第四节　参数估计

一、单项选择题（每题的备选项中，只有1个最符合题意）

1．设x₁，…x₉是从正态总体N（μ，0.6²）中随机抽取的样本，样本均值为，μ_α是标准正态分布的α分位数，则均值μ的0.90置信区间为（　　）。[2010年真题]

A．±0.2μ_0．95

B．±0.2μ_0．90

C．±0.6μ_0．90

D．±0.6μ_0．95

【答案】A

【解析】当总体标准差σ已知时，利用正态分布可得μ的1-α置信区间为：

则正态分布N（μ，0.62）均值μ的0.90置信区间为：±0.6/·μ_0.95，即：±0.2μ_0.95。

2．采用包装机包装食盐，要求500g装一袋，已知标准差σ=3g，要使食盐每包平均重量的95%置信区间长度不超过2g，样本量n至少为（　　）。已知u_0．975=1.96，u_0．95=1.64。[2012年真题]

A．10

B．24

C．35

D．70

【答案】C

【解析】在σ已知时，μ的95％的置信区间为：其中u_1-α/2=u_0.975=1.96。置信区间的长度是：

为使它不超过2，可解不等式2×1.96×得n≥34.5744。即样本量n至少为35。

3．参数估计的基本形式有（　　）。

A．点估计与区间估计

B．点估计与矩法估计

C．经验估计与范围估计

D．区间估计与计算估计

【答案】A

4．判定点估计优良性的标准有（　　）。

A．简易性与准确性

B．准确性与有效性

C．无偏性与有效性

D．无偏性与简易性

【答案】C

【解析】无偏性是表示估计量优良性的一个重要标准。只要有可能，应该尽可能选用无偏估计量，或近似无偏估计量。有效性是判定估计量优良性的另一个标准。

5．矩法估计的缺点是（　　）。

A．要求知道总体的分布

B．估计不惟一

C．不准确

D．总体的分布难以确定

【答案】B

【解析】矩法估计简单实用，所获得的估计量通常也有较好的性质，但缺点是有时估计不惟一。

6．泊松分布的参数λ的矩法估计是（　　）。

A．用方差作为λ的矩法估计

B．用均值作为λ的矩法估计

C．用标准差作为λ的矩法估计

D．用极差作为λ的矩法估计

【答案】B

【解析】由于均值和标准差都可以作为泊松分布的参数λ的矩法估计，但是均值是一阶矩，而方差是二阶矩，应选用低阶矩作为参数的矩估计法，即用样本均值作为泊松分布的参数λ的矩法估计。

7．下列各项属于样本矩的是（　　）。

A．总体均值

B．总体方差

C．样本均值

D．几何平均值

【答案】C

【解析】参数估计时，一个直观的思想是用样本均值作为总体均值的估计，用样本方差作为总体方差的估计等。由于均值与方差在统计学中统称为矩，总体均值与总体方差属于总体矩，样本均值与样本方差属于样本矩。

8．正态方差σ²的无偏估计是（　　）。

【答案】C

【解析】正态方差σ²的无偏估计常用的只有一个，即样本方差。

9．下列关于点估计和区间估计的说法正确的是（　　）。

A．点估计仅仅给出了参数的一个具体估计值，而区间估计用区间来估计，区间估计体现了估计的精度

B．区间估计用区间范围来估计，而点估计给出了参数的一个具体估计值，点估计体现了估计的精度

C．点估计通过具体的数估计了一定区间，而区间估计通过一个范围估计了区间，因此不如点估计精确

D．点估计和区间估计是两种不同的估计方法，其精度是一样的

【答案】A

10．已知均值μ的区间估计为，则该区间也可表示为（　　）。

【答案】C

【解析】因为所以可以表示为

。

11．已知均值μ的置信区间为，也可表示为（　　）。

【答案】B

【解析】因为，所以可以表示为

。

12．总体为正态分布，σ²未知，则总体均值的1-α置信区间是（　　）。

【答案】B

【解析】估计正态总体均值的置信区间，若σ未知，σ用其估计s代替，利用t分布，且是对称区间，故总体均值置信区间为。

13．正态总体标准差σ的1-α置信区间为（　　）（μ未知）。

【答案】D

【解析】σ²的估计常用样本方差s²，因此从s²的分布来构造置信区间。利用χ²（n-1）分布可以得到σ²的1-α置信区间为：，其中（n－1）与（n－1）分别是χ²（n－1）分布的分位数与1－分位数。将上式两边开平方，可得σ的1-α置信区间为

