第三节　试验设计

一、单项选择题（每题的备选项中，只有1个最符合题意）

1．用正交表L₈（2⁷）安排试验时需要做（　　）个不同条件的试验。[2007年真题]

A．2

B．7

C．8

D．10

【答案】C

【解析】一张典型的正交表L_n（q^p）中，L是正交表代号；n是表的行数，在试验中表示用这张表安排试验的话，要做n个不同条件的试验；p表示表的列数，在试验中表示用这张表安排试验的话，最多可以安排p个因子；q表示因子水平的编号，表示表的主体只有q个不同的数字，用这张表安排试验时每个因子应取q个不同水平。所以用正交表L₈（2⁷）安排试验时需要做8个不同条件的试验。

2．为提高某产品的质量指标，需考虑3个三水平因子：A、B、C，把这3个因子依次安排在正交表L₉（3⁴）的前三列上，通过试验和计算获得各列各水平的平均值如表2-17所示。在质量指标愈大愈好的场合，利用直观分析应选取的较好因子水平组合是（　　）。[2006年真题]

表2-17

A．A₁B₃C₃

B．A₂B₂C₁

C．A₁B₁C₃

D．A₃B₃C₃

【答案】A

【解析】由于要求质量高，因此在每一因子各平均值中找一个最大值对应的水平，将它们组合起来便可以得到。从表可知，因子A中最大值对应的水平为A₁，因子B中最大值对应的水平为B₃，因子C中最大值对应的水平为C₃，故应取为A₁B₃C₃。

3．有3个二水平因子A、B、C及其交互作用A×C需要考察。用L₈（2⁷）安排试验，表头设计与各列平方和如表2-18所示。则检验交互作用A×C是否显著的统计量F的值为（　　）。[2008年真题]

表2-18

A．9.01

B．16.22

C．57.52

D．20.58

【答案】D

【解析】根据题意知，S_A=S₁=53.7，S_B=S₂=78.2，S_C=S₄=703.1，第5列的表头为A×C，所以交互作用平方和也为其所在列的平方和，记为S_A×C=S₅=253.1，S_A×C的自由度f_A×C为两因子自由度的乘积，即为1。由于第3、6、7列为空白列，所以误差平方和可以用这三列平方和之和来表示，即：S_e=S₃+S₆+S₇=5.7+3.1+28.1=36.9，其自由度为三列自由度的和，即f_e=3。所以MS_A×C=S_A×C／f_A×C=253.1/1=253.1，MS_e=S_e/f_e=36.9/3=12.3，则检验交互作用A×C是否显著的统计量F的值为：F=MS_A×C／MS_e=253.1/12.3≈20.58。

4．设因子A有3个水平，因子B有4个水平，则其交互作用A×B的自由度是（　　）。[2007年真题]

A．7

B．6

C．5

D．4

【答案】B

【解析】交互作用的自由度等于各因子自由度的乘积。因为A是三水平因子，其自由度为f_A=3-1=2；B是四水平因子，其自由度为f_B=4-1=3，从而交互作用A×B的自由度f_A×B=f_A×f_B=2×3=6。

5．试验设计的目的是（　　）。

A．以尽可能多的试验次数，获取较优生产条件

B．以尽可能少的试验次数，获取较优试验条件

C．通过全面试验，以获取较优试验条件

D．提高产品质量

【答案】B

【解析】由于对多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，不大可能进行全面试验，因而进行试验设计的目的就是以尽可能少的试验次数来获取较优的试验条件。

