第三节　空间任意力系的简化及平衡问题

当空间力系中各力的作用线在空间任意分布时，称其为空间任意力系。

一、空间任意力系的简化

如图3-11所示，刚体上有（F1，F2，…，Fn）空间任意力系作用，其对简化中心O点简化。与平面任意力系的简化方法一样，应用力的平移定理，依次将作用于刚体上的每个力向简化中心O点平移，同时附加一个相应的力偶。

这样，原来的空间任意力系被简化成空间汇交力系和空间力偶系两个简单力系。根据空间汇交力系和空间力偶系的简化与合成，得：

　　 （3-25） 　　

　　 （3-26） 　　

可得结论如下：空间任意力系向任一点O简化，可得一个合力和一个合力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个合力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。

由式（3-8）、式（3-9）和式（3-22）即可求出此力系主矢和主矩的大小和方向余弦。

二、空间任意力系的简化结果分析

现分别讨论可能出现的几种情况。

1.空间任意力系简化为一合力偶的情形

若主矢，主矩MO≠0，可得一合力偶。其合力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。

2.空间任意力系简化为一合力的情形

若主矢，而主矩MO=0，可得一合力。其合力的作用线通过简化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。

若主矢，主矩MO≠0，且［图3-12（a）］。这时，力和力偶矩矢为MO的力偶（，FR）在同一平面内［图3-12（b）］，可将力与力偶进一步合成，得作用于点O’的一个力FR［图3-12（c）］。此力即为原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢。其作用线离简化中心O的距离为：

　　 （3-27） 　　

3.空间任意力系简化为力螺旋的情形

若主矢和主矩都不等于零，而，这种简化结果称为力螺旋，如图3-13所示。所谓力螺旋就是由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的力系，不能再进一步合成。力偶的转向和力的指向符合右手螺旋定则的称为右螺旋［图3-13（b）］，符合左手螺旋定则称为左螺旋［图3-13（d）］。

若，MO≠0，同时两者既不平行，又不垂直，如图3-14（a）所示。此时可将MO分解为两个分力偶矩矢和，它们分别垂直于和平行于，如图3-14（b）所示。上述两种情况已经讨论过，可知这种情况可合成为力螺旋。其中心轴不在简化中心O，而是通过另一点O'，如图3-14（c）所示。O、O’两点间的距离为：

　　 （3-28） 　　

4.空间任意力系简化为平衡的情形

若主矢，主矩MO=0，空间任意力系平衡。

三、空间任意力系的平衡方程

空间任意力系平衡的必要和充分条件是：该力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即：

　　 （3-29） 　　

因此，空间任意力系的平衡方程为：

　　 （3-30） 　　

式（3-30）表达了空间任意力系平衡的必要和充分条件为：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和都必须分别等于零。

利用该六个独立平衡方程式，可以求解六个未知量。

从空间任意力系的平衡规律可以看出一些特殊情况的平衡规律，例如空间汇交力系、空间平行力系等。以空间平行力系为例，推导其平衡方程。各力作用线互相平行的空间力系称为空间平行力系（图3-15）。取坐标系Oxyz，令z轴与力系中各力平行，则不论力系是否平衡，都自然满足∑Fx=0，∑Fy=0，∑Mz（F）=0。

于是空间平行力系的平衡方程为：

∑Fz=0，　∑Mx（F）=0，　∑My（F）=0　　（3-31）

【例3-4】　传动轴如图3-16所示，以A、B两轴承支承。圆柱直齿轮的节圆直径d=17.3mm，压力角α=20°，在法兰盘上作用一力偶，其力偶矩M=1030N·m。如轮轴自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时A、B两轴承的反力及齿轮所受的啮合力F。

解　①取整个轴为研究对象。设A、B两轴承的反力分别为FAx、FAz、FBx、FBz，并沿x、z轴的正向，此外还有力偶M和齿轮所受的啮合力F，这些力构成空间一般力系。

②取坐标轴如图所示，列平衡方程

　　　　　　∑My（F）=0，　　　　　　-M+Fcos20°×d/2=0

　　　　　　∑Mx（F）=0，　　　　　　Fsin20°×220+FBz×332=0

　　　　　　∑Mz（F）=0，　　　　　　-FBx×332+Fcos20°×220=0

　　　　　　∑Fx=0，　　　　　　　　FAx+FBx-Fcos20°=0

　　　　　　∑Fz=0，　　　　　　　　FAz+FBz+Fsin20°=0

联立求解以上各式，得F=12.67kN，FBz=-2.87kN，FBx=7.89kN，FAx=4.02kN，FAz=-1.46kN

【例3-5】　在图3-17（a）中，皮带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000N。已知皮带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm，皮带1和皮带2与铅垂线间夹角分别为α和β，α=30°，β=60°［参见图3-17（b）］，其他尺寸如图所示。求皮带拉力和轴承反力。

解　以整个轴为研究对象。在轴上作用有皮带的拉力F1、F2，作用在曲柄上的力F，轴承反力FAx、FAz、FBx和FBz。轴受空间任意力系作用，选坐标轴如图所示，列出平衡方程：

∑Fx=0，F1sin30°+F2sin60°+FAx+FBx=0

∑Fy=0，0=0

∑Fz=0，-F1cos30°-F2cos60°-F+FAz+FBz=0

∑Mx（F）=0，F1cos30°×200+F2cos60°×200-F×200+FBz×400=0

∑Mz（F）=0，F1sin30°×200+F2sin60°×200-FBz×400=0

又有

F2=2F1

联立上述方程，解得：

F1=3000N，F2=6000N

FAx=-1004N，FAz=9397N

FBx=3348N，FBz=-1799N

此题中，平衡方程∑Fy=0成为恒等式，独立的平衡方程只有5个；在题设条件F2=2F1之下，才能解出上述6个未知量。