14．设X～N（μ，0．09）从中随机抽取样本量为4的样本，其样本均值为，则总体均值μ的0.95的置信区间为（　　）。

A．±0.15u_0．95

B．±0.15u_0．975

C．±0.3u_0．95

D．±0.3u_0．975

【答案】B

【解析】由X～N（μ，0．09）可知该总体标准差σ==0．3已知，用正态分布得μ的1-α的置信区间为。所以μ的0．95的置信区间＝＝±0．15u_0．975。

15．食盐中碘的含量服从正态分布，从中抽取容量n=11的样本，测得=34×10^-6g，s=6.8×10^-6g,则碘含量的方差σ²的置信度为95％的置信区间是（　　）。（（10）=20.48，（11）=21.92，（10）=3.25，（11）=3.82）

A．［21.09×10^-12，121.05×10^-12］

B．［21.09×10^-12，142.28×10^-12］

C．［22.58×10^-12，121.05×10^-12］

D．［22.58×10^-12，142.28×10^-12］

【答案】D

【解析】利用χ²（n－1）分布可得σ²的（1-α）的置信区间为：

16．某城市日用水量服从正态分布，现随机抽取5天的用水量作为样本，求得=169万吨；s=0．50万吨，则总体标准差σ的95％的置信区间为（　　）。（（4）=11．14，（5）=12．83，（4）=0．484，（5）=0．554）

A．［0.2996，1.4374］

B．［0.4607，1.3821］

C．［0.612，1.2219］

D．［0.6025，1.2945］

【答案】A

【解析】正态总体标准差的1－α置信区间为：

17．某溶液中的乙醇浓度服从正态分布，从中抽取一个样本量为4的样本，求得＝8.5，样本标准差为s＝0.04，则正态均值μ与σ的95%的置信区间分别为（　　）。

（t_1-α/2（n-1）=t_0.975（3）=3.182，（3）=9.35，（3）=0.216）

A．［8.292，8.550］；［0.017，0.112］

B．［8.430，8.550］；［0.023，0.112］

C．［8.436，8.564］；［0.023，0.149］

D．［8.449，8.564］；［0.017，0.149］

【答案】C

【解析】因σ未知，σ用其估计s代替，所以采用t分布求得正态均值μ的1-α置信区间为

，

代入数据得：

采用χ²求得正态标准差σ的95%的置信区间为：

代入数据得：＝［0．023，0．149］。

18．采用包装机包装食盐，要求500g装一袋，已知标准差σ=3g，要使食盐每包平均重量的95％置信区间长度不超过4．2g，样本量n至少为（　　）。

A．4

B．6

C．8

D．10

【答案】C

【解析】在σ已知的情况下，正态均值μ的0.95置信区间为其中，查表可得u_0.975=1.96,则此区间的长度为要使此区间长度不超过4.2，则n应满足由此可得n≥7.84，故样本量n至少为8。

二、多项选择题（每题的备选项中，有2个或2个以上符合题意，至少有1个错项）

1．在关于样本均值的下列命题中，正确的有（　　）。[2008年真题]

A．样本来自b（1，p），是p的无偏估计

B．样本来自Exp（λ），是λ的无偏估计

C．样本来自P（λ），是λ的无偏估计

D．样本来自N（μ，σ²），是σ的无偏估计

E．样本来自b（100，p），近似服从正态分布

【答案】ACE

【解析】对任何总体来说，总有：①样本均值是总体均值的无偏估计；②样本方差s²是总体方差的无偏估计；③样本标准方差s不是总体标准差的无偏估计。二点分布b（1，p）的均值E（X）=p，所以样本来自b（1，p），是p的无偏估计；指数分布Exp（λ）的均值E（X）=λ-1，所以样本来自Exp（λ），是λ-1的无偏估计；泊松分布P（λ）的均值E（X）=λ，所以样本来自P（λ），是λ的无偏估计；正态分布N（μ，σ²）的均值为μ，所以样本来自N（μ，σ²），是μ的无偏估计。设X₁，X₂，…，X_n为n个相互独立同分布随机变量，其共同分布不为正态或未知，但其均值μ和方差σ²都存在，则在n相当大时，样本均值近似服从正态分布。

2．设X₁，X₂，…，X_n是来自正态总体N（μ,σ²）的一个样本，则有（　　）。[2006年真题]

【答案】AC

【解析】正态均值μ的无偏估计有两个，一个是样本均值，即：，另一个是样本中位数，即：

正态方差σ²的无偏估计常用的只有一个，就是样本方差s²，即：

3．设[θ_L,θ_U]是θ的置信水平为1-α的置信区间，则有（　　）。[2006年真题]

A．α愈大，置信区间长度愈短

B．α愈大，置信区间长度愈长

C．α愈小，置信区间包含θ的概率愈大

D．α愈小，置信区间包含θ的概率愈小

E．置信区间长度与α大小无关

【答案】AC

【解析】1-α置信区间的含义是：所构造的随机区间[θ_L，θ_U]覆盖（盖住）未知参数θ的概率为1-α。α愈大，区间[θ_L，θ_U]盖住未知参数θ的概率越小，区间的长度越短；α愈小，区间[θ_L，θ_U]盖住未知参数θ的概率越大，置信区间的长度越长。