6．在试验设计中，设有五因子四水平的试验，则全面试验的次数为（　　）。

A．5×4=20

B．5⁴=625

C．4⁵=1024

D．5×4⁵=5120

【答案】C

【解析】对多因子（n）试验，如果只有一个水平，试验次数只有1次，即1ⁿ；对多因子（n）试验，如果有多个水平（q），则试验次数为qⁿ。

7．用正交表L₁₆（2¹⁵）直接安排试验时，最多安排（　　）个二水平因子。

A．2

B．14

C．15

D．16

【答案】C

【解析】正交表中p=15表示可以安排15个二水平因子的试验。

8．对于一张典型的正交表L_n（q^p），下列说法错误的是（　　）。

A．这说明用这张正交表安排实验时，要做n个不同的试验

B．这张正交表有p列，用它安排实验时最多可安排p个因子

C．这张表的主体有q个不同的数字

D．p代表因子水平编号，即用这张表安排实验时每个因子应取p个不同水平

【答案】D

9．在某正交试验中，有三因子三水平的试验，假定因子间无交互作用，则应选择的正交表是（　　）。

A．L₄（2³）

B．L₁₆（2¹⁵）

C．L₉（3⁴）

D．L₁₆（4⁵）

【答案】C

【解析】进行三水平的正交试验，应考虑使用三水平的正交表。正交表L_n（q^p）中，q表示因子水平的编号，因此选用L₉（3⁴）正交表。

10．在正交试验中，对试验结果进行极差分析时，下述说法正确的是（　　）。

A．因子A的极差越小，该因子越重要

B．因子A的极差越大，该因子越重要

C．因子A的某水平下的均值越大越好

D．因子A的某水平下的均值越小越好

【答案】B

【解析】因子的极差是该因子不同水平对应的试验结果均值的最大值与最小值的差，如果该值大，则改变这一因子的水平会对指标造成较大的变化，所以该因子对指标的影响大，反之，影响就小。

11．为提高某产品的产量，考虑三个三水平因子：反应温度（A），反应压力（B），溶液浓度（C）。当用正交表L₉（3⁴）安排试验时，因子A、B、C依次放在1、2、3列上，并且通过试验得到各列的极差，如表2-19所示，则各因子对指标的影响程度从大到小为（　　）。

表2-19

A．C、B、A

B．C、A、B

C．B、A、C

D．A、B、C

【答案】B

【解析】各因子对指标的影响程度的大小可以按极差从大到小排列得到。由表可得，R_C=5.87＞R_A=0.67＞R_B=0.62，因此各因子对指标的影响程度从大到小为C、A、B。

12．在无交互作用的正交设计与数据分析中，当试验指标不服从（　　）时，可以通过比较各因子的“贡献率”来衡量因子作用的大小。

A．指数分析

B．二项分布

C．泊松分布

D．正态分布

【答案】D

【解析】对于试验指标不服从正态分布时，进行方差分析的依据就不充分，就要比较各因子的“贡献率”来衡量因子作用的大小。

13．在无交互作用的正交试验中，对试验数据进行方差分析时，通常假定每一组试验条件下的试验数据服从的分布为（　　）。

A．二项分布

B．指数分布

C．均匀分布

D．正态分布

【答案】D

【解析】在无交互作用的正交试验中，对试验数据进行方差分析时，假定每一试验是独立进行的，每一试验条件下的试验指标服从正态分布，这时的均值可能不等，但方差是相等的；对于试验不服从正态分布时，进行方差分析的依据就不充分，就要比较各因子的“贡献率”来衡量因子作用的大小。

14．进行因子实验设计来判断因素A和因素B对某零件耐压性的作用，F检验表明因素间存在着明显的交互作用，这意味着（　　）。

A．或者A或者B对耐压性有明显的作用

B．因素A和B都影响零件的耐压性

C．仅当因素A水平确定时，才能估计改变因素B所带来的作用

D．当因素B处在一个不好的水平时，只要因素A处于好水平，耐压性就会增加

【答案】C

【解析】因素A和因素B的交互作用显著意味着因素B对耐压性的影响取决于因素A的水平或因素A对耐压性的影响取决于因素B的水平。

15．在有交互作用的正交试验中，设第五、六列为空白列，且每列的自由度皆为1，则下列结论成立的是（　　）。

A．f_e=1

B．f_e=2

C．f_e=3

D．S_e=S₅×S₆

【答案】B

【解析】在有交互作用的正交试验中，若第五、六列为空白列，则误差平方和用这两列平方和之和来表示，误差平方和的自由度f_e=∑f_空白列，即f_e=f₅+f₆=2。

16．用正交表L₁₅（2¹⁵）安排试验时，经过对试验数据进行方差分析后发现A与B的交互作用是显著的，并求得二维表2-20。因子A的两个水平下数据平均值分别为：91.5，89.5；因子B的两个水平下数据平均值分别为：92.0，89.0。如果要求指标值高，那么对因子A与B来讲应该以水平组合为（　　）。

