
D．需重新抽样进行检验
【答案】B
【解析】根据题意，μ已知，σ未知，采用t检验，检验统计量
，拒绝域为（t1－α（n－1），+∞），而
≈1.047，而t0.95（15）=1.753>1.047，所以没有超过标准。
17．某厂订购一批自行车零件，双方规定其不合格品率不超过5％为合格品，现从该批随机抽取100个零件进行检验，发现有7件不合格品，当显著水平α=0.05时，该批产品的检验结论为（ ）。
A．拒绝该批产品
B．接受该批产品
C．不能确定
D．可拒绝也可接受该批产品
【答案】B
【解析】此假设检验求解过程为：①立假设H0:≤0．05,H1:>0.05；②因为样本量n=100较大，故可选用近似u检验；③根据显著性水平α=0.05及备择假设可确定拒绝域为{u>u1-α}={u>1.645}；④由样本观测值，求得：
由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，应接受这批产品。
二、多项选择题（每题的备选项中，有2个或2个以上符合题意，至少有1个错项）
1．对生产的导线阻值是否等于设计值进行假设检验，则下列说法正确的有（ ）。[2012年真题]
A．该问题的原假设为生产的导线的阻值等于设计值
B．该问题应使用双侧假设检验
C．该问题属于比例P的假设检验
D．该问题应使用卡方检验统计量
E．该问题的第一类错误是指实际生产中导线阻值等于设计值时，却判断为阻值不等于设计值
【答案】AE
【解析】A项，建立假设时，一般与题目的问法相一致，是我们所期望得到的试验结果。E项，根据犯第一类错误的定义，拒真错误：原假设H0为真，但由于抽样的随机性，样本落在拒绝域W内，从而导致拒绝H0。
2．在正态方差未知时，对正态均值μ的检验问题H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0的拒绝域W＝（ ）。[2007年真题]
A．{｜t｜>t1-α（n-1）}
B．{｜t｜>tα（n-1）}
C．{｜t｜>t1-α/2（n-1）}
D．{｜t｜>-tα/2（n-1）}
E．{｜u｜>u1-α/2}
【答案】CD
【解析】正态方差未知时，对正态均值μ的检验问题H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0的拒绝域W＝{t>t1－α/2（n－1）}，而t1－α/2（n－1）=－tα/2（n－1），所以W＝{t>t1－α/2（n－1）}={｜t｜>-tα/2（n-1）}。
3．在假设检验中，记H0为原假设，H1为对立假设，则第二类错误指的是（ ）。
A．H1真，拒绝H0
B．H1真，接受H0
C．H0真，拒绝H0
D．H0不真，接受H0
E．H0真，接受H0
【答案】BD
4．在假设检验中，设显著性水平α=0．05，则下列表述正确的有（ ）。
A．有5％的概率判断原假设H0真，但实际上H0不真
B．做出正确判断的概率为95％，但实际上H0为真
C．有5％的概率判断原假设H0不真，但实际上H0为真
D．有95％的概率判断原假设H0真，但实际上H0不真
E．若H0真，有2．5％的概率判断原假H0不真
【答案】BC
【解析】假设检验中，第一类错误是指拒真错误，即原假设H0为真，H1不真，但由于抽样的随机性，样本落在拒绝域W内，从而导致拒绝H0，其发生的概率记为α；第二类错误是取伪错误，即原假设H0不真，但由于抽样的随机性，样本落在
内，从而导致接受H0。则显著性水平α=0．05表示当原假设为真时，做出正确判断的概率为95％，做出错误判断的概率为5％。
5．关于假设检验的两类错误，下列描述正确的有（ ）。
A．犯拒真错误的可能性不超过α
B．犯取伪错误的可能性不超过α
C．α取值越小，拒绝域也会越小，拒绝原假设的理由越充分
D．假设检验中，接受原假设H0时，可能犯第一类错误
E．犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间是相互关联的，降低α时，β也会随之降低
【答案】AC
