第四节平面任意力系的简化_理论力学-QQ阅读男生玄幻网

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第四节　平面任意力系的简化

一、力的平移定理

定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的力矩。

证：设力F作用在刚体上的A点，如图2-17（a）所示，现将力F平行移动到B点。根据加减平衡力系公理，在B点上加一对平衡力（F′，F″），令它们的作用线平行于力F，且F=F′=-F″，如图2-17（b）所示，这三个力组成的力系与原力是等效的。将这三力看成一个作用在B点的力F′和一个力偶（F″，F）。因此，原来作用在A点的力F，现在被一个作用在B点的力F′和一个力偶（F″，F）所代替，如图2-17（c）所示，从而实现了力的平行移动。附加上的力偶的矩为：

M=Fd=MB（F）

图2-17

即附加力偶矩等于力F对平移点B之矩。因此定理得证，该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或者说一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。反过来，根据力的平移定理，可证明其逆定理也成立，即同平面内的一个力和一个力偶可合成为一个力。

二、平面力系向一点的简化

刚体上作用有多个力组成的平面任意力系F1、F2、…、Fn，如图2-18（a）所示。从力系作用的平面内任选一点O，O点称为简化中心。根据力的平移定理，将力系中诸力分别平移到简化中心O点，结果是得到作用于O点的平面汇交力系、、…、，以及由相应的附加力偶组成的平面力偶系M1、M2、…、Mn，如2-18（b）所示，其中有：

图2-18

这些附加力偶的矩分别等于力F1、F2、…、Fn对O点的矩，即：

M1=MO（F1）、M2=MO（F2）、…、Mn=MO（Fn）

分别对平移后得到的两个简单力系进行合成。平面汇交力系可以进一步合成为作用线通过简化中心O的一个力，称为平面任意力系的主矢，如图2-18（c）所示，其大小和方向等于原来各力的矢量和，即：

　　（2-13）　　

平面力偶系可以合成为一个力偶，这个力偶的矩MO称为平面任意力系对简化中心O点的主矩，等于各个附加力偶矩的代数和，也就是原来各力对O点的矩的代数和，即：

　　（2-14）　　

综上所述，一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得到一个力和一个力偶。这个力的作用线通过简化中心O点，其大小和方向等于力系中各个力的矢量和，称为平面任意力系的主矢。这个力偶的矩等于力系中各力对O点的矩的代数和，称为平面任意力系对简化中心O点的主矩。

因为主矢等于各力的矢量和，并不涉及作用点，所以它和简化中心的选择无关；而主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，当取不同的点为简化中心时，各力的力臂将有改变，各力对简化中心的矩也随之改变，所以在一般情况下主矩和简化中心的选择有关。因此，涉及主矩时，必须指明是力系对哪一点的主矩。

主矢的大小和方向通过O点选取直角坐标系Oxy，如图2-18（c）所示，用合力投影定理可知：

故主矢的大小和方向分别为：

　　（2-15）　　

式中，i、j分别为沿x、y轴正向的单位矢量。

根据平面力系向作用面内一点简化的结果，可能有下面四种情况。

①，MO≠0。力系的主矢等于零，主矩MO不等于零时，显然，主矩与原力系等效，即原力系可合成为合力偶，合力偶矩为。

因为力偶对于平面内任意一点之矩都相同。因此，在这种情况下，主矩与简化中心的选择无关。

②，MO=0。当力系的主矩MO等于零，主矢不等于零时，显然，主矢与原力系等效，即原力系可合成为一个合力，合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心O。

③，MO≠0。当力系的主矢、主矩都不等于零时，如图2-19（a）所示，根据力的平移定理的逆定理，主矢和主矩可合成为一合力。如图2-19（b）所示，将主矩为MO的力偶用两个力和FR表示，并令，然后去掉平衡力系（，），则主矢和主矩合成为一个作用在点O′的力FR。如图2-19（c）所示，这个力FR就是原力系的合力，合力矢等于主矢；合力的作用线在O点的哪一侧，应根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到O点的距离d，可按下式算得：

图2-19

④，MO=0。平面力系的主矢、主矩均等于零时，原力系平衡，这种情形将在下节详细讨论。

三、固定端约束

利用平面任意力系简化理论，分析一种工程中较为常见的约束类型——固定端约束（插入端约束）及其约束力的表示方法。约束和被约束物体彼此固结为一体，既限制物体的移动，同时又限制物体转动的约束，称为固定端约束（插入端约束）。例如，插入建筑物墙内的阳台、输电线的电线杆、固定在刀架上的车刀等，都是此种约束。上述实例中的阳台、电线杆、车刀等物体可以简化成一个杆件插入固定面的形式，如图2-20（a）所示。杆上受到平面力系作用时，插入墙壁的固定端部分受到的约束力是杂乱分布的，可视为平面任意力系，如图2-20（b）所示。选择插入点A为简化中心，将这群力向点A简化，结果为作用在A点的一个力FA和一个力偶MA。因此，在平面力系情况下，固定端A处的约束力可简化为一个力和一个力偶，如图2-20（c）所示。通常这个力FA的大小和方向均未知，用两个未知约束分力FAx和FAy表示，用MA表示约束力偶。约束力FAx和FAy限制杆端沿平面内任何方向的移动，称为固定端反力；约束力偶MA限制杆在平面内的转动，称为固定端反力偶。因此，固定端约束包含三个未知量，如图2-20（d）所示。