表2-20

A．A₁B₁

B．A₁B₂

C．A₂B₁

D．A₂B₂

【答案】C

【解析】当两个因子的交互作用显著时，不管因子本身是否显著，只要从两个因子各种水平组合中找最好的即可。观察表中四个数据：90.5、93.5、92.5、85.5，可知93.5是最大的，其对应的水平组合为A₂B₁。

17．正交表的行数n不小于各因子与交互作用的自由度之和加“1”是用正交表安排试验的（　　）。

A．必要条件

B．充分条件

C．充分必要条件

D．不需要的条件

【答案】A

【解析】假设正交表的行数为n，那么用正交表安排试验的必要条件是n-1不小于各因子与交互作用的自由度之和。当存在交互作用的场合，这一条件满足时还不一定能用来安排试验，所以其仅是一个必要条件。

18．在正交试验中，根据表头设计避免混杂的原则，在选择正交表时应满足的条件是所考察的因子与交互作用自由度之和（　　）（假定正交表的行数为n）。

A．≤n

B．≤n+1

C．≤n-1

D．≥n+1

【答案】C

【解析】为避免混杂在选择正交表时就要满足考察的因子与交互作用自由度之和≤n-1，但这只是必要条件，即满足了这一条件还不一定能够安排试验。

19．某橡胶硫化工艺试验，其变动的因素有：因素A硫磺加入量为6％、8％二个水平；因素B硫化温度为140℃、142℃二个水平；因素C硫化时间为3h、4h二个水平。A因素与B因素有交互作用，A因素与C因素有交互作用。则选用的合适正交试验表为（　　）。

A．L₄（2³）

B．L₈（2⁷）

C．L₁₆（2¹⁵）

D．L₉（3⁴）

【答案】B

【解析】由于因子均为二水平的，故选用二水平正交表，又由于因子交互作用的自由度之和为：

f_A+f_B+f_C+f_A×B+f_A×C=1+1+1+1+1=5，故所选正交表的行数应满足：n≥5+1=6，所以选用L₈（2⁷）。

20．已知A、B、C、D为二水平因子，且要考察A×C，B×D的交互作用，用正交表安排实验时，应该选择（　　）。

A．L₈（2⁷）

B．L₄（2³）

C．L₁₆（2¹⁵）

D．L₂₇（3¹³）

【答案】C

【解析】由于因子均为二水平的，故选用二水平正交表；又由于因子交互作用的自由度之和为：

f_A+f_B+f_C+f_D+f_A×C+f_B×D=1+1+1+1+1+1=6，故所选正交表的行数应满足：n≥6+1=7；又由于L₈（2⁷）无法安排这四个因子与两个交互作用，因为不管四个因子放在哪四列上，两个交互作用或一个因子与一个交互作用总会共用一列，从而产生混杂，所以选用L₁₆（2¹⁵）。

二、多项选择题（每题的备选项中，有2个或2个以上符合题意，至少有1个错项）

1．正交表的正交性反映为（　　）。[2007年真题]

A．每列中每个数字重复次数不相同

B．每列中每个数字重复次数相同

C．将任意两列的同行数字看成一个数对，一部分可能数对重复次数相同

D．将任意两列的同行数字看成一个数对，一切可能数对重复次数相同

E．将任意两列的同行数字看成数对，一切可能数对重复次数不相同

【答案】BD

2．正交试验设计数据分析的结果表明，因子A与因子B的交互作用对某零件耐压性有显著的影响，这意味着（　　）。[2008年真题]

A．因子A或因子B对耐压性有显著的影响

B．因子A和因子B都是影响零件耐压性的显著因素

C．因子A与B的不同水平组合对耐压性有显著影响

D．当因子A、B均处于最优水平时，耐压性一定达到最优

E．单独来看，因子A和B可能对耐压性都没有显著影响

【答案】CE

【解析】在多因子试验中，除了单个因子对指标有影响外，有时两个因子不同水平的搭配对指标也会产生影响，这种影响如果存在就称为因子A与B的交互作用。一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一因子水平制约的情况，称为因子A与B的交互作用，用A×B表示。单独来看，因子A和B可能对耐压性都没有显著影响，但是相互作用就会对耐压性有显著影响。

