第四节 重心
在非惯性系中，物体所受各万有引力和惯性力的合力叫重力。若将物体看成由无数的质点组成，由于距离地心较远，诸质点所受的地心引力作用可看成一组空间平行力系，这个力系的合力的大小就是物体的重力。不论物体如何放置，其重力的合力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心。在不改变物体形状的情况下，物体的重心与其所在位置和如何放置无关。均匀重力场时，重心等同于物理上的质心（物体的质量中心）。有规则形状、质量分布均匀的物体的重心在它的几何中心上。
一、重心坐标的一般公式
在空间坐标系中，有物体总重量为P，重心在C处。ΔPi为组成物体的微元体的重量，其重心位置为Ci且P=∑ΔPi。xc，yc，zc是物体重心坐标，xi，yi，zi是ΔPi的重心坐标，如图3-18所示。分别对x、y轴取矩，根据合力矩定理可推导出物体重心位置坐标xc，yc。再将物体连同坐标轴绕y轴转90°，使z轴处于水平位置，对z轴取矩，则可得位置坐标zc。
图3-18
即：
整理可得：
（3-32）
对于均质物体，若微元体的体积为ΔVi，密度为ρi，则Pi=ρigΔVi。其中ρi=常量。若物体不仅是均质的，而且是等厚板或壳，有ΔVi=ΔAih，h为厚度，ΔAi为微元面积。于是重心（或形心）坐标公式为：
（3-33）
二、简单几何形体的重心
很多常见的物体往往具有一定的对称性，如具有对称面、对称轴或对称中心，此时，重心必在物体的对称面、对称轴或对称中心上。均质简单几何形体的重心一般可通过积分求得。机械设计手册中，可查得常用基本几何形体的形心位置，表3-1列出了其中的几种。
表3-1 基本形体的形心位置
三、组合形体的重心
工程中很多构件往往是由几个简单的基本形体组合而成的，即所谓组合体。若组合体中每一基本形体的重心（或形心）是已知的，则整个组合体的重心（或形心）可用分割法或负面积（负体积）法求出。
1.分割法
若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用式（3-32）求出。
【例3-6】 试求Z形截面重心的位置，其尺寸如图3-19所示。
图3-19
解 将Z形截面看作由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个矩形面积组合而成，每个矩形的面积和重心位置可方便求出。取坐标轴如图3-19。
Ⅰ：A1=300mm2，x1=15mm，y1=45mm
Ⅱ：A2=400mm2，x2=35mm，y2=30mm
Ⅲ：A3=300mm2，x3=45mm，y3=5mm
按式（3-33）求得该截面重心的坐标xc、yc为：
2.负面积法（负体积法）
若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。今以【例3-7】说明。
【例3-7】 求图3-20所示图形的形心，已知大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的中心距为a。
图3-20
解 取坐标系如图3-20所示，因图形对称于x轴，其形心在x轴上，故yc=0。
图形可看作由两部分组成，挖去的面积以负值代入，两部分图形的面积和形心坐标为
A1=πR2，x1=y1=0
A2=-πr2，x2=a，y2=0
可得：