4．在方差未知时，正态均值μ的1-α置信区间长度与（　　）。[2007年真题]

A．样本均值成正比

B．样本量n的平方根成反比

C．总体标准差成正比

D．样本标准差成正比

E．α成正比

【答案】BD

【解析】当总体方差未知时，利用t分布可以得到μ的1-α置信区间为则置信区间长度为所以区间长度与样本量n的平方根成反比，与样本标准差成正比。

5．参数估计中所说的参数主要是指（　　）。

A．分布中的主要参数，如二项分布b（1，p）中的p，正态分布中的μ，σ

B．分布的均值E（X）、方差Var（X）等未知特征数

C．其他未知参数，如某事件概率P（A）等

D．统计中所涉及的所有未知数

E．据样本和参数的统计含义选择出来的统计量并作出估计的

【答案】ABCE

【解析】未知参数都需要根据样本和参数的统计含义选择适宜的统计量并作出估计，这一统计推断过程通称为参数估计。参数估计中所说的参数主要是指:①分布中的未知参数，如二项分布b（1，p）中的p，正态分布N（μ，σ²）中的μ，σ²或σ；②分布的均值E（X）、方差Var（X）等未知特征数；③其他未知参数，如某事件的概率P（A）等。

6．下列关于矩法估计的说法正确的有（　　）。

A．矩法估计是求点估计的方法

B．矩法估计简单而实用，所获得的估计量通常（尽管不总是如此）有较好性质

C．但是应该注意到，矩法估计不一定总是最有效的，而且估计不惟一

D．矩法估计是用某种方法获得未知参数的点估计的方法

E．矩法估计是惟一最有效的

【答案】ABCD

【解析】获得未知参数的点估计的方法称为矩法估计。这种方法可概括为：①用样本矩去估计相应的总体矩；②用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数。矩法估计简单而实用，所获得估计量通常有较好性质。但是矩法估计不一定是最有效的，而且有时估计也不惟一。

7．参数的矩法估计是指（　　）。

A．用样本矩估计总体相应的矩

B．用总体矩估计样本相应的矩

C．用样本矩的函数估计总数矩相应的函数

D．用总体矩的函数估计样本相应的矩的函数

E．用总体矩估计样本相应的矩的函数

【答案】AC

【解析】矩法估计这种方法可概括为：①用样本矩去估计相应的总体矩；②用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数。

8．正态均值μ的无偏估计有（　　）。

A．样本均值

B．样本中位数

C．样本众数

D．样本变异系数

E．样本方差

【答案】AB

【解析】正态均值的无偏估计有两个:一个是样本均值，另一个是样本中位数。

9．正态标准差σ的无偏估计有（　　）。

A．R／c₄

B．R／d₂

C．s/c₄

D．s/d₂

E．s²

【答案】BC

【解析】正态标准差σ的无偏估计有两个：

①对样本极差R=x_（n）-x_（1）进行修偏而得，即=R/d₂=（x_（n）-x_（1））/d₂；

②对样本标准差s进行修偏而得，即

10．θ是总体的一个待估参数，θ_L，θ_U是其对于给定α的1-α的置信下限与置信上限。则1-α置信区间的含义是（　　）。

A．所构造的随机区间[θ_L，θ_U]覆盖（盖住）未知参数θ的概率为1-α

B．由于这个随机区间随样本观测值的不同而不同，它有时覆盖住了参数θ，有时则没有覆盖参数θ

C．用这种方法做区间估计时，不能覆盖参数θ的机率相当小

D．如果P（θ＜θ_L）＝P（θ＞θ_U）＝α/2，则称这种置信区间为等尾置信区间

E．正态总体参数的置信区间是等尾置信区间，而比例p的置信区间不是等尾置信区间

【答案】ABD

【解析】C项,用这种方法做区间估计时，100次中大约有100（1-α）个区间能覆盖未知参数，不能说机率是大还是小，需要根据α的具体情况来确定；E项,正态总体参数的置信区间及比例p的置信区间都是等尾置信区间。

11．在作参数θ的置信区间中，置信水平1-α＝90%是指（　　）。

A．对100个样本，定有90个区间能覆盖θ

B．对100个样本，约有90个区间能覆盖θ

C．对100个样本，至多有90个区间能覆盖θ

D．对100个样本，可能只有89个区间覆盖θ

E．对100个样本，约有10个区间能覆盖θ

【答案】BD

【解析】置信水平1-α表明100次中大约有100（1-α）个区间能覆盖未知参数。所以置信水平1-α＝90%是指对100个样本，约有90个区间能覆盖θ，也可能只有89个区间能覆盖θ。