3．用正交表安排试验时，应满足的条件是（　　）。[2007年真题]

A．因子的自由度与列的自由度相等

B．所有因子及其要考察的交互作用的自由度之和等于总试验次数

C．交互作用的自由度等于所在列自由度的乘积

D．交互作用的自由度等于所在列自由度的和

E．尽量避免因子与所考察的交互作用混杂

【答案】ADE

【解析】在表头设计时要尽量避免因子与所考察的交互作用混杂，这是表头设计的一个重要原则。在用正交表安排试验时，因子的自由度应与所在列的自由度相同，而交互作用所占列的自由度之和应与交互作用的自由度相同。即所考察的因子与交互作用自由度之和≤n-1。

4．将2个四水平因子A与B使用正交表L₁₆（4⁵）进行表头设计，则下列说法中，正确的有（　　）。[2010年真题]

A．因子A的自由度f_A=3

B．交互作用A×B的自由度f_A×B=6

C．交互作用A×B的自由度f_A×B=9

D．交互作用A×B在L₁₆（4⁵）占两列

E．交互作用A×B在L₁₆（4⁵）占三列

【答案】ACE

【解析】因子A、B均为4水平，则因子A、B的自由度均为3，其交互作用的自由度=3×3=9，因4水平正交表每列的自由度为3，根据交互作用自由度应与所占列的自由度之和相等，所以交互作用应占3列。

5．用正交表L₁₆（2¹⁵）安排试验，下列说法中，正确的有（　　）。[2010年真题]

A．需进行16个不同条件的试验

B．最多可安排二水平因子16个

C．若安排8个二水平因子及3个交互作用，仍有4个空白列

D．2个二水平因子的交互作用在L₁₆（2¹⁵）上占两列

E．每个因子的每个水平重复8次

【答案】ACE

【解析】L₁₆（2¹⁵）需进行16个不同条件的试验。共有15列，不能安排16个因子。8个因子及3个交互作用各占1列，仍有4个空白列。2个二水平因子的交互作用自由度为1,占1列。根据每列因子各水平重复次数相等的规则，每个因子的每个水平重复次数=16/2=8。

6．用L₂₇（3¹³）考察5个三水平因子及1个交互作用，表头设计如表2-21，则下列结论中，正确的有（　　）。[2010年真题]

表2-21

A．因子A的平方和S_A=S₁

B．交互作用C×D的平方和S_C×D=S₄+S₁₂

C．交互作用C×D的自由度f_C×D=2

D．误差平方和S_e=S₃+S₆+S₇+S₈+S₉+S₁₁

E．误差平方和的自由度f_e=6

【答案】ABD

【解析】A项，因子A在第一列，S_A=S₁；B项，交互作用的平方和是其各因子所在列的平方和，交互作用C×D占第4、12两列，则S_C×S_D=S₄+S₁₂。CDE三项，交互作用的自由度是其各因子自由度之积，则交互作用C×D的自由度=2×2=4，误差平方和是各空白列平方和之和，误差平方和自由度为各空白列自由度之和，则

S_e=S₃+S₆+S₇+S₈+S₉+S₁₁，自由度f_e=2×6=12。

7．设有一张正交表为：L₉（3⁴），正确的解释是（　　）。

A．“L”表示正交表的代号

B．“9”表示正交表的行数（试验次数）

C．“3”表示正交表的列数

D．“4”表示正交表的列数

E．“4”表示正交表的行数

【答案】ABD

【解析】C项,“3”表示主体只有3个不同的数字：1，2，3，在试验中它代表因子水平的编号，即用这张表安排试验时每个因子应取3个不同水平；E项,“9”表示正交表的行数。

8．用正交表L₂₅（2¹⁰）安排实验时，下列表述正确的有（　　）。

A．有10个不同条件的实验

B．有25个不同条件的实验

C．最多可安排10个因子

D．每一个因子可以取两个不同水平

E．此正交表共有10行

【答案】BCD

【解析】正交表的代号L_n（q^p）中：n是表的行数，它表示用该正交表安排试验时需要进行n个不同条件的试验；p是表的列数，它表示用该正交表安排试验时最多可安排的因子数；q表示用该正交表安排试验时因子的水平数。