【解析】犯取伪错误的可能性不超过β。假设检验中，接受原假设H0时，可能犯第二类错误。犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的概率β之间是相互关联的，在相同样本量下，降低α时，β也会随之升高；降低β时，α也会随之升高。
6．在假设检验中，对u检验法而言，如果检验结果在α=0．10水平上拒绝原假设H0，则在α=0．05水平上，可能的检验结论有（ ）。
A．拒绝原假设H0
B．不拒绝H0
C．不拒绝也不接受H0
D．可能拒绝也可能接受
E．无法判定
【答案】ABD
【解析】α越小拒绝的可能性越小，对于此题可能拒绝，也可能落在接受范围内。
7．假设检验的基本步骤包括（ ）。
A．建立零假设H0和对立假设H1
B．选择检验用的统计量，给出拒绝域形式
C．选择检验方法
D．确定临界值C，给出拒绝域W
E．根据统计量的值，作出拒绝与否的推断
【答案】ABDE
【解析】假设检验的基本步骤可分为五步，具体为：①建立假设；②选择检验统计量，给出拒绝域的形式；③给出显著性水平α；④确定临界值C，给出拒绝域W；⑤判断，即根据样本计算的检验统计量是否落入拒绝域内为依据，如落入拒绝域则接受H1，未落入拒绝域则接受H0。
8．下列可以作为原假设的命题有（ ）。
A．两个总体方差相等
B．两个样本均值相等
C．总体不合格品率不超过0.01
D．样本中的不合格品率不超过0.05
E．两个样本方差相等
【答案】AC
【解析】关于总体参数的命题可以作为原假设，样本统计量是随机变量，不能作为假设。
9．关于正态均值μ的假设检验（σ已知情形）常用的三对假设为（ ）。
A．H0：μ≤μ0，H1：μ＞μ0
B．H0：μ≥μ0，H1：μ＜μ0
C．H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0
D．H0：μ≤μ0，H1：μ＜μ0
E．H0：μ≥μ0，H1：μ＞μ0
【答案】ABC
【解析】关于正态均值μ常用的三对假设为：①H0：μ≤μ0，H1：μ＞μ0；②H0：μ≥μ0，H1：μ＜μ0；③H0：μ＝μ0，H1：μ≠μ0。其中①②为单侧假设检验问题，③为双侧假设问题。
10．设X～N（μ，σ2），其中σ2已知，H0:μ=μ0，H1:μ≠μ0的显著性水平为α的拒绝域为（ ）。
A．|u|＞uα
B．|u|＞u1－α
C．|u|＞－uα/2
D．|u|＞u1－α/2
E．|u|＞1-uα/2
【答案】CD
【解析】在σ已知时，应采用u检验法，此时关于H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0的假设检验问题的拒绝域为{|u|＞u1－α/2}。又因为标准正态分布的对称性，可知u1－α/2=－uα/2，所以拒绝域又可以表示为|u|＞－uα/2。
11．在假设检验中，下面的说法正确的有（ ）。
A．建立假设时，有原假设Η0和备择假设Η1
B．已知μ0，可假设Η0:μ=μ0,Η1:μ≠μ0检验样本均值是否为μ0
C．正态总体σ己知时，μ的显著性水平为α的检验采用
作为检验统计量
D．假设Η0：μ≤μ0,Η1：μ>μ0,是双侧假设检验
E．假设Η0：μ=μ0,Η1：μ≠μ0,是双侧假设检验
【答案】ABCE
【解析】D项，对假设Η0:μ≤μ0，备择假设Η1:μ>μ0，是单侧假设检验。
三、综合分析题（由单项选择题和多项选择题组成）
（一）某食品公司生产袋装食品，其容量服从正态分布，规定均值μ=245（ml），标准差σ=3（ml）。今从中随机抽取32袋，测得样本均值=246（ml）。
1．检验袋平均容量是否符合规定要求的原假设H0为（ ）。
A．μ=245
B．μ≠245
C．μ≤245
D．μ≥245
【答案】A
【解析】原假设是指符合规定要求，即μ=245。
2．检验方法采用（ ）。
A．F检验法
B．t检验法
C．u检验法
D．χ2检验法
【答案】C
【解析】标准差σ已知的情况下使用u检验法。
3．当α=0.05时，袋的平均容量是否符合标准规定？（ ）
（u0.95=1.645，t0.95（31）=1.6955，t0.95（32）=1.694，t0.975（31）=2.04，u0.975=1.96）
