第三节 力偶系合成及平衡
一、力偶的概念
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶，记作（F，F′），如图2-12（a）所示。力偶的两力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两力所在的平面称为力偶作用面。工程实际和日常生活中，司机用双手转动方向盘，如图2-12（b）所示，钳工用双手转动丝锥攻螺纹，如图2-12（c）所示，双手所施加的都是力偶。
图2-12
二、力偶的基本性质
①力偶无合力，或力偶无法合成为一个力，所以一个力偶不能和一个力等效，只能和24一个力偶等效。力偶是特殊的力系。
②力偶对物体的作用效果与力对物体的作用效果不同。力既可使物体移动，又可使物体转动，而力偶只能使物体转动。力偶和力是静力学的两个基本要素。
③力偶的两个力由于大小相等、方向相反、作用线互相平行，所以在任意坐标轴上的投影和恒为零。
三、力偶矩的概念
由于构成力偶的两个力不共线，所以不满足二力平衡条件。又构成力偶的两个力在任意轴上投影的代数和为零，所以力偶也不能对物体产生移动效应，只能对物体产生转动效应。而且力偶对物体的转动效应随F或力偶臂d的增大而增强，因此，可用二者的乘积F·d冠以适当的正负号所得的物理量来度量力偶对物体的转动效应，称之为力偶矩，记作M（F，F′）或M。
M=M（F，F'）=±F·d （2-10）
在平面力系中，力偶矩与力矩一样，也是代数量，用正负号表示力偶的转向，其正负规定与力对点之矩的正负规定相同，即：使物体逆时针转动规定为正，顺时针转动规定为负。在国际单位制中，力偶矩的常用单位为牛顿·米（N·m）、牛顿·毫米（N·mm）或千牛顿·米（kN·m）。
四、同一平面内力偶的等效定理
由于力偶无合力，一个力偶不能和一个力等效，只能和一个力偶等效，力偶对物体的转动效果只决定于力偶矩。所以在同一作用面内的两个力偶等效的条件是力偶矩相等，也称为力偶的等效定理。
由力偶的等效定理得出如下性质。
①在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短。
②作用在刚体上的力偶，只要保持其转向及力偶矩的大小不变，可在其力偶作用面内任意转移位置。
由上述性质，力偶可用图2-13所示的符号表示，其中M=Fd。
图2-13
五、力偶系的合成与平衡
设在同一个平面内有两个力偶（F1，
）和（F2，
），它们的力偶臂分别为d1和d2，如图2-14（a）所示。这两个力偶的矩分别为M1和M2，现将它们进行合成。为此，在保持力偶矩不变的情况下，同时改变两个力偶中力的大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的臂长d，并将它们在其作用面内转动、移动，使力的作用线重合，如图2-14（b）所示。于是得到与原力偶等效的两个新力偶（F3，
）和（F4，
4）。F3和F4的大小为：
图2-14
分别将作用在A、B两点的力合成得：设F3>F4，F=F3-F4，
，即F=F′=F3-F4。于是F，F′构成了一个与原力偶系等效的合力偶（F，F'），如图2-14（c）所示。合力偶的矩为：
M=FRd=（F3-F4）d=F3d-F4d=M1+M2
将此结果推广到n个力偶组成的平面力偶系的情况，则有：
（2-11）
式（2-11）表明：平面力偶系的合成结果是一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶的力偶矩的代数和。
由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶矩必为零；合力偶矩为零时，平面力偶系必然平衡。因此平面力偶系平衡的充要条件是：所有各分力偶矩的代数和为零，即：
（2-12）
【例2-6】 构件的支承及荷载情况如图2-15所示。已知M1=10N·m，M2=25N·m，l=60mm，试求A、B约束力。
图2-15
解 以AB杆件为研究对象。杆件在水平面内受两个力偶和两个支座的铅垂约束力的作用而平衡。因为力偶只能用力偶平衡，故两个支座的铅垂约束力FA和FB必然组成为一力偶，该两力的方向假设如图2-15所示，且FA=FB。由平面力偶系的平衡条件，有：
∑M=0，FAl+M1-M2=0
得 
计算出来的FA和FB均为正值，说明图上假设方向正确。
【例2-7】 多轴钻床在水平放置的工件上钻孔时，每个钻头对工件施加铅垂压力和一力偶。已知：三个力偶的力偶矩大小分别为M1=M2=12N·m，M3=24N·m，力偶的转向如图2-16所示，固定螺栓A和B之间的距离l=0.2m。求两螺栓所受的水平力。工件和工作台面间摩擦不计。
图2-16
解 选工件为研究对象。
工件在水平面内受三个力偶和两个螺栓的水平约束力的作用而平衡。因为力偶只能用力偶平衡，故两个螺栓的水平约束力FA和FB。必然组成为一力偶，该两力的方向假设如图2-16所示，且FA=FB。由平面力偶系的平衡条件，有：
∑M=0，-FAl+M1+M2+M3=0
得 
计算出来的FA和FB均为正值，说明图上假设方向正确。