9．下列关于正交表的说法正确的有（　　）。

A．正交试验设计利用“正交表”选择实验条件，并利用正交表的特点进行数据分析，找出最好或满意的实验条件

B．正交表具有正交性

C．正交表中每列中每个数字重复次数相同

D．将正交表中任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同

E．利用正交表选择的实验点在试验空间中的分布是离散分布的

【答案】ABCD

【解析】E项,利用正交表选择的实验点在试验空间中的分布是均匀分布的，因此是连续分布的。

10．在正交设计中，因子都是二水平，可以选择的正交表有（　　）。

A．L₄（2³）

B．L₉（3⁴）

C．L₁₆（2¹⁵）

D．L₂₇（3¹³）

E．L₃₂（2³¹）

【答案】ACE

【解析】在正交设计中，因子都是二水平，需要选择二水平的正交表，L₉（3⁴）和L₂₇（3¹³）都是三水平的正交表。

11．无交互作用的正交设计中试验的设计应考虑（　　）。

A．明确试验目的

B．明确试验指标

C．确定因子与水平

D．选用合适的正交表

E．进行数据的方差分析

【答案】ABCD

【解析】在安排试验时，一般应考虑如下几步：①明确试验目的；②明确试验指标；③确定因子与水平；④选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划。

12．当一个试验中不考虑交互作用，那么应按（　　）条件选择最好。

A．取所有因子的最好的水平组合

B．所有因子可以选择任意水平

C．对显著因子找出最好水平组合

D．对不显著因子可以选择任意水平

E．对不显著因子找出最好水平组合

【答案】CD

【解析】当一个试验中不考虑交互作用，那么在选择最好条件时，对显著因子应找出最好水平组合，对不显著因子可以选择任意水平。

13．在正交试验中，对试验结果进行方差分析时，方差分析表中的表头内容包括（　　）。

A．数据来源

B．偏差平方和及其自由度

C．因素水平表

D．均方和及F比

E．水平数

【答案】ABD

【解析】方差分析表的表头内容包括：数据来源、平方和、自由度、均方和及F比。

14．在一个用L₉（3⁴）安排的正交设计中，表头设计与各列平方和如表2-22所示，从F分布表查得F_0.90（2，2）=9.0，F_0.95（2，2）=19.0，则有（　　）。

表2-22

A．S_e=S₄

B．三个因子都是显著的

C．在显著性水平0.1上因子A是显著的

D．在显著性水平0.05上因子B是显著的

E．在显著性水平0.05上因子C是显著的

【答案】ACD

【解析】表2-22第四列为空白列，S_e=S₄，三个因子作检验的F比分别为：

=15；

=58.07；

=5.32。

由于9.0＜F_A＜19.0，F_B＞19.0，F_C＜9.0，所以因子A在显著性水平0.1上是显著的，因子B在显著性水平0.05上是显著的。对于显著性水平0.1和0.5，因子C都是不显著的。

15．在一个用L₉（3⁴）的正交试验中，各列的偏差平方和如表2-23所示，给定F_0.90（2，2）=9.0、F_0.95（2，2）=19.0，下列与本数据结果有关的正确项有（　　）。

表2-23

A．A、B、C为显著（α=0.05）

B．A因子（α=0.10）显著

C．B因子（α=0.05）显著

D．S₄≠S_e

E．C因子（α=0.05）不显著

【答案】BCE

【解析】由题意知，因子水平数均为3，S_A=1320，S_B=5110，S_C=468，S_e=88，其中，S₄=S_e；f_A=f_B=f_C=2，f_e=2。则=15，同理可得F_B=58.07，F_C=5.32，因为F_0.90（2，2）＜F_A＜F_0.95（2，2）；F_B>F_0.95（2，2）；F_C＜F_0.90（2，2），所以A因子（α=0.10）显著，B因子（α=0.05）显著，C因子都不显著。