12．计量型质量特性A和B都服从正态分布，具有相同的均值100，特性A的标准差是15，特性B的标准差是5，则可以得出（　　）。

A．特性A的观测值比特性B更趋近于均值

B．特性B的观测值比特性A更集中

C．特性A的观测值落入区间[85，115]的概率是特性B的概率的1/3

D．特性B的观测值落入区间[85，115]的概率为99．73%

E．特性B的观测值落入区间[85，115]的概率为68．27%

【答案】BD

【解析】A项，特性B的观测值比特性A更趋近于均值；B项，由于标准差是反映分散程度的数据量，标准差越小，数据越集中，标准差越大，数据越分散；C项，[85，115]是特性A的μ±σ区间，特性A的观测值落入该区间的概率为68．27%；DE两项，[85，115]是特性B的μ±3σ区间，特性B的观测值落入该区间的概率为99．73%。

13．正态总体参数均值、方差、标准差的1-α置信区间为（　　）。

A．对于参数μ，当参数标准差σ已知的情况下为

B．对于参数μ，当参数标准差σ未知的情况下为

C．对于参数μ，当参数标准差σ已知的情况下为

D．对于σ²，当参数均值μ未知的情况下为

E．对于σ，当参数均值μ未知的情况下为

【答案】ABDE

【解析】正态总体均值、方差、标准差的1-α置信区间如表1-6所示。

表1-6正态总体均值、方差、标准差的1-α置信区间

续表

14．正态标准差σ的1-α置信区间依赖于（　　）。

A．样本均值

B．样本方差

C．样本标准差

D．t分布的分位数

E．χ²分布的分位数

【答案】BCE

【解析】σ²的估计常用样本方差s²，所以从s²的分布来构造置信区间。利用χ²（n-1）分布可以得到σ²的1-α置信区间为：

其中（n－1）与（n－1）分别是χ²（n-1）分布的α/2分位数与1-α/2分位数。

将上式两边开平方，可得σ的1-α置信区间为：，则正态标准差σ的1-α置信区间依赖于样本标准差s（或样本方差）和χ²分布的分位数。

三、综合分析题（由单项选择题和多项选择题组成）

（一）2013年3月，某电阻生产厂质检部门对生产的某批产品进行检验，测得其中五个样品的电阻值分别为8.1，8.0，8.0，8.1，8.2，则：

1．样本均值为（　　）。

A．7.95

B．8.00

C．8.08

D．8.12

【答案】C

【解析】样本均值=（8.1+8.0+8.0+8.1+8.2）/5=8.08。

2．样本中位数为（　　）。

A．8.00

B．8.05

C．8.10

D．8.20

【答案】C

【解析】排成有序样本8.0，8.0，8.1，8.1，8.2，第三位是中位数，即8.1。

3．样本极差为（　　）。

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

【答案】B

【解析】由有序样本得，样本极差R=x_（5）-x_（1）=8.2-8.0=0.2。

4．样本标准差为（　　）。

A．0.084

B．0.157

C．0.161

D．0.203

【答案】A

【解析】样本方差故样本标准差s=0.084。

5．若电阻值这一总体是正态分布N（μ，σ），则总体均值估计=（　　）。

A．0.161

B．0.3

C．8.08

D．8.12

【答案】C

【解析】由题1知，总体均值的估计=8.08。

6．总体方差估计=（　　）。

A．（0.084）²

B．（0.157）²

C．（0.161）²

D．（0.203）²

【答案】A

【解析】由题4知，总体方差估计=s²=（0.084）²。

（二）某纺织公司规定每位纺织工看800个锭子，抽查工人30次，每次1分钟，共接头50次。（t_0．975（∞）=1.96）

1．每分钟断头率p的置信度为95%的置信区间是（　　）。

A．[0.00150，0.00247]

B．[0.00150，0.00266]

C．[0.00175，0.00247]

D．[0.00175，0.00266]

【答案】B

【解析】因为800个锭子抽查30次，每次1分钟，则共抽查800×30=24000分钟，在这段时间里共接头50次，所以每个锭子每分钟平均断头次数（即每分钟断头率）的样本均值=0.00208，样本标准差

s==0.04556。因为总体方差σ²未知，所以采用t分布。在α=0.05时，t_0.975（23999）=t_0.975（∞）=1.96，每分钟断头率p的置信度为95%的置信区间为：

2．每分钟平均断头次数的置信度为95%的置信区间为（　　）。

A．[1.20，2.13]

B．[1.20，2.18]

C．[1.25，2.13]

D．[1.25，2.18]

【答案】A

【解析】每分钟断头率p的置信度为95%的置信区间为[0.00150，0.00266]，所以每分钟平均断头次数（即800个锭子在一分钟内的断头次数）的置信度为95%的置信区间为：

0.00150×800，0.00266×800＝[1.20，2.13]。