第二节　力对点和轴的矩及空间力偶

一、力对点之矩矢

从平面力系力对点之矩可知，力除了能使物体移动外，还能使物体转动。扳手拧紧螺母、杠杆、滑轮等简单机械，就是加力使物体产生转动效应的实例。若力为空间的力如图3-6所示，空间力F，使刚体在OAB平面内绕O点转动，这就是空间力F对O点的矩。在空间，力对点之矩矢的概念不仅包括力矩的大小和转向，还包括力与矩心所组成的平面的方位。方位不同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。因此，在研究空间力系时，力对点之矩矢有三个要素：力矩的大小和转向、力与矩心所确定平面的方位。

力F对点O的矩的矢量记作MO（F）：

MO（F）=r×F　　（3-12）

式中，r表示力F作用点A的矢径。则矢积r×F的模等于三角形OAB面积的2倍，其方向与力矩矢MO（F）一致。即力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。

设i、j、k分别为坐标轴x、y、z方向的单位矢量。力在三个坐标轴上的投影分别为Fx、Fy、Fz，则矢径r和力F分别为：

r=xi+yj+zk

F=Fxi+Fyj+Fzk

代入式（3-12），并采用行列式形式，得：

　　 （3-13） 　　

可以看出，单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别是力对点的矩矢MO（F）在x、y、z轴上的投影，即：

　　 （3-14） 　　

由于力矩矢量MO（F）的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量。

二、力对轴之矩

在工程和生活中，常会遇到刚体绕定轴转动的情形，如门绕铰链的转动，齿轮绕主轴的转动等。为了度量力对绕定轴转动刚体的作用效应，需要了解力对轴之矩的概念。以开关门为例，如图3-7（a）所示，门轴z轴为固定轴，在A点作用一力F，为度量此力对刚体的转动效应，可将该力F分解为两个互相垂直的分力：一个是与转轴平行的分力Fz；另一个是在与转轴垂直平面上的分力Fxy。其中分力Fz平行z轴，不能使门转动，故它对z轴之矩为零；只有分力Fxy才能产生使门绕z轴转动的效应。

若以d表示Fxy作用线到z轴与平面的交点O的距离，则Fxy对O点之矩，就可以用来度量力F使门绕z轴转动的效应，记作：

Mz（F）=MO（Fxy）=±Fxyd　　（3-15）

力对轴之矩是来用度量力对刚体绕定轴转动效应的。它是一个代数量，其绝对值等于此力在垂直该轴平面上的投影对该轴与此平面的交点的矩。其正负代表其转动作用的方向。从z轴正向看，逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负［或用右手法则确定其正负，如图3-7（b）］。力对轴之矩的单位是N·m。

力对轴之矩等于零的情况：

①当力的作用线与轴平行（Fxy=0）；

②当力与轴相交时（d=0）。

以上两种情况可解释为当力与轴共面时，力对该轴之矩等于零。

根据合力矩定理，力对轴之矩还可用解析式表达，如图3-8所示。力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz。力作用点A的坐标为x、y、z，得：

Mz（F）=MO（Fxy）=MO（Fx）+MO（Fy）

即：

Mz（F）=xFy-yFx　　（3-16）

同理可得力F对其他两轴的矩。以下三式是计算力对轴之矩的解析式。

　　 （3-17） 　　

【例3-3】　如图3-9所示手摇曲柄上F对x、y、z轴之矩。已知F为平行于xz平面的力，F=100N，α=60°，AB=20cm，BC=40cm，CD=15cm，A、B、C、D处于同一水平面上。

解　力F在x和z轴上有投影：

Fx=Fcosα，Fz=-Fsinα

计算F对x、y、z各轴的力矩：

Mx（F）=-Fz（AB+CD）=-100×sin60°（0.2+0.15）=-30.31N·m

My（F）=-Fz·BC=-100×sin60°×0.4=-34.64N·m

Mz（F）=-Fx（AB+CD）=-100×cos60°（0.2+0.15）=-17.5N·m

三、力对点的矩矢与力对轴之矩的关系

比较式（3-14）与式（3-17），可以看出，力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。即：

　　 （3-18） 　　

若力对通过点O的直角坐标轴x、y、z的矩已知，则可求出该力对点O的矩的大小和方向余弦：

　　 （3-19） 　　

四、空间力偶

1.力偶矩以矢量表示

与平面力偶相比较，空间力偶对刚体的作用除了与力偶矩大小有关外，还与其作用面的方位及力偶的转向有关，可用力偶矩矢来度量。

因此，空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素：

①力偶矩的大小；

②力偶作用面的方位；

③力偶的转向。

设有空间力偶（F，F′），其力偶臂为d，如图3-10（a）所示。那么力偶矩的大小M=Fd；其方位与力偶作用面的法线方位相同；从力偶矩矢的末端看去，逆时针力偶为正；力偶矩矢的指向与力偶转向的关系服从右手螺旋规则［如图3-10（b）］。力偶可在同平面内任意移转，并可搬移到平行平面内，故力偶矩矢为自由矢量。

2.空间力偶系的合成与平衡条件

任意多个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即：

　　 （3-20） 　　

合力偶矩矢的解析表达式为：

M=Mxi+Myj+Mzk　　（3-21）

其中Mx，My，Mz为合力偶矩矢在x、y、z轴上的投影。

若空间有若干个力偶，其力偶矩矢都可向三个轴投影，投影后的同轴的力偶矩代数求和，分别可得到∑Mx、∑My、∑Mz，设i、j、k分别为x、y、z三个坐标轴的单位矢量。其合力偶矩矢的大小和方向余弦可用下列公式求出，即：

　　 （3-22） 　　

由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即：

　　 （3-23） 　　

由式（3-22），即：

欲使式（3-23）成立，必须同时满足：

　　 （3-24）