16．在一个L₈（2⁷）正交试验中，因子A、B、C、D的F比如表2-24所示，则辨别因子的显著性情况为（　　）。

表2-24

A．A因子（在α=0.05）为显著

B．B因子（在α=0.01）为显著

C．B因子（在α=0.05）为显著

D．C因子（在α=0.01）为显著

E．D因子为不显著

【答案】ACDE

【解析】由题意，F_A=12.96,F_B=15.85,F_C=43.15,F_D=1.55。又F_0.95（1，3）＜F_A＜F_0.99（1，3）；F_0.95（1，3）＜F_B＜F_0.99（1，3）；F_C>F_0.99（1，3）；F_D＜F_0.95（1，3），所以A因子（在α=0.05）显著，B因子（在α=0.05）显著，C因子（在α=0.01）显著，D因子为不显著。

17．在用正交表L₁₆（2¹⁵）安排试验时，若每一条件下进行一次试验，记T_i为第i水平下试验数据之和，T为全部数据之和，则任一列的平方和的计算公式是（　　）。

E．（T₁+T₂）²-T²

【答案】CD

【解析】在L₁₆（2¹⁵）中，总试验次数为16次，每一列一水平与二水平都重复了8次，即任一列的平方和。对于二水平正交表T=T₁+T₂，代入公式S=，整理可得S=

18．下列正交表能用来考察因子间的交互作用的影响的有（　　）。

A．L₃₂（2³¹）

B．L₁₆（4⁵）

C．L₁₈（3⁷）

D．L₁₂（2¹¹）

E．L₈（2⁷）

【答案】ABE

【解析】正交L_n（q^p）中，如果表的行数n，列数p，水平数q之间满足以下等式：n=q^k，k=2，3，4，…，p=（n-1）/（q-1），则这一类正交表不仅可以考察各因子对试验指标的影响，有的还可考察因子间的交互作用的影响。

19．用正交表L₂₇（3¹³）安排试验时，将三水平因子A、B分别放在笫一列和第二列上，那么对A与B的交互作用来讲，下列叙述（　　）是正确的。

A．交互作用的自由度为2

B．在三水平正交表上交互作用应占一列

C．交互作用的自由度为4

D．在三水平正交表上交互作用应占两列

E．交互作用的自由度为3

【答案】CD

【解析】因为A与B都是三水平因子，因此f_A=f_B=2，从而交互作用的自由度f_A×B=f_A×f_B=2×2=4。又三水平正交表一列的自由度是2，根据交互作用自由度应该与所占列的自由度之和相等，所以交互作用在三水平正交表中要占两列。

20．用正交表安排试验时，通过方差分析发现因子A及交互作用A×B都是显著的，但C、D是不显著的，那么应按（　　）寻找最好条件。

A．找出因子D的最好水平

B．找出因子A的最好水平

C．找出因子A与B的最好水平搭配

D．找出因子C的任意水平

E．找出因子C与D的最好水平搭配

【答案】CD

【解析】当交互作用A×B显著时，不管因子A与B本身是否显著，需要从A与B的水平搭配中找最好的，对不显著因子可以找任意水平。

21．用正交表L₈（2⁷）安排试验时，通过方差分析发现因子A，C及交互作用A×B都是显著的，而B与D是不显著的，那么应该按（　　）寻找最好的条件。

A．找出因子A的最好水平

B．找出因子C的最好水平

C．找出因子A与B的最好水平搭配

D．找出因子D的最好水平

E．找出因子B与D的最好水平搭配

【答案】BC

【解析】当交互作用A×B显著时，不管因子A与B本身是否显著，只要从A与B的水平搭配中找最好的就可以了，对显著因子应该找出最好的水平，对不显著因子可以找任意水平。

22．在正交试验的表头设计中，混杂现象包括（　　）。

A．在同一列中出现一个因子

B．在同一列中出现两个因子

C．在同一列中出现一个因子和一个交互作用

D．在同一列中出现两个交互作用

E．在同一列中出现一个交互作用

【答案】BCD

【解析】在进行表头设计时，若一列上出现两个因子，或两个交互作用，或一个因子与一个交互作用时，称为混杂现象，简称混杂。

三、综合分析题（由单项选择题和多项选择题组成）

（一）为了使某橡胶阀座的硬度指标y满足76±3，进行配方调整试验，着重考察4个因子A、B、C、D及交互作用A×B，每个因子取两个水平，选用L₈（2⁷）正交表。试验方案设计及根据试验所得数据的计算结果如表2-25和2-26所示。由于要求硬度指标y适中为好，所以表下方T₁、T₂、S的数值是通过y′=|y－76|变换后的数据计算而得。因此对y′而论，要求愈小愈好。试回答以下问题。[2006年真题]