A．符合
B．不符合
C．不能确定
D．以上都不对
【答案】A
【解析】使用u检验法，则统计量为
，代入数据求得
，而u0．975=1．96>1．886，u未落在拒绝域中，所以袋的平均容量符合标准规定。
（二）已知某企业生产铜丝，其直径X～N（32．5，1．12），现从该企业生产的一批铜丝中随机抽取6个样品，测得直径均值=31．13mm，假定现在生产的铜丝的标准差未变。
1．检验铜丝抗拉强度均值是否变小的原假设H0为（ ）。
A．μ＜32.5
B．μ≤32.5
C．μ=32.5
D．μ≥32.5
【答案】D
【解析】由于要检验强度是否变小，故原假设用μ≥32.5。
2．检验方法采用的是（ ）。
A．t检验法
B．u检验法
C．F检验法
D．χ2检验法
【答案】B
3．当α=0．05时，推断铜丝直径均值是（ ）。
（u0.95=1.645，t0.95（5）=2.015，
（5）=12.83，t0.97（5）=2.571，u0.975=1.96）
A．变小
B．不变
C．不能确定
D．变大
【答案】A
【解析】使用u检验法，则统计量为，代入数据求得
，因为u<u0.05=－u0.95=-1.654，u落入拒绝域，拒绝原假设，即铜丝直径均值变小。
（三）某食品公司生产袋装饼干，其容量服从正态分布，已知标准差σ=3g，标准规定每袋容量为245g。
1．假定袋装饼干的均值95％置信区间长度不超过2.1g，则样本容量至少为（ ）。
A．5
B．6
C．31
D．32
【答案】D
【解析】对于标准差已知的情况中下，可知置信区间长度应为
，则根据题意有≤2.1，则代入数据可得
≥5.6，所以n≥31.36，则样本容量至少为32。
2．在题设及题1的条件下，测得样本均值=247g，假定显著水平α=0.05，则袋装饼干的平均重量是（ ）。
（u0.975=1.96；t0.975（31）=2.0395；
（31）=48.232；u0.95=1.645；t0.95（31）=1.6955；（31）=44.985）
A．符合标准规定
B．不符合标准规定
C．不能确定
D．其他
【答案】B
【解析】根据题意，检验统计量
，代入数据求得u=
≈3.771>1.96，所以拒绝原假设，即袋装饼干的平均重量不符合标准规定。
（四）某厂用自动包装机包装酱油。已知每袋酱油净重服从正态分布，标准规定每袋酱油净重1kg，标准差不超过0.02kg；某日开工后，随机抽取9袋，测得=0.998kg，s=0.032kg。
1．检验每袋酱油质量的均值是否符合标准规定的原假设H0为（ ）。
A．μ＜1
B．μ≤1
C．μ=1
D．μ≥1
【答案】C
【解析】标准规定每袋酱油净重1kg，检验酱油净重的均值是否符合标准规定的原假设H0用μ=1。
2．检验均值的方法采用（ ）。
A．u检验法
B．t检验法
C．F检验法
D．χ2检验法
【答案】B
【解析】标准差σ未知的情况下使用t检验法。
3．当α=0.05时，推断每袋酱油质量的均值是（ ）。
A．符合标准规定
B．不符合标准规定
C．不能确定
D．其他
【答案】A
【解析】使用t检验法的统计量为
=－0.1875，查表得t0.975（8）=2.306，
则t<（n－1），故接受原假设，即每袋酱油质量的均值符合标准规定。
4．检验酱油净重的标准差是否符合标准规定的原假设H0为（ ）。
A．σ＜0.02
B．σ≤0.02
C．σ≥0.02
D．σ＞0.02
【答案】B
【解析】标准差不超过0.02kg，故原假设为σ≤0.02。
5．检验标准差的方法采用（ ）。
A．u检验法
B．t检验法
C．F检验法
D．χ2检验法
【答案】D
【解析】检验标准差的方法是通过样本方差构造χ2检验法。
6．当α=0．05时，推断袋酱油质量的标准差是（ ）。
（t0.975（8）=2.306，u0.975=1.96，（8）=15.51）
A．变大
B．不变
C．不能确定
D．变小
【答案】A
【解析】使用χ2检验法的统计量为
，代入数据求得
=20.48，（8）=15.51，则χ2>（n-1），χ2值落入拒绝域，拒绝原假设，所以酱油质量的标准差变大了。