表2-25

表2-26　A与B各水平组合下试验结果均值

1．取显著性水平α=0.10，F检验临界值F_0.90（1，2）=8.53，则对硬度指标有显著影响的因子是（　　）。

A．A，B，C

B．C，A×B，B，D

C．C，A×B

D．C，A×B，B

【答案】D

【解析】由题意，各因子水平数为2，所以f_A=f_B=f_C=f_D=f_A×B=1，误差平方和的自由度是空白列自由度之和，所以f_e=2，误差平方和是空白列平方和之和，所以S_e=2.5，则：=3.6，

=14.4，=48.4，F_D==6.4，F_A×B==40，有F_B>8.53,F_C>8.53及F_A×B>8.53，所以因子B、C、A×B对指标有显著影响。

2．通过试验结果的计算分析，可得各因子的较优水平组合是（　　）。

A．A₁B₁C₂D₂

B．A₂B₂C₁D₁

C．A₂B₁C₂D₂

D．A₁B₂C₁D₂

【答案】C

【解析】因为A与B因子交互作用显著，不管因子本身是否显著，只要从各水平组合中找最好的即可，即选择指标值大的，故选A₂B₁；因子C的两个均值分别为：=10,=21，指标均值大的水平好，故选C2；因子D的两个均值分别为：==13．5，=17．5，同理选D₂。因此，各因子的较优水平组合是A₂B₁C₂D₂。

3．交互作用A×B的贡献率是（　　）。

A．41.46％

B．42.52％

C．35.84％

D．33.97％

【答案】D

【解析】由题意，S_因=50，f_因=1，MS_e=S_e/f_e=2.5/2=1.25；纯离差平方和=S_因－f_因MS_e=50-1×1.25=48.75，

S_T=4.5+18+…2.0+8.0=143.5。因子（A×B）的贡献率=因子的纯离差平方和/S_T=48.75/143.5=33.97%。

4．取显著性水平α=0．10，对硬度指标有显著影响的因子的主次关系是（　　）。

A．A→D→B→C

B．C→B→D→A

C．C→A×B→B

D．C→A×B→B→D

【答案】C

【解析】在显著因子中，F比越大，对指标的影响越强。由题1知，对硬度指标有显著影响的三个因子B，C，A×B的主次关系是C→A×B→B。

（二）为提高某化工产品的性能指标，选择三个因子A，B，C，每个因子各取3个水平，并用正交表L₉（3⁴）安排试验（见表2-27表头），根据9个试验结果可算得各水平对应的试验结果之和如表2-27所示。[2007年真题]

表2-27

1．用极差对因子主次排序，结果是（　　）。

A．A，B，C

B．A，C，B

C．C，A，B

D．C，B，A

【答案】B

【解析】因子A，B，C的极差分别为R_A＝63-3＝60，R_B＝39-24＝15，R_C＝57-9＝48，极差越大，因子对指标的影响越强。则排序结果为A、C、B。

2．用直观分析法，使性能指标愈大愈好的最佳水平条件是（　　）。

A．A₃B₁C₁

B．A₃B₂C₁

C．A₃B₂C₂

D．A₃B₂C₃

【答案】C

【解析】根据题意可知，对于因子A有：

则因子A的三水平好；同理可得因子B的二水平好，因子C的二水平好，所以使性能指标愈大愈好的最佳水平条件是A₃B₂C₂。

3．已算得L₉（3⁴）表中各列的平方和为S₁＝618，S₂＝42，S₃＝402，S₄＝18。则各因子及误差的均方分别是（　　）。

A．MS_A＝309

B．MS_B＝57

C．MS_C＝201

D．MS_e＝9

【答案】ACD

【解析】因子A、B、C分别置于第一列、第二列和第三列，S_A=S₁，S_B=S₂，S_C=S₃，S_e=S4，而因子A、B、C的自由度均为2，则MS_A=S_A/f_A=618/2=309，同理可得MS_B＝21，MS_C＝201；而误差的自由度为正交表上空白列的自由度相加，所以f_e=2，MS_e=S_e/f_e=9。

4．若取α＝0.05，查表得F_0．95（2，2）＝19.0，则显著因子有（　　）。

A．A；B；C

B．A；B

C．A；C

D．B；C

【答案】C

【解析】据题意可得,F_A=MS_A/MS_e=309/9≈34.33>19.0，F_B=MS_B/MS_e=21/9≈2.33<19.0，F_C=MS_C/MS_e=201/9≈22.33>19.0，所以因子A、C为显著因子。

（三）对某种型号的弹簧的生产工艺进行正交试验设计，试验指标为弹簧的弹性值。该项试验的目的是提高弹簧的弹性值。试验设计中的因素、水平、正交表及试验结果等如表2-28所示。

表2-28  弹簧生产工艺的正交试验方案表

1．直观看最佳方案为（　　）。

A．A₁B₂C₂

B．A₁B₁C₂

C．A₃B₂C₁

D．A₁B₁C₁

【答案】B

【解析】第二列中的1，2，3分别表示因子A的三个水平，按水平号将数据分为三组：“1”对应{y₁，y₂，y₃}，“2”对应{y₄，y₅，y₆}，“3”对应{y₇，y₈，y₉}。由表2-28可知，“1”对应的三个试验结果的平均值为=T₁/3=1130/3≈376.7；“2”对应的三个试验结果的平均值为=T₂/3=1000/3≈333.3；“3”对应的三个试验结果的平均值为=T₃/3=946/3≈315.3。、、之间的差异反映了A的三个水平间的差异，可知A的一水平最好。同理可知，B的一水平最好，C的二水平最好。所以，直观看最佳方案为A₁B₁C₂。

2．极差分析得到的最佳方案为（　　）。

A．A₁B₂C₂

B．A₁B₁C₂

C．A₃B₂C₁

D．A₁B₁C₁

【答案】B

【解析】具体分析如下：

极差R越大的因子对指标的影响就越大，因此取极差最大的因子，所以最佳方案为A₁B₁C₂。

（四）为提高某化工产品的产量，用L₈（2⁷）安排的一个正交试验，各因子的偏差平方和如表2-29所示。A与B各水平组合下试验结果均值如表2-30所示。A、B、C和D各因子每一水平下的试验均值如表2-31所示。

表2-29

表2-30

表2-31

1．误差的自由度为（　　）。

A．1

B．2

C．7

D．8

【答案】B

【解析】正交表L_n（q^p），当表中行数n、列数p与水平数q满足n=q^k，k=2，3，4，…；

p=（n-1）／（q-1）时，对离差平方和有关系式S_T=S₁+S₂…+S_p，同样对自由度也有相应关系式：f_T=f₁+f₂+…+f_p=n-1。由题意，正交表L₈（2⁷）满足要求，且各因子水平数为2，所以f_A=f_B=f_C=f_D=f_A×B=1，因此，f_T=n-1=8-1=7，误差自由度f_e=f_T－f_A－f_B－f_C－f_D－f_A×B=7-5=2。

2．当α=0.05时，F检验的临界值为F_0.95（1，2）=18.5，下列结论正确的有（　　）。

A．因子A，B均显著

B．交互作用A×B不显著

C．因子C，D均不显著

D．最优搭配为A₁B₂C₂D₂

【答案】D

【解析】误差平方和S_e=1，则

F_C=有F_A>18．5,F_C>18．5,F_D>18.5及

F_A×B>18.5,所以因子A、C、D和因子A×B显著。寻找最佳搭配时，因为A与B因子交互作用显著，不管因子本身是否显著，只要从各水平组合中找最好的即可，即选择均值大的，故选A₁B₂；因为C因子显著，所以寻找C因子的最大均值，即选择C₂，又因为D因子显著，所以寻找D因子的最大均值，即选择D₂。因此A₁B₂C₂D₂是最佳搭配。